Ekonometria - cz. 2. - Wydział Zarządzania i Ekonomii

Transkrypt

Dr hab. Jerzy Czesław Ossowski – Wybrane elementy ekonometrii stosowanej cz. II
Istotność zmiennych modelu, autokorelacja i modele multiplikatywne
Ekonometria-ćw.cz2-SSW
dr hab. Jerzy Czesław Ossowski
Katedra Nauk Ekonomicznych
Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechniki Gdańskiej
EKONOMETRIA - ELEMENTY EKONOMETRII STOSOWANEJ – CZĘŚĆ II
MATERIAŁY DO PRACY WŁASNEJ - CZĘŚĆ II
BADANIE ISTOTNOŚCI ZMIENNYCH, AUTOKORELACJA, MODELE MULTIPLIKATYWNE
8. Badanie istotności zmiennych w modelu regresji liniowej
• Rozpatrywany model [por. (16) i (36.a) i (61)]:
(79)
yt = β 0 + β 1 xt 1 + β 2 xt 2 + ε t
•
Pełny zapis oszacowanej postaci modelu (79) uwzględniający błędy szacunku parametrów [por.: (77)]:
(80)
yˆ t = βˆ 0 + βˆ1 ⋅ xt 1 + βˆ1 ⋅ x t 2
[ S ( βˆ 1 )]
[ S ( βˆ 0 )]
[ S ( βˆ 2 )]
Dowodzi się, że jeżeli zmienna losowa εt ma rozkład normalny o średniej wartości równej zero (Eεt=0)
i stałej wariancji (Eεt2= σε2 =const.), to zmienna losowa:
βˆ − β i
(81)
ti = i
S ( βˆ )
i
ma rozkład t-Studenta o [n-(k+1)] stopniach swobody.
Wykorzystując powyższą prawidłowość dokonać możemy weryfikacji hipotezy zerowej (H0) zakładającej
zerową wartość parametru βi na rzecz hipotezy alternatywnej (H1) uznającej dodatnią lub ujemną wartość tegoż
parametru, co zapiszemy następująco:
H0 : βi = 0
H1 : β i ≠ 0
W warunkach hipotezy zerowej statystyka (81) przyjmie następującą postać:
βˆ i
(82)
ti =
, ( β i = 0)
S ( βˆ i )
Obliczoną na podstawie (82) wartość empiryczną ti konfrontujemy z wartością krytyczną tα odczytaną z tablic
rozkładu t-Studenta dla liczby swobody [n-(k+1)] oraz arbitralnie ustalonego poziomu istotności α (alfa).
Konfrontacja ta prowadzić może do jednej z dwu następujących sytuacji decyzyjnych:
A:
t i > tα
t i ≤ tα
Obecnie powiemy, że:
B:
•
•
W przypadku A odrzucamy hipotezę zerową (H0) na rzecz hipotezy alternatywnej (H1). Oznacza to, że
parametr βi statystycznie istotnie różni się od zera. Możemy tym samym uznać, że zmienna xti
występująca przy parametrze βi statystycznie istotnie oddziałuje na zmienną objaśnianą yt.
W przypadku B nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej (H0). Oznacza to, że parametr βi
nie różni się w sensie statystycznym istotnie od zera. Powinniśmy tym samym uznać, że zmienna xti
występująca przy parametrze βi w sensie statystycznym nieistotnie oddziałuje na zmienną objaśnianą
yt.
Przykład 4. (kontynuacja przykładu 1, 2 i 3 z części I)
Rozważ następujący model i jego oszacowaną postać dla n=8 obserwacji:
yt = β 0 + β 1 x t + ε t ,
gdzie:
yt :
kwartalne koszty produkcji w milionach złotych
xt :
kwartalna produkcja telewizorów w tyś. sztuk
yˆ t = 1,2 + 0,8 x t ,
(pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku parametrów)
( 0 , 23 )
( 0 ,021)
1
Wiedząc, że wartośćkrytyczna statystyki t-Studenta dla 6-ciu stopni swobody i założonego poziomu
istotności α=0,05 wynosi: tα=0,05 = 1,943:
1. Postawić hipotezę zerową i alternatywną dotyczącą parametru β1 i wyjaśnić sens postawionych hipotez,
2. Wyznaczyć wartość empiryczną statystyki t1 w warunkach postawionej hipotezy zerowej.
3. Zbadać istotność oddziaływania zmiennej xt na zmienną yt w założonych warunkach
4. Przedyskutować problem wystąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania otrzymanego w
punkcie 3.
Ad 1
Hipoteza zerowa i alternatywna:
H 0: β 1 = 0
H 0: β 1 ≠ 0
W warunkach, gdy nie ma podstaw do odrzucenia H0 powiemy, że parametr β1 statystycznie
nieistotnie różni się od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzrost zmiennej xt (produkcji telewizorów)
nie wywoła żadnych istotnych zmian zmiennej yt (w zakresie kosztów produkcji). Oznaczałoby to, że zmienna
xt w sensie statystycznym nieistotnie oddziałuje na zmienną yt. Innymi słowy właściwości materiału
statystycznego nie pozwalają na wiarygodną, nie obdarzoną dużymi błędami ocenę parametru strukturalnego.
W przypadku odrzucenia hipotezy zerowej na rzecz hipotezy alternatywnej powiedzielibyśmy, że
parametr β1 statystycznie istotnie różni się od zera. Tym samym moglibyśmy uznać, że wzrost zmiennej xt
(produkcji telewizorów) wywołuje statystycznie istotny wpływ na zmienną yt (koszty produkcji).
Ad 2
Wartość empiryczna statystyki t1 w warunkach postawionej hipotezy zerowej:
βˆ − [ β 1 = 0]
βˆ1
0,8
t1 = 1
=
=
= 38,1
ˆ
ˆ
0
,021
S(β1 )
S (β1 )
Ad 3
Na podstawie dokonanych obliczeń stwierdzamy, że:
t1 = 38,1 = 38,1
Oznacza to, że:
