∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ - e

Mnożniki
y t Βxt Γ ξ t ,
y t x t Π v t ,
y t  d 0  y t 1D1  z t D2  v t ,
y t 1  d 0  y t 2 D1  z t 1D 2  v t 1
y t  d 0  (d 0  y t 2 D1  z t 1D 2  v t 1 )D1  z t D 2  v t
d 0 (I G  D1 )  y t 2 D12  z t 1D 2 D1  z t D 2  v t 1 D1  v t ,
s
r
s 1
s
r
s
r
yt  d 0  D1  yt 1 s D1   zt  r D2 D1   vt  r D1 ,
r 0
r 1
1
0
1
gdzie D  I G oraz D
r 0
r 0
r
1
 D D1 dla r  0.
M0 = D2 – macierz mnożników bezpośrednich, która przedstawia zmianę ytj na skutek jednostkowego wzrostu l-tej zmiennej egzogenicznej w bieżącym momencie t;
M r  D 2 D1r , – macierz (dla r  1) mnożników pośrednich (opóźnionych) rzędu r, przedstawia
zmianę ytj na skutek jednostkowego wzrostu l-tej zmiennej egzogenicznej r okresów wcześniej (i tylko
wtedy).
s
s
r 0
r 0
r
C s   D 2 D1   M r – macierz (dla s  1) mnożników skumulowanych (podtrzymanych) rzędu s,
której (l,j) element informuje z kolei o zmianie ytj spowodowanej jednostkowymi wzrostami l-tej zmiennej
egzogenicznej we wszystkich s okresach wcześniejszych (t-s, ..., t-1) i w okresie bieżącym (t).
Jeśli lim D1r  0GG , to modelowany system nazywamy stabilnym. Istnieje wówczas postać końcowa:
r 
1


r
y t  d 0 (I G  D1 )   zt  r M r   v t  r D1 .
r 0
r 0
Z warunek stabilności wynika, że ciąg macierzy mnożników pośrednich M r  D 2 D1r (r=1,2,…) zmierza do
macierzy zerowej LxG, tzn. lim D1r  0  lim M r  lim D 2 D1r  0 LG ,
r 
r 
r 
czyli wpływ zakłóceń losowych i zmian wartości zmiennych egzogenicznych z odległej przeszłości na bieżące
wartości zmiennych endogenicznych można pominąć (wpływ bieżących zakłóceń losowych bądź egzogenicznych na przyszłe wartości zmiennych endogenicznych będzie wygasał do zera wraz z wydłużaniem się horyzontu czasowego).
Postać końcowa przedstawia wartości zmiennych endogenicznych w okresie t jako funkcje wszystkich
bieżących i wcześniejszych wartości zmiennych egzogenicznych i składników losowych. Parametry postaci
końcowej to mnożniki bezpośrednie M0=D2 i pośrednie Mr=D2Dr wszystkich rzędów. Dodając je, obliczamy
mnożniki skumulowane Cs kolejnych rzędów. Granica ciągu macierzy mnożników skumulowanych Cs przy
s dążącym do nieskończoności to tzw. macierz mnożników całkowitych, dana wzorem
1
C  D 2 (I G  D1 ) .
Jej element (l,j) informuje o ile większe byłoby ytj, gdyby w okresie t i wszystkich okresach wcześniejszych l-ta zmienna egzogeniczna była większa o jednostkę.
Warunek stabilności, czyli zbieżność ciągu macierzy D1s do macierzy zerowej, jest równoważny warunkowi by wszystkie wartości własne macierzy D1 były co do modułu mniejsze od jedności. Ponieważ macierz D1 zwykle jest niesymetryczna, może mieć zespolone wartości własne; stabilność wymaga by moduły
tych liczb zespolonych oraz wartości bezwzględne rzeczywistych wartości własnych były mniejsze od 1.