Przewodnictwo elektryczne nanostruktur metalicznych

Transkrypt

Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej
Praca doktorska
Artur Działo
Przewodnictwo elektryczne nanostruktur
metalicznych
Promotor: dr hab. prof. AGH Antoni Paja
Kraków, 2015
Oświadczenie autora rozprawy:
Oświadczam, świadomy(-a) odpowiedzialności karnej za poświadczenie nieprawdy,
że niniejszą pracę doktorską wykonałem(-am) osobiście i
samodzielnie i że nie korzystałem(-am) ze źródeł innych niż wymienione w pracy.
data, podpis autora
Oświadczenie promotora rozprawy:
Niniejsza rozprawa jest gotowa do oceny przez recenzentów.
data, podpis promotora rozprawy
Podziękowania
W tym miejscu chciałbym bardzo serdecznie podziękować mojemu promotorowi profesorowi Antoniemu Paji
za nieocenioną pomoc i wskazówki jakich udzielił mi
podczas pracy.
Ogromne wyrazy wdzięczności należą się całej mojej
Rodzinie, a przede wszystkim Mamie za niebywałą siłę
ducha i trud włożony w nasze wychowanie.
Podziękowania składam też Gosi za wsparcie i cierpliwość oraz wszystkim tym osobom, które często nawet
nieświadomie, ale trwale odcisnęły swój ślad w moim
życiu.
Dziękuję.
This work has been partly supported by the EU Human Capital Operation Program, Polish Project No.
POKL.04.0101-00-434/08-00.
Spis treści
Wstęp
2
1 Opis modelu
1.1 Nieskończona studnia potencjału i płaty Fermiego . . . . . . . . . . .
1.2 Liczba i gęstość stanów elektronowych . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
2 Właściwości transportowe
9
2.1 Równanie Boltzmanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Przybliżenie czasu relaksacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Przewodnictwo elektronów swobodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Dynamika sieci
3.1 Przybliżenie adiabatyczne
3.2 Opis drgań sieci . . . . . .
3.3 Statystyka fononów . . . .
3.4 Model Debye’a . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Oddziaływanie elektron-fonon
4.1 Opis oddziaływania . . . . . . . . .
4.2 Metoda wariacyjna . . . . . . . . .
4.3 Model dwuwymiarowy . . . . . . .
4.4 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Wpływ temperatury na transport w
4.6 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
cienkiej warstwie
. . . . . . . . . .
5 Oddziaływanie elektron-domieszka
5.1 Równanie Lippmanna-Schwingera . . . . . . . . . .
5.2 Niejednorodny problem Greena w cienkiej warstwie
5.3 Amplituda rozpraszania . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Opór właściwy cienkiej warstwy . . . . . . . . . . .
5.5 Wpływ rozmieszczenia domieszek . . . . . . . . . .
5.6 Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
18
22
24
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
metalicznej
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
27
29
30
34
35
40
.
.
.
.
.
.
43
43
48
55
58
62
64
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Podsumowanie
67
Dodatek
68
Summary
70
Bibliografia
72
1
Wstęp
Nanotechnologia jako dziedzina głównie techniki stała się szeroko pojętą, bogatą nauką o niesłychanym potencjale cywilnym i militarnym. I tak w ostatnich
dekadach nanotechnologia przyczyniła się do przyspieszonego rozwoju w wielu dziedzinach nauki - nauce o materiałach, biologii, a przede wszystkim w elektronice,
optoelektronice i elektronice kwantowej. Układy półprzewodnikowe, które zapoczątkowały erę informacji i okazały się tak niezbędne w naszym życiu wciąż ulegały
miniaturyzacji osiągając rozmiary poniżej 100 nm. Opis kwantowomechaniczny jest
bez wątpienia niezbędny do opisania zjawisk w tak niewielkiej skali. Stąd wiele prac
teoretycznych skupiało swoją uwagę na tym właśnie aspekcie, badając wpływ ograniczenia wymiarów na przewodnictwo i szereg innych właściwości półprzewodników.