t1 = 38,1 > tα = 1,943 ,
tym samym hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej. Powiemy więc, że w rozważanym
przypadku parametr β1 statystycznie istotnie różni się od zera. Mamy tym samym prawo uznać, że zmienna xt
(poziom produkcji telewizorów) wywołuje statystycznie istotny wpływ na zmienną yt (koszty produkcji). Należy
zaznaczyć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieństwo uznania hipotezy fałszywej za prawdziwą jest
równe α=0,05.
Ad 4
Gdybyśmy stwierdzili, że:
t1 ≤ tα = 1,943
musielibyśmy przychylić się w kierunku hipotezy zerowej. W tych warunkach powiedzielibyśmy, że nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Wskazywałoby to, że parametr β1 statystycznie nieistotnie różni się
od zera. Tym samym musielibyśmy uznać, że wzrost zmiennej xt (produkcji telewizorów) nie wywoła żadnych
istotnych zmian zmiennej yt (w zakresie kosztów produkcji). (patrz punkt 1).
9. Autokorelacja składników losowych – pojęcie, przyczyny i pomiar
9.1. Pojecie autokorelacji składników losowych
• Rozpatrywany model [por. (16) i (36.a), (61) (79)]:
(83)
yt = β 0 + β 1 xt 1 + β 2 xt 2 + ε t
Autokorelacja składników losowych wystąpi wtedy, gdy składniki zakłócające z kolejnych okresów
oddziaływają na siebie. Siłę tego związku określa współczynnik autokorelacji składników losowych. Podstawę
autokorelacji wyznacza współczynnik autokorelacji pierwszego rzędu:
cov(ε t , ε t − 1 ) E (ε t ⋅ ε t − 1 )
(84)
=
;
( Eε t2 = Eε t2− 1 = δ ε2 = const .)
ρ1 =
var(ε t )
Eε t2
9.2. Podstawowe przyczyny autokorelacji składników losowych:
a) niewłaściwa postać analityczna modelu ( np. postać liniowa modelu zamiast nieliniowej),
b) nieuwzględnienie w modelu istotnych w sensie ekonomicznym zmiennych objaśniających, które w okresie
próby statystycznej wykazywały nielosową zmienność ( wyraźne tendencje zmian),
c) niewłaściwe określenie w modelu opóźnień czasowych w zbiorze zmiennych objaśniających lub ich
nieuwzględnienie w przypadku, gdy istnieją ku temu przesłanki,
d) powolne wygasanie efektów działania składnika zakłócającego (losowego),
2
e) w przypadku posługiwania się danymi miesięcznymi, kwartalnymi lub półrocznymi - nieuwzględnienie w
modelu funkcji określającej efekty sezonowe lub niewyeliminowanie sezonowości w danych statystycznych (np.
zastosowanie przyrostów rocznych zmiennych).
9.3. Pomiar autokorelacji składników losowych:
Z uwagi na fakt, iż składniki losowe nie są obserwowalne, przy pomiarze autokorelacji składników
losowych posługujemy się resztami modelu, uznając je za ocenę ich realizacji. W rezultacie ocenę
współczynnika autokorelacji definiuje się następująco:
n
∑ (εˆ ⋅ εˆ )
(85)
ρˆ 1 = t = 2 n t 2t − 1
∑ t =1 εˆt
W praktyce, przy weryfikacji autokorelacji składników losowych nie korzysta się z powyższego wyrażenia, gdyż
statystyki oparte na nim nie uwzględniałyby liczby zmiennych objaśniających w modelu. Tych mankamentów
pozbawiona jest statystyka Durbina-Watsona:
n
∑ (εˆ − εˆ ) 2
(86)
DW = t = 2 nt 2t − 1
∑ t =1 εˆt
Warto zauważyć, że istnieje pewien przybliżony związek pomiędzy wyrażeniem (85) a (86), który zapisać
możemy następująco:
DW ≅ 2(1 − ρˆ 1 )
(87)
Z powyższego wynika, że:
A.
ρˆ 1 = 1 ⇒ DW ≅ 0
ρˆ 1 = 0 ⇒ DW ≅ 2
ρˆ 1 = −1 ⇒ DW ≅ 4
B.
C.
Oznacza to, że jeżeli statystyka empiryczna DW przyjmuje wartość bliską 2, to może wstępnie uznać, iż
autokorelacja jest nieistotna. Szacując model w sytuacji, gdy 1,5<DW<2,5, wstępnie możemy uznać go za
satysfakcjonujący z punktu widzenia autokorelacji.
Jak wykazali Durbin i Watson, rozkład statystyki DW dla liczby obserwacji n i liczby zmiennych k
zawiera się miedzy dwiema innymi statystykami dL i dU, gdzie pierwsza jest kresem dolnym a druga kresem
górnym w tej staystyc. Aby wykorzystać właściwości testu formułujemy następująco zapisane hipotezy
konkurencyjne względem siebie:
H 0:
ρ1 = 0
H 1:
ρ1 > 0
Rozważyć możemy trzy następujące sytuacje:
I.
DW < dL
II.
dL ≤ DW ≤ dU
III.
DW > dU
W przypadku I hipotezę zerową odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej, co wskazuje na silną
dodatnią autokorelację
W przypadku II test nie daje odpowiedzi, w kierunku której z hipotez należy się przychylić (test jest
niekonkluzywny).
W przypadku III przychylamy się w kierunku hipotezy zerowej, uznając brak dodatniej autokorelacji
między składnikami zakłócającymi.
Tabela II.1
Przykład wartości krytycznych rozkładu DW
k
1
2
3
n
dL
dU
dL
dU
dL
dU
6
0,610 1,400
7
0,700 1,356 0,467 1,896
8
0,763 1,332 0,559 1,777 0,368 2,287
