problemy i zagadnienia na egzamin dyplomowy

Problemy i zagadnienia na egzamin dyplomowy
2011/2012
Kierunek: Matematyka (studia I stopnia; obie specjalności)
1. Grupa (definicja, przykłady, podstawowe własności).
2. Rozkład grupy na warstwy (tw. Lagrange`a).
3. Grupa ilorazowa.
4. Pierścień i ciało (definicje, przykłady, podstawowe własności).
5. Przestrzeń wektorowa, jej wymiar i baza.
6. Wektory własne i wartości własne przekształcenia liniowego.
7. Macierze i wyznaczniki.
8. Układy równań liniowych.
9. Równanie prostej na płaszczyźnie, równanie prostej i płaszczyzny w przestrzeni, warunki
równoległości i prostopadłości.
10. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie.
11. Funkcje liniowe i dwuliniowe, formy kwadratowe. Twierdzenie Sylwestera.
12. Granica i punkt skupienia ciągu liczbowego (przykłady ciągów, własności ciągów). Twierdzenie
Bolzano-Weierstrassa.
13. Zbieżność i suma szeregu, przykłady szeregów zbieżnych i rozbieżnych. Kryteria zbieżności
szeregów liczbowych.
14. Funkcje elementarne i ich wykresy.
15. Granica i ciągłość funkcji oraz jednostajna ciągłość. Własności funkcji ciągłej w przedziale
domkniętym.
16. Definicja i podstawowe własności pochodnej funkcji jednej zmiennej, zastosowania
geometryczne i mechaniczne.
17. Twierdzenia o wartości średniej: Rolle`a, Lagrange`a i Cauchy`ego.
18. Pochodne wyższych rzędów, wzór Taylora.
19. Badanie funkcji.
20. Różniczkowanie odwzorowanie z Rk do Rm.
21. Badanie ekstremum funkcji wielu zmiennej.
22. Całka jednokrotna i całka wielokrotna i związek z miarą podwykresu.
23. Obliczanie całek nieoznaczonych.
24. Całka oznaczona, jej własności i związek z polem.
25. Zastosowania geometryczne całek oznaczonych.
26. Kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
27. Zbieżność i jednostajna zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych.
28. Szereg potęgowy, jego promień zbieżności, twierdzenie Cauchy`ego - Hadamarda.
29. Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy (przykłady).
30. Całka Riemanna lub Lebesgue’a, konstrukcja i własności.
31. Relacje: typy, własności i przykłady.
32. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. Liczby kardynalne i porządkowe.
33. Liczby zespolone - definicja, działania, wzór Eulera i wzór Moivre`a.
34. Definicja i podstawowe własności prawdopodobieństwa.
35. Prawdopodobieństwo warunkowe, wzory na prawdopodobieństwo całkowite i Bayesa ,
niezależność zdarzeń.
36. Zmienne losowe, definicje, typy, przykłady.
37. Rozkład zmiennej losowej – definicja, przykłady.
38. Dystrybuanta zmiennej losowej i jej własności.
39. Wartość oczekiwana zmiennej losowej, własności i przykłady.
40. Wariancja zmiennej losowej, własności i przykłady.
41. Prawa wielkich liczb rachunku prawdopodobieństwa.
42. Zliczanie z utożsamieniami (Lemat Burnside’a).
43. Twierdzenie Halla i jego zastosowania.
44. Liczby i indeksy chromatyczne.