4. Reguła de L`Hospitala
Transkrypt
4. Reguła de L`Hospitala
4. Reguła de L’Hospitala Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 1 / 15 Reguła de L’Hospitala - motywacja Ta część wykładu poświęcona jest bardzo skutecznemu sposobowi liczenia granic w sytuacjach, gdy licząc innymi metodami otrzymujemy symbole nieoznaczone, czyli regule de L’Hospitala. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 2 / 15 Reguła de L’Hospitala - wypowiedź Reguła de L’Hospitala Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ ℝ i zachodzi: lim f (x) = lim g (x) = 0([ 00 ]) lub x→x0 x→x0 lim f (x) = lim g (x) = ±∞([ ±∞ ]) to ±∞ x→x0 x→x0 lim x→x0 f (x) f 0 (x) = lim 0 . g (x) x→x0 g (x) Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 3 / 15 Reguła de L’Hospitala - wypowiedź Reguła de L’Hospitala Jeśli funkcje f oraz g są różniczkowalne w otoczeniu x0 ∈ ℝ i zachodzi: lim f (x) = lim g (x) = 0([ 00 ]) lub x→x0 x→x0 lim f (x) = lim g (x) = ±∞([ ±∞ ]) to ±∞ x→x0 x→x0 lim x→x0 f (x) f 0 (x) = lim 0 . g (x) x→x0 g (x) Oczywiście, twierdzenie to działa też dla granic jednostronnych. H Zastosowanie reguły de L’Hospitala oznaczamy symbolem =. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 3 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 1 Zadanie Obliczyć granicę: x 2 − 3x + 2 . x→2 x2 − 4 lim Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak: x 2 − 3x + 2 = x→2 x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 4 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 1 Zadanie Obliczyć granicę: x 2 − 3x + 2 . x→2 x2 − 4 lim Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak: x 2 − 3x + 2 h 0 i H = = x→2 x2 − 4 0 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 4 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 1 Zadanie Obliczyć granicę: x 2 − 3x + 2 . x→2 x2 − 4 lim Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak: x 2 − 3x + 2 h 0 i H 2x − 3 = = lim = 2 x→2 x→2 x −4 0 2x lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 4 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 1 Zadanie Obliczyć granicę: x 2 − 3x + 2 . x→2 x2 − 4 lim Oczywiście, umiemy obliczyć tę granicę w inny sposób. Ale za pomocą reguły de L’Hospitala możemy zrobić tak: x 2 − 3x + 2 h 0 i H 2x − 3 1 = = lim = . 2 x→2 x→2 x −4 0 2x 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 4 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 2 Zadanie Obliczyć granicę: sin x x→0 x lim Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać): sin x = x→0 x lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 5 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 2 Zadanie Obliczyć granicę: sin x x→0 x lim Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać): h0i sin x H = = x→0 x 0 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 5 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 2 Zadanie Obliczyć granicę: sin x x→0 x lim Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać): h0i sin x cos x H = = lim = x→0 x x→0 0 1 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 5 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 2 Zadanie Obliczyć granicę: sin x x→0 x lim Tej granicy nie umieliśmy obliczyć w inny sposób, a jest ona bardzo ważna (wręcz warto ją zapamiętać): h0i sin x cos x 1 H = = lim = = 1. x→0 x x→0 0 1 1 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 5 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 3 Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz. Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 x 2 − 3x + 2 = x→∞ x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 6 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 3 Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz. Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 x 2 − 3x + 2 h ∞ i H = = x→∞ ∞ x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 6 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 3 Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz. Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 2x − 3 x 2 − 3x + 2 h ∞ i H = lim = = x→∞ x→∞ ∞ 2x x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 6 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 3 Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz. Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 2x − 3 h ∞ i H x 2 − 3x + 2 h ∞ i H = lim = = = x→∞ x→∞ ∞ 2x ∞ x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 6 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 3 Czasem regułę de L’Hospitala trzeba zastosować w jednym zadaniu więcej niż raz. Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ x 2 − 3x + 2 . x2 − 4 2x − 3 h ∞ i H 2 x 2 − 3x + 2 h ∞ i H = lim = = lim = 1. = x→∞ x→∞ 2 x→∞ ∞ 2x ∞ x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 6 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 4 Zadanie Obliczyć granicę: ln(x − 1) − x + 2 . x→2 2x 2 − 8x + 8 lim ln(x − 1) − x + 2 = x→2 2x 2 − 8x + 8 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 7 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 4 Zadanie Obliczyć granicę: ln(x − 1) − x + 2 . x→2 2x 2 − 8x + 8 lim ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H = = x→2 0 2x 2 − 8x + 8 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 7 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 4 Zadanie Obliczyć granicę: ln(x − 1) − x + 2 . x→2 2x 2 − 8x + 8 lim 1 −1 ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H x−1 = lim = = x→2 4x − 8 x→2 0 2x 2 − 8x + 8 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 7 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 4 Zadanie Obliczyć granicę: ln(x − 1) − x + 2 . x→2 2x 2 − 8x + 8 lim 1 − 1 h0i H ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H x−1 = lim = = = x→2 4x − 8 x→2 0 0 2x 2 − 8x + 8 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 7 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 4 Zadanie Obliczyć granicę: ln(x − 1) − x + 2 . x→2 2x 2 − 8x + 8 lim 1 − 1 h0i H ln(x − 1) − x + 2 h 0 i H x−1 = lim = = = x→2 4x − 8 x→2 0 0 2x 2 − 8x + 8 lim H = lim x→2 1 − (x−1) 2 4 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala −1 . 4 zima 2016/2017 7 / 15 Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞] Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych symboli nieoznaczonych niż [ ∞ ] i [ 00 ]. ∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 8 / 15 Reguła de L’Hospitala - symbol [0 · ∞] Twierdzenie de L’Hospitala można zastosować również do innych symboli nieoznaczonych niż [ ∞ ] i [ 00 ]. ∞ Na przykład w sytuacji, gdy mamy do obliczenia granicę f (x) · g (x), typu [0 · ∞], możemy ją przekształcić do postaci f (x) (typu [ 00 ]) lub 1 g (x) g (x) 1 f (x) (typu ∞ ]) [∞ . Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 8 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 5 Zadanie Obliczyć granicę: lim xe x . x→−∞ lim xe x = x→−∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 9 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 5 Zadanie Obliczyć granicę: lim xe x . x→−∞ h i lim xe x = (−∞) · 0 = x→−∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 9 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 5 Zadanie Obliczyć granicę: lim xe x . x→−∞ h i lim xe x = (−∞) · 0 = x→−∞ lim x x→−∞ 1x e = lim x→−∞ x e −x = h −∞ i ∞ H = H = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 9 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 5 Zadanie Obliczyć granicę: lim xe x . x→−∞ h i lim xe x = (−∞) · 0 = x→−∞ H = lim x→−∞ lim x x→−∞ 1x e = lim x→−∞ x e −x = h −∞ i ∞ H = 1 = −e −x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 9 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 5 Zadanie Obliczyć granicę: lim xe x . x→−∞ h i lim xe x = (−∞) · 0 = x→−∞ H = lim x x→−∞ 1x e = lim x→−∞ x e −x = h −∞ i ∞ H = h 1 i 1 = = 0. x→−∞ −e −x −∞ lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 9 / 15 Reguła de L’Hospitala - symbole [1∞], [00] i [∞0] Z kolei granice x→x lim f (x)g (x) , które okazują się być typu [1∞ ], [00 ] 0 lim [ln f (x)g (x) ] albo [∞0 ] możemy przekształcić do postaci e x→x0 lim [g (x)·ln f (x)] następnie e x→x0 ,a i granica w wykładniku jest typu: [∞ · 0]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 10 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 lim x sin x = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 . 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika lim sin x ln x = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika h i lim sin x ln x = 0 · (−∞) = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika h i lim sin x ln x = 0 · (−∞) = lim x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala x→0 sin x 1 ln x = zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 x→0 sin x lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika h i lim sin x ln x = 0 · (−∞) = lim x→0 = h0i 0 x→0 sin x 1 ln x = H = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 sin x x→0 lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika h i lim sin x ln x = 0 · (−∞) = lim x→0 = h0i 0 x→0 H cos x x→0 − 12 · ln x = lim 1 x sin x 1 ln x = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Zadanie Obliczyć granicę: lim x sin x . x→0 h i lim x sin x = 00 = lim e ln x x→0 sin x x→0 lim sin x ln x = lim e sin x ln x = e x→0 x→0 . Teraz obliczamy granicę wykładnika h i lim sin x ln x = 0 · (−∞) = lim x→0 = h0i 0 x→0 H cos x x→0 − 12 · ln x = lim 1 x sin x 1 ln x = = − lim cos x · ln2 x · x. x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 11 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: lim ln2 x ·x = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 ln2 x 1 x H = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 ln2 x 1 x H 2 ln x · x→0 − x12 = lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala 1 x = zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 ln2 x 1 x H 2 ln x · x→0 − x12 = lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x zima 2016/2017 = 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = ln2 x 1 x H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x = h −∞ i ∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 2 x − x12 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x = = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 2 x − x12 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x = = − lim 2x = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala x→0 zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 2 x − x12 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x = = − lim 2x = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala x→0 zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 2 x − x12 1 x = − lim x→0 2 ln x 1 x = = − lim 2x = 0. x→0 Stąd: lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x = x→0 x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim 2 x − x12 1 x = − lim 2 ln x x→0 1 x = = − lim 2x = 0. x→0 Stąd: h i lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x = − 1 · 0 = 0, x→0 x→0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x 2 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim − x12 1 x = − lim 2 ln x x→0 1 x = = − lim 2x = 0. x→0 Stąd: h i lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x = − 1 · 0 = 0, x→0 x→0 i lim sin x ln x lim x sin x = e x→0 x→0 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 6 Pomocniczo obliczmy: h i lim ln2 x ·x = −∞·0 = lim x→0 x→0 = h −∞ i ∞ ln2 x 1 x 2 x H = − lim x→0 H 2 ln x · x→0 − x12 = lim − x12 1 x = − lim 2 ln x x→0 1 x = = − lim 2x = 0. x→0 Stąd: h i lim sin x ln x = − lim cos x · ln2 x · x = − 1 · 0 = 0, x→0 x→0 i lim sin x ln x lim x sin x = e x→0 x→0 = e 0 = 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 12 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ lim x→∞ √ x √ x x x= Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x x 1 x = lim x x = x→∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim x→∞ lim x→∞ √ x 1 √ x x h i x = lim x x = ∞0 = x→∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika lim x→∞ 1 ln x ln x = x→∞ lim = x x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika lim x→∞ h∞i 1 ln x H ln x = x→∞ lim = = x x ∞ Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika 1 h∞i 1 ln x H x lim = lim ln x = x→∞ = x→∞ lim = x→∞ x x ∞ 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika 1 h∞i 1 ln x H x lim = lim ln x = x→∞ = x→∞ lim = 0. x→∞ x x ∞ 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika 1 h∞i 1 ln x H x lim = lim ln x = x→∞ = x→∞ lim = 0. x→∞ x x ∞ 1 Stąd lim x→∞ √ x lim 1 x = e x→∞ x ln x = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład 7 Zadanie Obliczyć granicę: lim √ x x→∞ lim x→∞ √ x 1 x h i lim 1 x = lim x x = ∞0 = e x→∞ x x→∞ ln x . Teraz obliczamy granicę wykładnika 1 h∞i 1 ln x H x lim = lim ln x = x→∞ = x→∞ lim = 0. x→∞ x x ∞ 1 Stąd lim x→∞ √ x lim 1 x = e x→∞ x ln x = e 0 = 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 13 / 15 Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 14 / 15 Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów: Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 14 / 15 Reguła de L’Hospitala - uwagi o możliwych błędach Doświadczenie sprawdzianów i egzaminów wskazuje, że stosując regułę de L’Hospitala, łatwo popełnić jeden z następujących błędów: Stosując regułę de L’Hospitala liczymy pochodną licznika i mianownika osobno. Dlatego należy uważać, by nie pomylić wzoru de L’Hospitala z wzorem na pochodną ilorazu. Zanim zastosuje się regułę de L’Hospitala, należy sprawdzić, czy spełnione są jej założenia (czyli, jakie są granice licznika i mianownika). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 14 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H lim = x→−2 x2 − 4 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H 2x − 3 lim = lim = 2 x→−2 x→−2 x −4 2x Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H 2x − 3 −7 7 lim = lim = = . 2 x→−2 x→−2 x −4 2x −4 4 Jednak jednocześnie, wiemy, że: x 2 − 3x + 2 = x→−2 x2 − 4 lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H 2x − 3 −7 7 lim = lim = = . 2 x→−2 x→−2 x −4 2x −4 4 Jednak jednocześnie, wiemy, że: x 2 − 3x + 2 h 12 i = , x→−2 x2 − 4 0 więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H 2x − 3 −7 7 lim = lim = = . 2 x→−2 x→−2 x −4 2x −4 4 Jednak jednocześnie, wiemy, że: x 2 − 3x + 2 h 12 i = , x→−2 x2 − 4 0 więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd ta rozbieżność? lim Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15 Reguła de L’Hospitala - przykład błędnego zastosowania Zobaczmy, jaki błąd można popełnić, przy obliczaniu tak prostej granicy jak: x 2 − 3x + 2 H 2x − 3 −7 7 lim = lim = = . 2 x→−2 x→−2 x −4 2x −4 4 Jednak jednocześnie, wiemy, że: x 2 − 3x + 2 h 12 i = , x→−2 x2 − 4 0 więc ta granica nie istnieje (a jednostronne nie są skończone). Skąd ta rozbieżność? Otóż pierwszy sposób jest niepoprawny, gdyż nie wolno stosować reguły de L’Hospitala do granic typu [ 0a ], a taką mamy w tym przypadku. Tak więc, przejście 2 H = lim 2x−3 lim x x−3x+2 było nieprawidłowe. 2 −4 2x lim x→−2 x→−2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 4. Reguła de L’Hospitala zima 2016/2017 15 / 15