9
0,824 1,320 0,629 1,699 0,455 2,128
...
...
...
...
...
...
...
Przykład 5 (kontynuacja przykładu 1 i 2)
1.
2.
3.
Wykorzystując informacje statystyczne i oszacowania z przykładu 1 i 2 oszacować i zinterpretować:
Empiryczną wartość statystyki DW
Zweryfikować hipotezy dotyczące autokorelacji składników losowych rozpatrywanego w przykładzie 1 modelu ,
Przedyskutować problem wystąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania otrzymanego w punkcie 2.
3
Tabela II.2
t
εˆt
1
2
3
4
5
6
7
8
0,1
-0,1
0,1
0,1
-0,2
-0,1
-0,3
0,4
0,0
εˆt − 1
εˆt − εˆt − 1
(εˆt − εˆt − 1 ) 2
-
-
-
0,1
-0,1
0,1
0,1
-0,2
-0,1
-0,3
-
-0,2
0,2
0,0
-0,3
0,1
-0,2
0,7
-
εˆt2
0,01
0,01
0,01
0,01
0,04
0,01
0,09
0,16
0,34
0,04
0,04
0,00
0,09
0,01
0,04
0,49
0,71
Ad 1
Empiryczna wartość statystyki DW (Durbina-Watsona):
n=8
∑ (εˆ − εˆ ) 2 0,71 = 2,088
DW = t = 2 nt= 8 2t − 1 =
0,34
∑ t =1 εˆt
Zauważ, że:
DW
2
Oznacza to, że w analizowanym przypadku współczynnik autokorelacji reszt pierwszego rzędu w przybliżeniu
wynosi:
DW
2,088
ρˆ 1 ≅ 1 −
= 1−
= 1 − 1,044 = −0,044
2
2
Ad 2
Weryfikujemy następująco zdefiniowaną hipotezę zerową względem jej alternatywy:
H0: ρ1=0
H0: ρ1>0
Z tablic rozkładu DW odczytujemy wartości krytyczne dL i dU dla liczby obserwacji n=8 oraz liczby zmiennych
objaśniających k=1 przy poziomie istotności α=0,05.
Wartości te wynoszą odpowiednio:
dL = 0, 763,
dU = 1,332
Z uwagi na fakt, iż:
DW = 2,088 > dU = 1,332
Przychylamy się w kierunku H0 uznając, iż dodatnia autokorelacja składników losowych jest nieistotna
(wykluczamy wystąpienie dodatniej autokorelacji).
Ad.3
Przypadek 3.a: Gdybyśmy stwierdzili, że:
DW < dL = 0,763
wówczas odrzucilibyśmy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej, Świadczyłoby to, iż w
rozpatrywanym przypadku należałoby uznać istotne dodatnie skorelowanie składników losowych (jest to tzw.
dodatnia autokorelacja składników losowych).
Przypadek 3.b: Gdybyśmy stwierdzili, że:
dL = 0,763 < DW < dU = 1,332
wówczas oznaczałoby to, iż test jest niekonkluzywny, a tym samym nie pozwala na przychylenie się w kierunku
którejś z postawionych hipotez.
DW ≅ 2(1 − ρˆ 1 ) ⇒ ρˆ 1 ≅ 1 −
10. Modele multiplikatywne – podstawy
10.1 Multiplikatywne modele potęgowe
• Przykład potęgowego modelu multiplikatywnego:
yt = B0 ⋅ x tβ11 ⋅ xtβ22 ⋅ e ε t
• Postać zlinearyzowana modelu (88):
(89)
ln yt = β 0 + β 1 ln x t 1 + β 2 ln xt 2 + ε t ; ( β 0 = ln B0 )
(88)
4
•
Właściwości interpretacyjne modeli potęgowych:
I.A. Uwagi dotycząca pomiaru elastyczności w modelu o ogólnej postaci:
y = y(x)
Pojęcie elastyczności przedziałowej zmiennej y ze względu na x:
Ey(x)=[∆y/y(x)]/(∆x/x),
gdzie: ∆x=x1-x0; ∆y=y(x1)- y(x0)
Powiemy, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% to zmienna y zmieni się o około Ey(x)%.
Zauważ, że funkcję elastyczności przekształcić możemy do następującej postaci:
Ey(x)=[∆y/ ∆x]·[x/ y(x)]
Oznacza to, że w granicy elastyczność punktowa będzie równa:
Ey(x)=lim∆x→0[∆y/ ∆x]·[x/ y(x)]= [dy/ dx]·[x/ y(x)]
I.B. Przypadek funkcji potęgowej z jedną zmienną objaśniającą:
y = A xa, gdzie: dy/dx = (a/x)·A xa
Oznacza to, że
Ey(x)= [dy/dx]·[x/y(x)]= (a/x)·A xa [x/ A xa] = a
Oznacza to, że w przypadku funkcji potęgowej elastyczność jest stała i ponadto równa wykładnikowi
potęgi. Powiemy więc, że jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% to, zmienna y zmieni się (wzrośnie lub
zmaleje) o a%.
II. Uwagi dotyczące pomiaru elastyczności w modelach potęgowych o ogólnej postaci:
y = A xa zb
Wykorzystując właściwości różniczki zupełnej, na podstawie powyższego modelu w
następujący sposób określamy związek pomiędzy względną zmianą zmiennej y a względnymi zmianami
zmiennych x i z:
dy/y = a·(dx/x) + b·(dz/z)
Oznacza to, że:
1. w warunkach stałości zmiennej z (tzn. dz=0) wzrost x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o
a%, tym samym parametr a jest elastycznością cząstkową y ze względu na x : Ey(x)=(dy/y)/(dx/x), w
warunkach gdy dz=0,
2. w warunkach stałości zmiennej x (tzn. dx=0) wzrost z o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o
b%, tym samym parametr b jest elastycznością cząstkową y ze względu na z : Ey(z)=(dy/y)/(dz/z), w
warunkach gdy dx=0.
Przykład 6 [modyfikacja modelu z przykładów 1,2 i 3 – przypadek modelu potęgowego(multiplikatywnego)]
Rozważ następującą zmodyfikowaną postać modelu z przykładu 1 (cz.1):
yt = B0 x tβ 1 e ε t
Celem oszacowania parametrów strukturalnych powyższego modelu dokonano jego linearyzacji
