i(1 ) - Kolos

Przypomnijmy:
I – stopa inflacji o tym samym okresie co r
(61)
r i
1 i
rre
0) KAPITALIZACJA ZGODNA
(r , i
realna stopa procentowa
Dla kapitalizacji niezgodnej mamy realną stopę efektywną
(62) rre ,ef
ref
i
1 i
(ref , i 0)
W przedstawionych rozważaniach uwzględniona została inflacja przypadająca na
jeden okres stopy procentowej r. Załóżmy teraz, że kapitał Ko (Ko>0) pomnażał swoją
wartość przez n okresów stopy procentowej r (n naturalne) zgodnie z modelem
kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej. Załóżmy ponadto, że stopa inflacji zmieniała swoja
wartość na przestrzeni tych n okresów, przy czym przez n1 pierwszych okresów wynosiła
i1, przez następne n2 okresów była równa i2 itd., gdzie n=n1+n2+…+np. (nj naturalne dla
j=1,…,p), ij>0, j=1…p.
Wzrost poziomu cen w ciągu tych n okresów (czyli wszystkich, które teraz
rozważamy) wyraża więc czynnik (1+i1)n1 (1+i2)n2 … (1+ip)np , zatem stopa inflacji i
dla tych n okresów jest taka, że
1+i = (1+i1)n1 (1+i2)n2 … (1+ip)np.
Więc
(63) i=(1+i1)n1 (1+i2)n2 … (1+ip)np. – 1
ij>0, nj naturalne, j=1…p, suma nj=n
Realna wartość kapitału Ko po n okresach oznaczana przez K nre jest równa
(64)
K nre K 0
(1 r ) n
p
(1 i1 ) n1 (1 i 2 ) n 2 ....(1 i p )
np
K 0 , r 0,
nj
n,
i, j
0, n j
N , j 1,...p
j 1
W tym przypadku można mówić o tzw. przeciętnej stopie inflacji (w okresie stóp
poszczególnych ij j=1,..,p) tj. takiej stopie inflacji, przy której realna wartość przyszła
kapitału Ko jest równa realnej wartości przyszłej tego kapitału po tych n okresach przy
zmieniającej się stopie inflacji. Oznaczmy przeciętną stopę inflacji i prz. Zatem wobec 64
mamy
K 0 (1 r ) n
(1 i prz ) n
K0
(1 r ) n
p
(1 i1 ) n1 (1 i 2 ) n 2 ....(1 i p )
np
K 0 , r 0,
nj
n,
i, j
0, n j
0, n j
N, j
N , j 1,...p
j 1
więc mamy równość mianowników
(65)
i prz
n
(1 i1 ) n1 (1 i 2 ) n 2 ....(1 i p )
np
p
1
K 0 , r 0,
nj
n,
i, j
1,...p
j 1
{i oraz i przeciętna są różne!, mają różne okresy, istotniejsze jest tutaj zachowanie
inflacji, a nie to jaki jest model kapitalizacji, nie pytamy o to jak wyglądał przyrost
kapitału Ko, niby to stosujemy, ale są one w licznikach, które przecież się skracają}
Przykład 16
W ciągu roku stopa inflacji przyjmowała w kolejnych kwartałach wartości 5%, 7%, 4%
oraz 6%. Obliczymy roczną stopę inflacji oraz przeciętną kwartalną stopę inflacji.
Mamy cztery stopy inflacji: i1=0,05, i2=0,07, i3=0,04, i4=0,06 oraz są to kwartalne
stopy inflacji. Ponadto nj=1, j=1,2,3,4 bo każda obowiązywała dokładnie w jednym
kwartale, zaś n=4 (mamy cztery okresy kwartalne).
Wobec (63) roczna stopa inflacji w tym przypadku jest równa
i
(1 0,05 )1 (1 0,07 )1 (1 0,04 )1 (1 0,06 )1 1 = 0,23855 (w przybliżeniu)
Czyli roczna stopa inflacji jest równa 23,855%.
Przeciętna stopa dotyczy tego samego okresu jak poszczególne podawane stopy, dlatego
liczymy przeciętną stopę kwartalną. Czyli zamiast w każdym kwartale uwzględniać te
wartości, to byśmy mogli wziąć w każdym kwartale taką samą – tą przeciętną kwartalną i
efekt byłby ten sam. Stosując teraz (65) obliczamy przeciętną kwartalną stopę inflacji i
jest ona równa
4
i prz
(1 0,05)1 (1 0,07)1 (1 0,04)1 (1 0,06)1
1
0,05494
Czyli przeciętna kwartalna stopa inflacji wynosi 5,494%, PAMIĘTAĆ, ŻE TO NIE JEST
ŚREDNIA ARYTMETYCZNA!
Przykład 17
Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 10% i bank stosuje kwartalną kapitalizację
złożoną z dołu. Stopa inflacji w kolejnych kwartałach pewnego roku była równa
odpowiednio 3%, 5%, 4%, 5%. Oblicz realna stopę procentową.
Jest tu o tyle trudniej, że mamy do czynienia z kapitalizacją niezgodną, bo podana jest
kapitalizacja kwartalna a stopa roczna…To nie jest z resztą wcale jedyna trudność. Nasza
realna stopa procentowa będzie nasza realną efektywną stopą procentową, bo
kapitalizacja była kwartalna, a my chcemy realny wzrost roczny, czyli będziemy jechać ze
wzoru 62, lecz w nim stopa efektywna r to stopa efektywna oprocentowania dla okresu,
który chcemy rozważyć oraz i jest stopą w tym samym okresie, czyli wszystkie trzy stopy
z tego wzoru mają ten sam okres, u nas będzie to rok, czyli musimy najpierw dostosować
nasze stopy do tego.
Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć realną efektywną stopę procentową. (bo
chcemy przejść z rozliczenia kwartalnego do rocznego). W celu skorzystania ze wzoru
(62) musimy wyznaczyć najpierw roczną stopę efektywną oraz roczną stopę inflacji.
Mamy r=0,1 i jest to roczna stopa procentowa, a kapitalizacja jest kwartalna złożona z
dołu, więc m=4 i roczna stopa efektywna jest równa
ref
0,1 4
) 1 0,1038
4
(1
Teraz idziemy do rocznej stopy inflacji.
Kwartalne stopy inflacji są równe i1=0,03, i2=0,05, i3=0,04, i4=0,05, nj=1, j=1,2,3,4,
n=4, więc wobec wzoru z numerem (63) roczna stopa inflacji jest równa
i
(1 0,03)(1 0,05)(1 0,04)(1 0,05) 1 0,181
Wobec tego z (62) realna efektywna roczna stopa procentowa jest więc równa
rre ,ef
ref
1
1 i
0,1038 0,181
1,181
0,0654
Czyli rocznie na tej lokacie realnie traci się ponad 6%. Bo nominalnie to oczywiście nie
tylko nic nie stracił, lecz wręcz zyskał, bo odsetki jakieś są, ale nam chodzi o realną siłę
nabywczą pieniądza.
DYSKONTO
Dyskontem nazywamy potrącone z góry odsetki od zaciągniętego kredytu lub potrącone
odsetki od weksli i innych papierów wartościowych oznaczających zobowiązanie,
sprzedawanych przed terminem płatności (wykupu).
Kredytobiorca zaciągając w banku kredyt zobowiązuje się zwrócić pożyczoną kwotę w
określony sposób w określonym terminie i uiścić stosowne odsetki jako zapłatę za
wypożyczenie kwoty. Odsetki te mogą być pobierane z dołu lub z góry. Jeśli odsetki
pobierane są z góry, to wówczas kredytobiorca otrzymuje obniżoną wartość kredytu o
odsetki. Właśnie te odsetki stanowią dyskonto.
Podobna sytuacja występuje w obrocie wekslami lub innymi papierami
wartościowymi (np. obligacje, niektóre akcje) sprzedawanymi z dyskontem.
Weksel oznacza zobowiązanie do zapłacenia określonej kwoty tzw. Wartości nominalnej,
w określonym czasie zwanym terminem płatności lub terminem wykupu. Zdarza się, że
posiadacz weksla nie chce lub nie może czekać na swój kapitał pieniężny aż do terminu
wykupu. Jeśli jednak chce on wcześniej otrzymać swoje pieniądze to musi liczyć się z
tym, że nie otrzyma pełnej kwoty, ale kwotę pomniejszoną o dyskonto.
Pomniejszenie wartości o odpowiednie dyskonto nazywamy dyskontowaniem.
Rozróżniamy dwa główne rodzaje dyskonta:
- matematyczne (dokładne, rzeczywiste)
- handlowe (bankowe)
Dyskonto matematyczne jest równe odsetkom wytworzonym przez dany kapitał w
rozważanym okresie czasu. Jest ono stosowane najczęściej przy udzielaniu kredytu
bankowego z dyskontem. Wyznaczane jest od aktualnej wartości kapitału według
obowiązującej stopy procentowej (kredytowej) i obowiązującego modelu kapitalizacji.
Dyskonto matematyczne będziemy oznaczać przez DM, zatem DM = Kn-K0.
Rodzaje dyskonta matematycznego:
Dyskonto matematyczne nazywamy:
- prostym jeśli odpowiada odsetkom wyznaczonym według modelu kapitalizacji prostej
- złożonym, które odpowiada odsetkom wyznaczonym według modelu kapitalizacji
złożonej (z dołu lub z góry).
- ciągłym gdy odpowiada odsetkom obliczanym według modelu kapitalizacji ciągłej .
Wobec określenia dyskonta matematycznego i postaci wzorów opisujących poszczególne
modele kapitalizacji wiemy, jak wyznaczać wartość dyskonta matematycznego.
Niech Ko>0. Rozważmy n okresów stopy procentowej r (r>0, n naturalne).
Dyskonto matematyczne proste za tych n okresów jest więc równe
DM=Ko(1+nr)-Ko=Konr
Dyskonto matematyczne złożone za tych n okresów jest równe
- dla kapitalizacji złożonej z dołu zgodnej
DM=Ko(1+r)n-Ko=Ko[(1+r)n-1]
- dla kapitalizacji złożonej z góry zgodnej
DM=Ko(1-r)-n-Ko=Ko[(1-r)-n-1]
- dla kapitalizacji złożonej z dołu niezgodnej (m naturalne)
DM
K 0 (1
r nm
)
m
K 0 K 0 [(1
r nm
)
1] K 0 [(1 ref ) n 1]
m
- dla kapitalizacji złożonej z góry niezgodnej (m naturalne)
DM
K 0 (1
r
)
m
nm
K 0 K 0 [(1
r
)
m
nm
_
1] K 0 [(1 r ef )
n
1]
- dyskonto matematyczne ciągłe dla tych n okresów jest równe
DM
K 0 e nr
K0
K 0 (e nr
1)
Jest wiadome, że dyskontowanie matematyczne i oprocentowanie przy tej samej stopie
są działaniami wzajemnie odwrotnymi.