Rozwiazania niezaleznych od czasu równan Schrödingera

Rozwi¡zania niezale»nych od czasu równa«
Schrödingera:
niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu i oscylator
harmoniczny
Mariusz Adamski
Plan prezentacji:
1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej.
2. Potencjaª oscylatora harmonicznego.
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej mo»na
zapisa¢ nast¦puj¡co:
V (x) =
∞, x < −a/2 lub
0,
−a/2 < x < a/2.
x > a/2,
Potencjaª taki ma t¦ wªasno±¢, »e wi¡»e cz¡stk¦ o dowolnej
sko«czonej energii
E ≥ 0.
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
W obszarze studni ogólne rozwi¡zanie niezale»nego od czasu
równania Schrödingera mo»na zapisa¢ w postaci fali stoj¡cej:
√
ψ(x) = A sin kx + B cos kx,
gdzie
k=
mE
2
}
, −a/2 < x < a/2.
Funkcja falowa powinna znika¢ poza studni¡ w szczególno±ci:
A sin
ka
2
+ B cos
ka
2
= 0,
oraz
A sin −
ka
2
+ B cos −
ka
2
= 0 ⇒ −A sin
ka
2
+ B cos
ka
2
= 0.
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
Po dodaniu powy»szych równa« otrzymamy:
B
2 cos
natomiast po odj¦ciu
A sin
2
ka
2
ka
2
Nie istnieje taka warto±¢ parametru
= 0,
= 0.
k, dla której cos ka2
równe s¡ jednocze±nie zeru. Musimy zatem przyj¡¢
A=0
i
cos
B=0
i
sin
lub
ka
2
ka
2
=0
= 0.
ka
i sin 2
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
Otrzymujemy zatem dwa rodzaje rozwi¡za«:
ψ(x) = B cos kx,
gdzie
cos
ψ(x) = A sin kx,
gdzie
sin
oraz
ka
2
ka
2
= 0,
= 0.
k dla rozwi¡za« pierwszego rodzaju
ka π 3π 5π
nπ
= ,
,
, ... ⇒ kn =
, n = 1, 3, 5, ...
2
2 2
2
a
Dozwolone warto±ci
Natomiast dla rozwi¡za« drugiego rodzaju
ka
2
= π, 2π, 3π, ... ⇒ kn =
nπ
, n = 2, 4, 6, ...
a
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
Ostatecznie funkcje wªasne dla potencjaªu niesko«czenie gª¦bokiej
studni prostok¡tnej przybieraj¡ posta¢:
ψn (x) = Bn cos kn x,
gdzie
kn =
nπ
, n = 1, 3, 5, ...
a
ψn (x) = An sin kn x,
gdzie
kn =
nπ
, n = 2, 4, 6, ...
a
oraz
Liczb kwantowych
n mo»na u»y¢ tak»e do numeracji warto±ci
wªasnych, odpowiadaj¡cych danym funkcjom wªasnym
zwi¡zku
k=
√
ψn .
Ze
mE /} oraz faktu, »e kn = nπ/a otrzymujemy
2
En =
}2 k2n
m
2
=
π 2 }2 n2
ma2
2
,
n = 1, 2, 3, ...
Niesko«czenie gª¦boka studnia potencjaªu
Kilka pierwszych funkcji
Kilka pierwszych warto±ci
wªasnych
wªasnych
Plan prezentacji:
1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej.
2. Potencjaª oscylatora harmonicznego.
Plan prezentacji:
√
1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej.
2. Potencjaª oscylatora harmonicznego.
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Istnieje ograniczona ilo±¢ potencjaªów, dla których mo»na
rozwi¡za¢ równanie Schrödingera metodami analitycznymi. W±ród
nich znajduje si¦ bardzo wa»ny potencjaª oscylatora
harmonicznego. Mo»e on zosta¢ u»yty do opisu wielu ukªadów,
w których jaka± wielko±¢ wykonuje maªe drgania wokóª poªo»enia
równowagi.
Potencjaª
V (x) musi przyjmowa¢ warto±¢ minimaln¡ w poªo»eniu
równowagi; poniewa» wyst¦puj¡ce w rzeczywisto±ci potencjaªy s¡
funkcjami ci¡gªymi, prawie zawsze mo»na przybli»y¢ je przez
parabol¦ w pobli»u minimum.
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Wybieraj¡c pocz¡tek osi
x i osi
energii tak, by znajdowaªy si¦ one
w tym minimum, paraboliczn¡
funkcj¦ potencjaªu mo»emy zapisa¢
jako:
k
V (x) = x2 ,
2
gdzie
k jest pewn¡ staª¡.
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Cz¡stka poruszaj¡ca si¦ pod
wpªywem takiego potencjaªu
doznaje dziaªania liniowej siªy
dV
zwrotnej ( ) = − dx = − . Z
mechaniki klasycznej wiemy, »e
Fx
kx
cz¡stka poruszaj¡ca si¦ pod
wpªywem takiej
siªy porusza si¦ ruchem harmonicznym z cz¦sto±ci¡
r
ω=
k
.
m
Stacjonarne równanie Schrödingera opisuj¡ce ten przypadek ma
posta¢:
−
}2
d2 ψ
d 2
m x
2
+
k
2
x2 ψ = E ψ.
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Rozwi¡zuj¡c to równanie, znajdujemy warto±ci wªasne energii
oscylatora
En = n +
1
2
}ω,
n = 0, 1, 2, 3, ...
co jest bliskie przewidywaniom Plancka, wedªug którego energia
cz¡stki wykonuj¡cej ruch harmoniczny przybiera warto±ci
En = n}ω, n = 0, 1, 2, 3, ...
Okazuje si¦, »e postulat Plancka nie przewidywaª istnienia drga«
zerowych.
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Funkcje wªasne oscylatora harmonicznego we wspóªrz¦dnej
bezwymiarowej
ξ=
q
mω x s¡ postaci
}
ψn (ξ) = An Hn (ξ)e−ξ
2 /2
,
Hn to√n-ty wielomian Hermite'a, a staªa normalizacyjna
An = (2n n! π)−1/2 .
gdzie
Liczba kwantowa
0
1
2
3
4
5
Funkcja wªasna
−ξ 2 /2
0
−ξ 2 /2
1 2ξ
2
−ξ 2 /2
2 (4ξ − 2)
3
−ξ 2 /2
3 (8ξ − 12ξ)
4
2
−ξ 2 /2
4 (16ξ − 48ξ + 12)
5
3
−ξ 2 /2
5 (32ξ − 160ξ + 120ξ)
Ae
A e
A
A
A
A
e
e
e
e
Potencjaª oscylatora harmonicznego
Kilka pierwszych funkcji wªasnych i odpowiadaj¡cych im g¦sto±ci
prawdopodobie«stwa.
Plan prezentacji:
√
1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej.
2. Potencjaª oscylatora harmonicznego.
Plan prezentacji:
√
√
1. Potencjaª niesko«czenie gª¦bokiej studni prostok¡tnej.
2. Potencjaª oscylatora harmonicznego.
Bibliograa:
[1]
[2]
[3]
Fizyka kwantowa R. Eisberg, R. Resnick
Mechanika kwantowa L. I. Schiff
Wst¦p do mechaniki kwantowej R. L. Liboff