poprzez jego obustronne zlogarytmowanie:
ln y t = β 0 + β 1 ln x t + ε t , ( β 0 = ln B0 )
Powyższą postać modelu oszacowano za pomocą estymatora MNK i otrzymano następujące wyniki:
ln yˆ t = 0,276 + 0,848 ln xt
(pod ocena parametru β1 zamieszczony jest średni błąd szacunku)
( 0 ,0227 )
DW = 1,875
R2 = 0,996
Odpowiednie wartości krytyczne statystyk t- Studenta i Durbina-Watsona wynoszą odpowiednio:
[ tα=0,05 = 1,943 ],
[dL = 0, 763,
dU = 1,332]
Na podstawie powyższych informacji:
1. Zinterpretować współczynnik determinacji,
2. Zbadać istotność oddziaływania zmiennej xt na zmienną yt,
3. Zweryfikować hipotezy dotyczące autokorelacji składników losowych ,
4. Oszacowaną postać modelu sprowadzić do postaci pierwotnej i zinterpretować wpływ zmiennej xt na
zmienną yt. (zinterpretować oszacowaną elastyczność)
Ad 1
Na podstawie współczynnika determinacji R2 = 0,996 powiemy, że 99,6 % zmienności zmiennej
objaśnianej (logarytmu kosztów produkcji) zostało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarytm
poziomu produkcji telewizorów).
5
Ad 2
Weryfikujemy hipotezę zerową względem jej następująco zdefiniowanej alternatywy:
H 0: β 1 = 0
H 0: β 1 ≠ 0
Wartość empiryczna statystyki t1 w warunkach postawionej hipotezy zerowej wynosi:
βˆ1
0,848
t1 =
=
= 37,36
ˆ
0
,0227
ˆ
σ ( β1 )
t1 = 37,36 = 37,36
Oznacza to, że:
t1 = 37,36 > tα = 1,943 ,
(wielkość produkcji telewizorów) wywołuje statystycznie istotny wpływ na zmienną yt (koszty produkcji).
Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieństwo uznania hipotezy
fałszywej za prawdziwą jest równe α=0,05.
Ad 3.
H0: ρ1=0
H0: ρ1>0
DW = 1,875 > dU = 1,332
Przychylamy się w kierunku H0 uznając, iż dodatnia autokorelacja składników losowych jest nieistotna
(wykluczamy możliwość wystąpienia dodatniej autokorelacji składników losowych).
Ad.4
Sprowadzenie postaci zlogarytmowanej modelu do jego postaci pierwotnej
ln yˆ t = 0,276 + 0,848 ln xt ⇒ yˆ t = e 0,276 xt0,848
( 0,0227)
Elastyczność kosztów ze względu na poziom produkcji:
dyˆ / yˆ
dyˆ
yˆ
E yˆ ( x ) = t t = t : t = 0,848
dxt / x t dx t xt
Powiemy, że jeżeli produkcja telewizorów wzrośnie o 1% to koszty produkcji wzrosną o około 0,848% z
przeciętnym błędem 0,023%.
Zauważ, że elastyczność możemy wyrazić alternatywnie w postaci:
a) pochodnej logarytmicznej w punkcie funkcji:
d ln yˆ t
E yˆ ( x ) =
= 0,848
d ln xt
b) lub relacji przyrostów logarytmów zmiennych w przedziale funkcji:
∆ ln yˆ t
E yˆ ( x ) =
= 0,848
∆ ln xt
Problem 9. (kontynuacja problemu 8 z cz. I materiałów)
Zinterpretuj multiplikatywny model całkowitej konsumpcji globalnej oraz jego zlinearyzowanej postaci
oszacowanej na podstawie informacji zawartych w tabeli 3 z części I.
• Postać strukturalna modelu:
β
CON t = B0 ⋅ PKBN tβ 1 ⋅ e ε t
• Postać zlinearyzowana modelu:
ln CON t = β 0 + β 1 ⋅ ln PKBN t + ε t , ( β 0 = ln B0 )
• Oszacowana postać zlinearyzowanego modelu:
ln COˆ N = 0,596 + 0,884 ⋅ PKBN
t
•
( 0,151) ( 0,022)
t
Podstawowe miary dopasowania modelu do rzeczywistości:
R2 = 0,996
DW=1,951
6
Odpowiednie wartości krytyczne statystyk:
[ tα=0,05 = 1,895 ],
[dL = 0,824
dU = 1,32]
10.2 Multiplikatywne modele potęgowo-wykładnicze
• Przykład potęgowo-wykładniczego modelu multiplikatywnego:
yt = B0 ⋅ xtβ 1 ⋅ e β 2 ⋅ t ⋅ e ε t
• Postać zlinearyzowana modelu (88):
(91)
ln yt = β 0 + β 1 ln x t + β 2 t + ε t
(90)
•
Właściwości interpretacyjne potęgowo-wykładniczego modelu multiplikatywnego.
III. Uwagi dotyczące właściwości interpretacyjnych modeli potęgowo-wykładniczych o postaci:
(1)
yt = A xta eb·t
(t=1,2,3,...)
A) Zauważmy, że w dowolnym okresie t wzrost x o 1% prowadzi do zmiany zmiennej y o a%, tym
samym parametr a jest elastycznością cząstkową y ze względu na x w okresie t: Ey(x)=(dy/y)/(dx/x)=a.
B) Zauważmy, że w warunkach stałości zmiennej x funkcję (1), dla kolejnych okresów: t-1 i t, zapisać
możemy następująco:
(2.1)
yt-1 = A0 eb·(t-1)
(2.2)
yt = A0 eb·t
gdzie: A0 = A·xt-1a = A·xta jako , że: xt-1=xt =const. dla t= 1,2,3...
Wiedząc, że: ∆yt=yt-yt-1 oraz dzieląc (2.2) przez (2.1) otrzymujemy kolejno:
(3.2)
[(yt-1+∆yt)/yt-1] = eb
(3.3)
[1+(∆yt/yt-1)]= eb
(3.1)
[yt/yt-1] = eb,
Ostatecznie otrzymujemy miernik tempa zmian y w postaci okresowej stopy wzrostu zmiennej y (ryt):
∆yt/yt-1 = eb -1 ≈ b
(4)
ryt:
Na podstawie (4) powiemy, że w warunkach stałości zmiennej x, z okresu na okres zmienna y wzrasta
(lub maleje) o (eb -1)·100%, czyli w przybliżeniu o b·100%.
