Lista 4 - wmiRepo

Lista Zadań Nr
4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE A2
Grzegorz Karch
1 listopada 2005 r.
http://www.math.uni.wroc.pl/˜karch/A2
Stabilność w sensie Lapunowa
Zadanie 35. Zbadaj istnienie cykli granicznych dla ukÃladów zapisanych we spóÃlrzednych
‘
biegunowych i naszkicuj ich portrety fazowe:
a) r0 = r(1 − r)2 , ϕ0 = 1; b) r0 = sin r, ϕ0 = 1; b) r0 = r sin 1r , ϕ0 = 1.
Zadanie 36. Dany jest ukÃlad równań r0 = f (r), ϕ0 = 1, gdzie f jest dana funkcja klasy C 1 .
‘
‘
Jakie warunki musi speÃlniać ta funkcja, aby ukÃlad miaÃl cykl graniczny?
Zadanie 37. Znaleźć zamkniete orbity równań:
‘
y 00 + (2(y 0 )2 + y 4 − 1)y 0 + y 3 = 0,
y 00 + (2(y 0 )2 + y 4 − 1)y 3 = 0.
Zadanie 38. Dany jest ukÃlad równań
x01 = −ax2 + x1 (1 − x21 − x22 ),
x02 = ax1 + x2 (1 − x21 − x22 ) − b,
gdzie a i b sa staÃlymi. Pokazać, że istnieje dysk K = {(x1 , x2 ) : x21 + x22 ≤ r2 }, taki że
‘
wszystkie orbity tego ukÃladu wchodza do K dla t → ∞.
‘
Zadanie 39. Pokazać, że ukÃlad
x01 = 1 − x1 x2 ,
x02 = x1 ,
nie ma cyklu granicznego.
Zadanie 40. Stosujac twierdzenie Poincarégo-Benedixsona udowodnij istnienie nietrywial‘
nego rozwiazania okresowego dla równania z 00 + [log(z 2 + 4(z 0 )2 )]z 0 + z = 0.
‘
G rzegorz Karch
Przestrzeń fazowa i ukÃlad dynamiczny
Literatura: A. Palczewski, “RRZ”, RozdziaÃl 10 oraz I.G. Pietrowski, “RRZ”, §53
Rozważamy równanie autonomiczne
x̄0 = f (x̄),
(1)
którego prawa strona jest funkcja klasy C 1 w pewnym zbiorze otwartym Q ⊂ IRm . Bedziemy
‘
zakÃladać, że równanie (1) z warunkiem poczatkowym x̄(0) = p ∈ Q ma dokÃladnie jedno rozwiazanie
‘
‘
dla t ∈ (−∞, +∞).
Przestrzeń fazowa ukÃladu (1) to zbiór wszystkich wartości rozwiazań x̄ = x̄(t) ukÃladu (1).
‘
Twierdzenie. Niech x(p, t) oznacza rozwiazanie ukÃladu (1) z z warunkiem poczatkowym x̄(0) = p.
‘
‘
Funkcja x = x(p, t) speÃlnia nastepujace warunki:
‘
‘
1) x(p, 0) = p;
2) x(p, t) jest ciagÃla jako funkcja dwóch zmiennych;
‘
3) x(p, t + s) = x(x(p, s), t).
Niech M bedzie przestrzenia fazowa ukÃladu (1). Z powyższego twierdzenia wynika istnienie jednopara‘
‘
‘
metrowej rodziny dyfeomorfizmów g t : M → M , t ∈ (−∞, +∞) danej wzorem g t (p) = x(p, t).
Potokiem nazywamy pare (M, g t ), gdzie M jest przestrzenia fazowa, a g t rodzina dyfeomorfizmów
‘
‘
‘
‘
M speÃlniajacych warunki g t+s = g t g s oraz (g t )−1 = g −t .
‘
UkÃlady hiperboliczne
Definicja.
Mówimy, że dwa potoki (M, g1t ) i (M, Gt2 ) sa topologicznie równoważne, jeżeli istnieje taki homeo‘
morfizm przestrzeni fazowej h : M → M , że h · g1t = g2t · h dla każdego t ∈ IR.
1
Definicja.
