Liczby zespolone mają postać , gdzie , są dowolnymi liczbami

 Liczby zespolone mają postać , gdzie , są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą i urojoną. Często stosowane jest oznaczenie , . Liczba jest nazywana jednostką urojoną (
1). Liczbę zespoloną, których część rzeczywista (urojona) jest równa 0, nazywa się liczbami urojonymi (rzeczywistymi). Liczba zespolona sprzężona z liczbą z nazywamy liczbę . Natomiast moduł liczby zespolonej zdefiniowany jest następująco: | |
Każda liczba zespolona różna od 0 ma liczbę do niej odwrotną, to znaczy taką liczbę zespoloną ·
, że 1. Liczbę odwrotną do liczby zespolonej można wyznaczyć ze wzoru: | |
Działania na liczbach zespolonych oraz Niech . , wówczas: , ·
Z powyższych wzorów wynika, że . , . Własności modułu liczby zespolonej: 1. | |
2. |
| |, | | || |, 3. |
|
4. |
| |
|
, | |
| |. Postać trygonometryczna liczby zespolonej Każdą liczbę zespoloną 0, można przedstawić w postaci trygonometrycznej: | |
| | . Kąt nazywany jest argumentem liczby zespolonej i oznaczany symbolem: arg
uzyskać rozwiązując układ równań: cos
sin
√
√
. Kąt można , ., Oczywiście powyższe równania implikują następujące zależności: tg
, ctg
. MB Liczby zespolone Danej liczbie zespolonej można przyporządkować nieskończenie wiele argumentów. Jeśli jest argumentem liczby , to argumentem jest również . Argument spełniający warunek 2 to argument główny zapisywany w postaci . Każda liczba zespolona ma dokładnie jeden argument główny. Dość łatwo mnoży się liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej: | |
| |
| || |
Ponadto, z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej wynika równanie: 1 0 Wzór de Moivre’a umożliwia szybkie potęgowanie liczb zespolonych: | | cos
sin
. Pierwiastkiem stopnia , gdzie \ 1 , z liczby zespolonej , nazywamy każdą liczbę taką, że | |
. Jeśli przy tym 0 i , to istnieje dokładnie różnych pierwiastków z liczby zespolonej , które wyrażają się wzorem: | | cos
| |
sin
0,1, … ,
, dla 1. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej 2 MB