Przykład 7 [modyfikacja modelu z przykładów 1,2,3 i 6– przypadek modelu multiplikatywnego potęgowo-wykładniczego
Rozważ następującą zmodyfikowaną postać modelu z przykładu 1 i 6 (cz.1):
yt = B0 ⋅ xtβ 1 ⋅ e β 2 ⋅ t ⋅ e ε t
ln yt = β 0 + β 1 ln x t + β 2 t + ε t , ( β 0 = ln B0 )
Powyższą postać modelu na podstawie danych statystycznych z przykładu 1 oszacowano za pomocą estymatora
MNK i otrzymano następujące wyniki:
ln yˆ t = 0,638 + 0,593 ln x t + 0,045 ⋅ t
(pod ocena parametru β1 i β2 zamieszczono ich średnie błędy szacunku)
( 0 ,195 )
( 0 , 0345 )
R2 = 0,997
DW = 2,0166
[ tα=0,05 = 2,015 ],
[dL = 0,559,
dU = 1,772]
2. Zbadać istotność oddziaływania zmiennej xt i t na zmienną yt,
3. Zweryfikować hipotezy dotyczące autokorelacji składników losowych ,
4. Oszacowaną postać modelu sprowadzić do postaci pierwotnej i zinterpretować wpływ zmiennej xt oraz
t na zmienną yt. (zinterpretować oszacowaną elastyczność i warunkową stopę wzrostu)
Ad 1
Na podstawie współczynnika determinacji R2 = 0,997 powiemy, że 99,7 % zmienności zmiennej
objaśnianej (logarytmu kosztów produkcji) zostało wyjaśnione przez zmienną objaśniającą modelu (logarytm
ilości telewizorów).
Ad 2
H 0: β 1 = 0
H 0: β 1 ≠ 0
βˆ1
0,593
t1 =
=
= 3,04
ˆ
σˆ ( β 1 ) 0,195
7
t1 = 3,04 = 3,04
Oznacza to, że:
t1 = 3,04 > tα = 2,015 ,
(wielkość produkcji telewizorów) w dowolnym okresie t wywołuje statystycznie istotny wpływ na zmienną yt
(koszty produkcji). Jednocześnie możemy powiedzieć, iż w rozważanym przypadku prawdopodobieństwo
uznania hipotezy fałszywej za prawdziwą jest równe α=0,05.
H 0: β 2 = 0
H 0: β 2 ≠ 0
βˆ 2
0,045
=
= 1,304
t2 =
ˆ
S ( β 2 ) 0,0345
t 2 = 1,304 = 1,304
Oznacza to, że:
t 2 = 1,304 < tα = 2,015 ,
tym samym przy przyjętym poziomie istotności nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Powiemy
więc, że w rozważanym przypadku parametr β2 nie wykazuje statystycznie istotnej różnicy od zera. Mamy tym
samym prawo uznać, że zmienna czasowa t nie wpływa statystycznie istotnie zmienną yt (koszty produkcji).
Ad 3.
H0: ρ1=0
H0: ρ1>0
DW = 2,0166 > dU = 1,772
przychylamy się w kierunku H0 uznając, iż dodatnia autokorelacja składników losowych jest nieistotna
(wykluczamy możliwość wystąpienia dodatniej autokorelacji składników losowych).
Ad.4
Sprowadzenie postaci zlogarytmowanej modelu do jego postaci pierwotnej
ln yˆ t = 0,638 + 0,593 ln x t + 0,045 ⋅ t ⇒ yˆ t = e 0, 276 xt0,848 e 0,045⋅ t
( 0 ,195 )
( 0 , 0345 )
Elastyczność kosztów produkcji ze względu na poziom produkcji:
dyˆ / yˆ
dyˆ
yˆ
E yˆ ( x ) = t t = t : t = 0,593
dx t / xt dx t x t
Powiemy, że w dowolnym okresie t, jeżeli produkcja wzrośnie o 1% to koszty produkcji wzrosną o około
0,93% z przeciętnym błędem 0,195%.
Warunkowa stopa wzrostu kosztów produkcji (tzn., w warunkach stałości poziomu produkcji):
∆yˆ t
ryˆ t =
= (e 0,045 − 1) = 0,046 ⇒ ryˆ t % = 4,6%
yˆ t − 1
Powiemy, że w warunkach stałości produkcji (xt=const.) przeciętna roczna stopa wzrostu ich kosztów produkcji
wynosiła 4,6%. Można byłoby to tłumaczyć między innymi wzrostem cen czynników produkcji (np. cen energii,
paliw lub płac).
11. Przyczynowo-skutkowy model płac realnych – usuwanie przyczyn autokorelacji
Problem 10
Zinterpretuj przyczynowo-skutkowy multiplikatywny model poziomu przeciętnej płacy realnej w
Polsce oszacowany na podstawie danych rocznych z lat 1995-2009.
Założenie do przyczynowo-skutkowego modelu płac:
• Przeciętny poziom realnej płacy (W) w danym okresie jest dodatnio uzależniony od poziomu przeciętnej
wydajności pracy (APL) z danego okresu oraz ujemnie uzależniony od odpowiednio opóźnionej w czasie
stopy bezrobocia (UR):
Wt = W ( APLt , AURt − i ) ,
(+ )
(−)
8
AURt - uśredniona w roku t stopa bezrobocia,
i - stopień opóźnienia w czasie t oddziaływaniu stopy bezrobocia na poziom płacy realnej
Postać strukturalna modelu multiplikatywnego:
gdzie:
•
•
•
Wt = B0 ⋅ APLβt 1 ⋅ AURtβ−21 ⋅ e ε t
Zlinearyzowana ostateczna postać modelu:
ln W t = β 0 + β 1 ln APLt + β 2 ln AURt − 1 + ε t
Oszacowana postać zlinearyzowanego modelu dla lat 1995- 2009:
ln Wˆ = 4,968+ 0,661 ln APL − 0,12 ln AUR
t
( 0 , 084 )
( 0 ,0205 )
t
( 0 , 015 )
t −1
•
Podstawowe miary dopasowania modelu do rzeczywistości:
R2 = 0,990
DW=1,691
Odpowiednie wartości krytyczne statystyk dla n=14 obserwacji:
[ tα=0,05 = 1,895 ],
[dL = 0,905
dU = 1,551]
• Informacje o stopniu zmienności zmiennych występujących w modelu
Stopa bezrobocia (UR) oraz usredniona stopa bezrobocia
w Polsce w latach 1995-2009
21
UR
19
AUR
17
15
13
11
9
7
5
