Wstęp do analizy zespolonej
Transkrypt
Wstęp do analizy zespolonej
SYLABUS - Karta programu przedmiotu WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI STOSOWANEJ Rodzaj studiów: studia stacjonarne pierwszego stopnia Kierunek: MATEMATYKA Rok akad.: 2010/2011 Przedmiot podstawowy Przedmiot: WSTĘP DO ANALIZY ZESPOLONEJ Rok studiów: Semestr: III 5 ECTS: 2 Rodzaj zajęć: W Ć Liczba godzin w semestrze: 15 15 S L Przedmioty wprowadzające / wymagania wstępne Znajomość materiału wykładu analizy matematycznej, wstępu do teorii mnogości i topologii i algebry w zakresie pierwszego i drugiego roku studiów. Założenia i cele przedmiotu Zaznajomienie studentów z podstawowymi pojęciami teorii funkcji zmiennej zespolonej i szeregów potęgowych zespolonych. Metody dydaktyczne Realizacja programu w formie wykładów i ćwiczeń audytoryjnych; w ramach ćwiczeń audytoryjnych przeprowadzone będą sprawdziany kontrolne Forma i warunki zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie z ćwiczeń na podstawie odpowiedzi ustnych i wyników kolokwiów Egzamin ustny TREŚCI PROGRAMOWE Wykłady: 1. Przypomnienie podstawowych własności ciała liczb zespolonych; ciągi i szeregi liczbowe; kryteria zbieżności szeregów liczbowych; zbiory zwarte, zbiory spójne. Płaszczyzna domknięta (sfera Riemanna). Rzut stereograficzny. 2. Ciągi i szeregi funkcyjne. 3. Szeregi potęgowe; lemat Abela, promień zbieżności, zasada identyczności. 4. Podstawowe funkcje zmiennej zespolonej. Homografia. Funkcje wykładnicze. Funkcje trygonometryczne. Logarytm, potęga, gałąź jednoznaczna argumentu, logarytmu i potęgi. Związki między funkcjami elementarnymi zmiennej zespolonej. 5. Pochodna w dziedzinie zespolonej. Równania Cauchy'ego - Riemanna. Ćwiczenia audytoryjne 1. Zadania na działania na liczbach zespolonych, wyznaczanie pierwiastków zadanego stopnia, rozwiązywanie równań algebraicznych w dziedzinie zespolonej. Badanie zbieżności szeregów liczbowych przy pomocy kryteriów zbieżności. 2. Badanie zbieżności punktowej i jednostajnej ciagów i szeregów funkcyjnych. 3. Obliczanie promienia zbieżności szeregów potęgowych. Badanie zachowania szeregów potęgowych na okręgu koła zbieżności. 4. Wyznaczanie homografii odwzorowujących wzajemnie dwa zadane zbiory na siebie. Wyznaczanie logarytmów liczb zespolonych. 5. Zadania na badanie własności funkcji elementarnych zmiennej zespolonej; wyznaczanie obrazów i przeciwobrazów zbiorów poprzez funkcje elementarne. Wyznaczanie gałęzi jednoznacznych logarytmu. 6. Sprawdzanie różniczkowalności w sensie zespolonym z definicji i przy wykorzystaniu równań Cauchy'ego - Riemanna. Wykaz literatury podstawowej: [1] J. Krzyż, J. Ławrynowicz, Elementy analizy zespolonej, WNT, Warszawa, 1984 [2] F. Leja, Funkcje zespolone, PZWS, Warszawa, 1973 [3] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PZWS, Warszawa, 1986 [4] W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PZWS, Warszawa, 1974 Wykaz literatury uzupełniającej: Zaleca się studentom korzystanie z najnowszych opracowań dostępnych na stronach internetowych Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego: [1] Z. Błocki, Funkcje analityczne, http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/publ/ln/index.html [2] M. Jarnicki, Wykłady z funkcji analitycznych, http://www.im.uj.edu.pl/MarekJarnicki/ Osoba(y) odpowiedzialna(e) za przedmiot: doc. dr hab. Piotr JAKÓBCZAK Zatwierdził: Dr hab. Teresa WINIARSKA, prof. PK