Dany jest ukÃlad liniowy o staÃlych wspóÃlczynnikach x0 = Ax. Niech (IRm , etA ) bedzie potokiem gene‘
rowanym przez ten ukÃlad. Mówimy, że potok ten jest hiperboliczny, jeżeli wszystkie wartości wÃlasne
macierzy A maja niezerowe cześci rzeczywiste.
‘
‘
Najważniejsze twierdzenie dotyczace potoków hiperbolicznych podane jest poniżej.
‘
Twierdzenie. Dane sa dwa potoki hiperboliczne (IRm , etA1 ) i (IRm , etA2 ). Jeżeli liczby wartości
‘
wÃlasnych z dodatnia i ujemna cześcia rzeczywista sa takie same dla macierzy A1 i A2 , to potoki te
‘
‘ ‘
‘
‘ ‘
sa topologiczne równoważne.
‘
Przejdziemy teraz do ukÃladów nieliniowych.
Definicja.
Punkt krytyczny x0 ukÃladu równań x0 = f (x) nazywa sie hiperboliczny, jeżeli ukÃlad zlinearyzowany
‘
x0 = Df (x0 )x generuje potok hiperboliczny.
Twierdzenie. (Grobman-Hartman) Jeżeli x = 0 jest punktem hiperbolicznym ukÃladu
x0 = Ax + g(x),
(2)
gdzie g(x) jest funkcja klasy C 1 w otoczeniu zera, g(0) = 0 oraz limkxk→0 kg(x)k
kxk = 0, to portret
‘
fazowy ukÃladu (2) jest w otoczeniu punktu x = 0 topologicznie równoważny portretowi fazowemu
ukÃladu zlinearyzowanego x0 = Ax.
Twierdzenia Poincarégo-Benedixona
Definicja.
Dany jest ukÃlad x0 = f (x). Zbiorem ω-granicznym punktu p (orbity punktu p) bedziemy nazywać
‘
zbiór
ω(p) = {y ∈ IRm : y = lim x(p, tn ) dla pewnego ciagu {tn }, tn → +∞}.
n→∞
‘
Zbiorem α-granicznym punktu p (orbity punktu p) bedziemy nazywać zbiór
‘
m
α(p) = {y ∈ IR : y = lim x(p, tn ) dla pewnego ciagu {tn }, tn → −∞}.
n→∞
‘
Twierdzenie. Zbiory α− i ω−graniczne maja nastepujace wÃlasności:
‘
‘
‘
Zbiór graniczny jest domkniety.
‘
Zbiór graniczny zawiera caÃle trajektorie.
Jeśli zbiór wartości funkcji x(t) jest ograniczony, to odpowiedni zbiór graniczny jest niepusty i
zwarty.
Zbiór graniczny skÃlada sie z punktu izolowanego x0 wtedy i tylko wtedy gdy punkt ten jest granica
‘
‘
rozwiazania dla t → +∞.
‘
Podamy teraz serie ważnych twierdzeń dotyczacych potoków generowanych na pÃlaszczyźnie IR2 . Sa
‘
‘
‘
to tzw. twierdzenia Poincarégo-Benedixona.
Twierdzenie. Jeżeli trajektoria zawiera przynajmniej jeden swój punkt graniczny (α lub ω), to
jest to trajektoria zamknieta lub jest punktem równowagi.
‘
Twierdzenie. Niech rozwiazanie x(t), któremu odpowiada trajektoria `, ma dla t → ∞ punkt
‘
˜ Wówczas albo ` = `,
˜ albo dla t → ∞, `
graniczny, należacy do pewnej trajektorii zamknietek `.
‘
‘
˜
spiralnie przybliża sie do `.
‘
Twierdzenie. Niech dany bedzie pewnien ograniczony obszar domkniety Ḡ, w którym nie ma
‘
‘
punktów równowagi. Niech wszystkie trajektorie, zaczynajace sie w Ḡ, pozostaja tam dla wszystkich
‘
‘
‘
t. Wówczas caÃla taka trajektoria, albo przedstawia soba cykl, albo spiralnie zbliża sie dla t → ∞ do
‘
‘
pewnego cyklu.
Twierdzenie. Niech w pewnym otoczeniu trajektorii zamknietej ` nie ma innych trajektorii zamk‘
nietych. Wówczas wszystkie trajektorie, zaczynajace sie dostatecznie blisko `, spiralnie przybliżaja
‘
‘
‘
‘
sie do ` albo dla t → +∞ albo t → −∞.
‘
2