1995r 1996r 1997r 1998r 1999r 2000r 2001r 2002r 2003r 2004r 2005r 2006r 2007r 2008r 2009r
Indeksy płac realnych (IW), wydajnosci pracy (IAPL) oraz uśrednionej stopy
bezrobocia (IAUR) w Polsce w latach 1995-2009
1,8
IW
1,6
1,4
IAPL
IAUR
1,2
1
0,8
0,6
0,4
1995r 1996r 1997r 1998r 1999r 2000r 2001r 2002r 2003r 2004r 2005r 2006r 2007r 2008r 2009r
Problem 11 – przyczyny autokorelacji
Uwzględniając graficzne informacje o zmiennych występujących w przyczynowo-skutkowym modelu
płac, oceń przyczyny autokorelacji i sposoby usunięcia przyczyn, na podstawie następujących wersji modelu
płac w konfrontacji z ostateczna wersją modelu przedstawioną w problemie 10.
9
Wersja 1. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających jedynie wydajność pracy:
ln Wˆ = 4,54 + 0,689 ln APL
t
( 0 ,163 )
( 0 , 046 )
R2 = 0,945
t
DW=0,502
Wersja 2. Model płac uwzględniający w zbiorze zmiennych objaśniających wydajność pracy oraz nieopóźnioną
zmienną stopy bezrobocia.
ln Wˆ = 4,875+ 0,670 ln APL − 0,099 ln AUR
t
( 0 ,138 )
( 0 ,0314 )
R2 = 0,977
t
( 0 ,0244 )
t
DW=0,643
ZADANIA DO CZĘŚCI II
Zadanie 4 (kontynuacja zadania 1, 2 i 3 z części I materiałów ) (patrz: przykład 4)
Rozważ następujący model i jego oszacowaną postać dla n =6 obserwacji:
yt = β 0 + β 1 x t + ε t ,
gdzie:
yt :
konsumpcja globalna (bez konsumpcji zbiorowej) gospodarstw domowych w [mld. zł.]
wartość PKB [mld.zł]
xt :
yˆ t = 0,1 + 0,5 xt ,
(pod ocenami zamieszczono średnie błędy szacunku parametrów)
( 0 , 08 )
( 0 ,074 )
Wiedząc, że wartośćkrytyczna statystyki t-Studenta dla 4-ch stopni swobody i założonego poziomu
istotności α=0,05 wynosi: tα=0,05 = 2,132:
a. Postawić hipotezę zerową i alternatywną dotyczącą parametru β1 i wyjaśnić sens postawionych hipotez,
b. Wyznaczyć wartość empiryczną statystyki t1 w warunkach postawionej hipotezy zerowej.
c. Zbadać istotność oddziaływania zmiennej xt na zmienną yt w założonych warunkach.
d. Przedyskutować problem wystąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punktu 3.
Wykorzystując informacje statystyczne i oszacowania z zadania 1 i 2 części I, oszacować i zinterpretować:
1. Empiryczną wartość statystyki DW.
2. Zweryfikować hipotezy dotyczące autokorelacji składników losowych rozpatrywanego w zadaniu 1 modelu
wiedząc, że dla liczby obserwacji n=6 oraz liczby zmiennych objaśniających k=1 przy poziomie istotności
α=0,05. wartości krytyczne wynoszą odpowiednio: dL = 0,61 i dU = 1,40
3. Przedyskutować problem wystąpienia rozwiązania przeciwnego wobec rozwiązania z punktu 2
Tabela II.4
t
εˆt
εˆt − 1
εˆt − εˆt − 1 (εˆt − εˆt − 1 ) 2
εˆt2
1
2
3
4
5
6
-0,10
0,05
0,10
-0,05
0,05
-0,05
0,00
Rozważ następującą zmodyfikowaną postać modelu z zadania 1 (cz.1):
yt = B0 x tβ 1 e ε t
ln y t = β 0 + β 1 ln x t + ε t , ( β 0 = ln B0 )
Powyższą postać modelu oszacowano za pomocą estymatora MNK i otrzymano następujące wyniki:
ln yˆ t = −0,506 + 0,96 ln x t
(pod ocena parametru β1 zamieszczony jest średni błąd szacunku)
( 0 ,159 )
R2 = 0,901
DW = 1,937
[ tα=0,05 = 2,132 ],
[dL = 0,61
dU = 1,40]
10
2. Zbadać istotność oddziaływania zmiennej xt na zmienną yt,
3. Zweryfikować hipotezy dotyczące autokorelacji składników losowych,
4. Oszacowaną postać modelu sprowadzić do postaci pierwotnej i zinterpretować wpływ zmiennej xt na
zmienną yt. (zinterpretować oszacowaną elastyczność)
DODATEK I
Przyczynowo-skutkowy model zapotrzebowania na pracę
Model wyjściowy:
(1)
Lt = B0 eα ⋅ t K tβ 1 Ytβ 2 , (α < 0, β 1 < 0, β 2 > 0)
(2)
Lt − 1 = B0 eα ⋅( t − 1) K tβ−11Ytβ−21 ,
gdzie: L –zatrudnienie, K – kapitał rzeczowy, Y – PKB
Model stopy wzrostu zapotrzebowania na pracę:
(3)
rLt = α + β 1 ⋅ rK t + β 2 rYt
gdzie stopy wzrostu zatrudnienia, kapitału rzeczowego i produktu krajowego:
(3.1)
rLt = ( ∆Lt / Lt − 1 ) ≅ ∆ ln Lt = ln Lt − ln Lt − 1
(3.2)
(3.3)
rK t = ( ∆K t / K t − 1 ) ≅ ∆ ln K t = ln K t − ln K t − 1
rPKBt = ( ∆Yt / Yt − 1 ) ≅ ∆ ln Yt = ln Yt − ln Yt − 1 , ( PKBt ≡ Yt )
Roczne stopy wzrostu PKB (rPKB), zatrudnienia (rAL) i
kapitału rzeczowego (rAK)
8
rPKB
6
rAL
rAK
4
2
0
-2
-4
r
10
20
r
09
20
r
08
20
r
07
20
r
06
20
r
05
20
r
04
20
r
03
20
r
02
20
r
01
20
r
00
20
r
99
19
r
98
19
r
97
19
r
96
19
Wniosek:
Mała zmienność stopy wzrostu kapitału sprowadza model 3 do uproszczonej postaci:
rLt = α 0 + α 1 ⋅ X 05 t + β ⋅ rPKBt + ε t
(4)
gdzie X05t jest zmienna zero-jedynkową przyjmującą następujące wartości:
- X05t =0 w latach 1996-2004,
- X05t =1 w latach 2005-2010,
Oszacowana postać modelu (4) dla okresu od 1996 r. do 2010 (n=15):
∧
(5)
rLt = − 3,81+ 1,69 X 05 t + 0,82 rPKBt
( 0 ,58 )
( 0 ,43 )
( 0 ,12 )
2
R = 0,843; σˆ ε = 0,81; DW = 1,708
11
A) Model dla lat 1996-2004 (X05=0):
∧
(6.1)
rLt = −3,81 + 0,82 ⋅ rPKBt
B) Model dla lat 2005-2010 (X05=0):
∧
(6.2)
rLt = −2,12 + 0,82 ⋅ rPKBt
Wnioski:
1). W latach 1996 do 2010 wzrost rocznej stopy wzrostu PKB o 1 punkt % prowadził do przyrostu rocznej
stopy wzrostu zatrudnienia o o 0,82 p-ktu procentowego,
2.1) W latach 1996-2004 w warunkach zerowego wzrostu PKB (rPKB=0) stopa wzrostu zatrudnienia
malała średniorocznie o 3,81%.
2.2) W latach 2005-2010 w warunkach zerowego wzrostu PKB (rPKB=0) stopa wzrostu zatrudnienia
malała średniorocznie o 2,12%.
Wyznaczanie granicznej stopy wzrostu PKB:
A) dla lat 1996-2004:
∧
(7.1)
rLt = 0 ⇒ 3,81 = 0,82 ⋅ rPKB I*
⇒ rPKB I* = 3,81 / 0,82 = 4,65%
B) dla lat 2005-2010:
∧
(7.2)
*
rLt = 0 ⇒ 2,12 = 0,82 ⋅ rPKB II
*
⇒ rPKB II
= 2,12 / 0,82 = 2,6%
Powiemy, że:
A) w latach 1996-2004, aby nastąpił wzrost zatrudnienia, PKB powinien wzrastać w rocznym tempie
przekraczającym 4,65%,
B) w latach 2005-2010, aby nastąpił wzrost zatrudnienia, PKB powinien wzrastać w rocznym tempie
przekraczającym 2,6%.
DODATEK II
Globalny popyt konsumpcyjny – analiza przyczynowo skutkowa
Tabela1.1. Nominalne i realne globalne wydatki konsumpcyjne
na tle realnego Produktu Krajowego Brutto w Polsce w latach 1995 -2011
(w mld złotych)
ROK
CON
ICK
RCON
PKB
IPKB
URCON%
1995r
266,8
1,0000 266,8000 337,2000
1,000
79,1222
1996r
340,3
1,1991 283,8073 358,1064
1,062
79,2522
1997r
414,8
1,3777 301,0846 383,3964
1,137
78,5309
1998r
479,3
1,5403 311,1776 402,6168
1,194
77,2888
1999r
536,9
1,6527 324,8550 420,8256
1,248
77,1947
2000r
607,2
1,8197 333,6904 439,0344
1,302
76,0055
2001r
646,2
1,9197 336,6082 444,4296
1,318
75,7394
2002r
686,0
1,9562 350,6799 450,4992
1,336
77,8425
2003r
707,8
1,9724 358,8489 468,0336
1,388
76,6716
2004r
760,7
2,0414 372,6305 492,9864
1,462
75,5864
2005r
801,1
2,0845 384,3087
510,858
1,515
75,2281
2006r
856,0
2,1054 406,5705 542,5548
1,609
74,9363
2007r
922,9
2,1580 427,6576 579,3096
1,718
73,8219
2008r
1021,2
2,2487 454,1385 608,9832
1,806
74,5732
2009r
1068,8
2,3274 459,2298 619,4364
1,837
74,1367
2010r
1136,2
2,3879 475,8156 643,5799
1,909
73,9326
2011r
1207,6
2,4906 484,8631
671,264
1,991
72,2314
12
Wykres 1.1 Wydatki konsumpcyjne (RCON) oraz
Produkt Krajowy Brutto (PKB) w mld złotych w cenach stałych z roku 1995
w Polsce w latach 1995-2011
800
700
RCON
600
PKB
500
400
300
200
100
r
r
20
11
20
10
r
r
20
09
r
20
08
20
07
r
r
20
06
20
05
r
r
20
04
20
03
r
r
20
02
20
01
r
r
20
00
r
19
99
r
19
98
19
97
19
96
19
95
r
r
0
Wykres 1.2 Udział wydaków konsumpcyjnych (RCON)
w Produkcie Krajowym Brutto (PKB) w cenach stałych: URCON=RCON/PKB
80
78
76
URCON
74
72
70
11
r
20
10
r
20
09
r
08
r
20
20
07
r
06
r
20
20
05
r
04
r
20
20
03
r
20
02
r
20
01
r
20
00
r
20
99
r
19
98
r
19
97
r
19
96
r
19
19
95
r
68
Podstawowe pojęcia z zakresu globalnego popytu konsumpcyjnego:
I. Krańcowa skłonność do konsumpcji KSK (MPC):
∆RCON ∆C
(1.1)
KSK =
≡
∆PKB
∆Y
Na podstawie KSK powiemy, jaką część z każdej dodatkowej jednostki PKB (Y) społeczeństwo przeznacza na
konsumpcję (RCON=C).
II. Przeciętna skłonność do konsumpcji PSK (APC):
RCON C
(1.1)
PSK =
≡ ; ( PSK 100% = URCON %)
PKB
Y
Na podstawie PSK powiemy, jaki jest udział wydatków konsumpcyjnych (RCON) w produkcie Krajowym
Brutto (PKB).
Liniowy model popytu konsumpcyjnego:
(2)
C t = β 0 + β 1Yt + ε t
Ordinary Least Squares Estimation
*******************************************************************************
Dependent variable is RCON
17 observations used for estimation from 1995 to 2011
*******************************************************************************
Regressor
Coefficient
Standard Error
T-Ratio[Prob]
C
44.4099
3.9948
11.1171[.000]
PKB
.66616
.0079487
83.8068[.000]
*******************************************************************************
R-Squared
.99787
R-Bar-Squared
.99773
S.E. of Regression
3.2742
F-stat.
F( 1, 15)
7023.6[.000]
Mean of Dependent Variable 372.5157
S.D. of Dependent Variable
68.6729
Residual Sum of Squares
160.8041
Equation Log-likelihood
-43.2212
Akaike Info. Criterion
-45.2212
Schwarz Bayesian Criterion
-46.0544
DW-statistic
1.8762
*******************************************************************************
13
(3)
Oszacowana postać liniowego modelu popytu konsumpcyjnego:
Cˆ = 43,17+ 0,67 ⋅Y
t
( 4 ,00 )
t
( 0 ,008 )
R 2 = 0,998; σˆ ε = 3,27; DW = 1,876
Krańcowa skłonność do konsumpcji (KSK):
∆Cˆ t
(4)
KSK =
= 0,67 (0,008)
∆Yt
Interpretacja:
Z każdego dodatkowego miliarda zł PKB społeczeństwo przeznacza na konsumpcję przeciętnie 0,67 mld
złotych z przeciętnym błędem 0,008 mld złotych.
Funkcja przeciętnej skłonności do konsumpcji (PSK):
(5)
PSˆ K t = 43,17 ⋅ (1 / Yt ) + 0,67
Oszacowana postać modelu PSK:
*******************************************************************************
Dependent variable is PSK
*******************************************************************************
Regressor
Coefficient
Standard Error
T-Ratio[Prob]
OPKB
43.1708
3.6200
11.9256[.000]
C
.66872
.0078142
85.5773[.000]
*******************************************************************************
R-Squared
.90459
R-Bar-Squared
.89823
S.E. of Regression
.0063981
F-stat.
F( 1, 15) 142.2202[.000]
Mean of Dependent Variable
.76006
.020056
.6140E-3
62.8218
60.8218
59.9886
DW-statistic
1.9276
*******************************************************************************
Interpretacja:
W warunkach, gdy PKB zmierzać będzie do nieskończoności, to udział wydatków konsumpcyjnych w
produkcie krajowym zmierzać będzie do 0,67 (czyli 67%).
Przekształcenie modelu liniowego do modelu w postaci indeksowej
(zależności względne na podstawie modelu liniowego)
(6.1)
C t / C = β 0 / C + ( β 1 / C ) ⋅ Yt + ε t / C
(6.2)
C t / C = β 0 / C + ( β 1 ⋅ Y / C ) ⋅ (Yt / Y ) + ε t*
(6.3)
Gdzie:
(6.4.a)
C t* = β 0* + β 1* ⋅ Yt* + ε t*
C t* = C t / C = C t / 372,5
(6.4.b) Yt* = Yt / Y = Yt / 492,5
(6.4.c) βˆ * = 44,41 / 372,5 = 0,12
0
(6.4.d)
βˆ1* = (0,667 ⋅ 492,5) / 372,5 = 0,89
Przekształcona postać modelu liniowego do postaci indeksowej:
Cˆ * = 0,12 + 0,89 ⋅ Y *
(7)
t
t
Interpretacja:
Wzrost produktu krajowego o jeden punkt procentowy (1 pkt%) prowadzi do wzrostu
konsumpcji globalnej przeciętnie o około 0,89 punktu procentowego (0,89 pkt%).
14
Model potęgowy konsumpcji:
(8)
C t = B0Ytβ1 e ε t
(9)
Postać zlinearyzowana modelu potęgowego konsumpcji:
ln C t = β 0 + β 1 ln Yt + ε t
*******************************************************************************
Dependent variable is LRCON
*******************************************************************************
Regressor
Coefficient
Standard Error
T-Ratio[Prob]
C
.46671
.060986
7.6528[.000]
LPKB
.88001
.0098646
89.2091[.000]
*******************************************************************************
R-Squared
.99812
R-Bar-Squared
.99799
S.E. of Regression
.0082677
F-stat.
F( 1, 15)
7958.3[.000]
5.9043
.18456
.0010253
58.4637
56.4637
55.6305
DW-statistic
1.9517
*******************************************************************************
(10)
Oszacowana postać zlinearyzowanego modelu popytu konsumpcyjnego:
ln Cˆ = 0,467+ 0,88 ⋅ lnY
t
t
( 0 ,061 )
( 0 ,01 )
R 2 = 0,998; σˆ ε = 0,0083; DW = 1,9517
(11)
Postać zdelogarytmowana modelu:
Cˆ = e 0,467 ⋅ Y 0,88
t
t
Interpretacja:
Wzrost produktu krajowego brutto o 1% prowadził do przeciętnego przyrostu konsumpcji o 0,88% z
błędem 0,01%.
(12)
Oszacowana postać modelu PSK:
PSˆ K = e 0,467 ⋅ Y −0,12
t
t
Interpretacja:
Wzrost produktu krajowego brutto o 1% prowadził do przeciętnego spadku udziału wydatków
konsumpcyjnych w produkcie krajowym o około 0,12%.
*******************************************************************************
Dependent variable is LPSK
*******************************************************************************
Regressor
Coefficient
Standard Error
T-Ratio[Prob]
C
.46671
.060986
7.6528[.000]
LPKB
-.11999
.0098646
-12.1635[.000]
*******************************************************************************
R-Squared
.90795
R-Bar-Squared
.90181
S.E. of Regression
.0082677
F-stat.
F( 1, 15) 147.9515[.000]
-.27469
.026385
.0010253
58.4637
56.4637
55.6305
DW-statistic
1.9517
*******************************************************************************
15

Ekonometria - cz. 2. - Wydział Zarządzania i Ekonomii

Transkrypt

Podobne dokumenty

Weryfikacja modelu

WZÓR KONSPEKTU PRACY DYPLOMOWEJ Imię i nazwisko autora

plakat-zaproszenie Jerzy Weyman Wykład im. Sierpińskiego 11

metody badań rolniczych

XIV Ogólnopolska Konferencja „Mikroekonometria w teorii i praktyce”

Zadania egzaminacyjne ze sztucznej inteligencji grupa 1

ĆWICZENIA 4. CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE WIELO

T i hi h Testowanie hipotez statystycznych związanych z

Zadania - metoda Hellwiga, 2014

Dyskusja naukowa – wystąpienie prokuratora