Efekty tych badań możemy znaleźć w bardzo bogatej literaturze dotyczącej półprzewodników [1, 2]. Całkiem nowymi i interesującymi materiałami, które mogą znaleźć
równie szerokie zastosowanie są grafen [3] czy izolatory topologiczne [4] przewidziane
wcześniej teoretycznie. Wkrótce dołączyć do nich mogą także struktury metaliczne
takie jak np. cienkie warstwy czy nanodruty. Nie ma wątpliwości, że transport
nośników ładunku w materiałach litych będzie się wyraźnie różnił od transportu w
układach, których przynajmniej jeden wymiar został silnie ograniczony do nanoskali. Z tego powodu transport ładunku i spinu w takich układach budzi tak duże
zainteresowanie naukowców.
Skutki ograniczenia wymiarów układów metalicznych były badane już dużo wcześniej w oparciu o metody klasyczne. Pierwszymi takimi pracami były prace Fuchsa
[5] i Sondheimera [6], w których wzrost oporu metali wraz ze spadkiem grubości
próbki został wytłumaczony półklasycznie. Podstawą do rozważań było równanie
transportu Boltzmanna, a wpływ powierzchni uwzględniany był w postaci warunków
brzegowych nakładanych na funkcję rozkładu elektronów. Według tej teorii zmiana
oporu właściwego ρ spowodowana była dyfuzyjnym rozpraszaniem elektronów na
idealnie gładkich powierzchniach metalu, kiedy jego grubość d porównywalna była
ze średnią drogą swobodną elektronów l. W podobny sposób potraktowali problem
Mayadas i Shatzkes [7], ale w swojej pracy uwzględnili trzy główne mechanizmy
rozpraszania elektronów tj. rozpraszanie na powierzchniach, granicach ziaren oraz
rozpraszanie przez fonony i domieszki. Wyprowadzona przez nich formuła to znany
wzór Mayadasa-Shatzkego, który daje całkiem dobre wyniki do pewnej grubości
d. Późniejsze, teoretyczne prace Sandomirskiego [8] wykorzystały język mechaniki
kwantowej, aby wytłumaczyć zjawiska zachodzące w cienkich warstwach o idealnych powierzchniach. W swojej pracy dowodzi on, że przewodność elektryczna,
stała Halla czy magnetorezystancja mają charakter oscylacyjny zależny od grubości
warstwy. Nieco obszerniej problem potraktowali np. Trivedi i Ashcroft [9], któ-
2
rzy uwzględnili także chropowatość powierzchni, która ma decydujący wpływ na
mobilność ładunku w tak małej skali. Poza wczesnymi pracami Blocha [10, 11] o
wpływie temperatury na opór metali brak jest literatury na ten temat dotyczącej
nanoukładów metalicznych.
Dziś prace w tym zakresie nie mają już charakteru czysto poznawczego, ale ze
względu na nowe osiągnięcia w dziedzinie fizyki eksperymentalnej mogą mieć zastosowanie praktyczne. Cienkie warstwy (również żelazne) o grubości nawet jednej
warstwy atomowej na niemagnetycznym wolframie były otrzymywane już dość wcześnie [12], bo w 1995 roku. Oczywiście nieco grubsze warstwy były osiągalne jeszcze
wcześniej, ale dopiero udoskonalone techniki eksperymentalne pozwalają otrzymywać materiały o zadowalających parametrach jak najbardziej przypominające idealne, cienkie warstwy. Niedawno idealne warstwy z atomów żelaza o grubości jednej
warstwy monoatomowej zostały otrzymane eksperymentalnie [13] w postaci membran zawieszonych wewnątrz membran grafenowych. Maksymalny rozmiar stabilnej
membrany to koło 12 × 12 atomów żelaza. Brak systematycznego potraktowania
tematu transportu elektronów w takich układach od strony teoretycznej zachęca do
podjęcia takich prób.
Celem tej pracy jest opis teoretyczny procesów dotyczących transportu elektronów w układach metalicznych silnie ograniczonych wymiarowo. Składa się ona
z pięciu rozdziałów, podsumowania oraz dodatku. W pierwszym rozdziale przedstawiamy model oraz podstawowe założenia, którymi będziemy się posługiwali w
niniejszej pracy. W rozdziale drugim omówimy własności transportowe metali, sposób ich opisu przy pomocy równania Boltzmanna oraz użyteczne narzędzia. Ponieważ będzie nas interesował wpływ temperatury na przewodnictwo elektryczne, to
rozdział trzeci poświęcimy dynamice sieci czyli drganiom termicznym idealnej sieci
krystalicznej. Wprowadzimy kwantowy opis drgań potrzebny w następnym rozdziale
oraz model Debye’a. Dwa kolejne rozdziały to część właściwa pracy. W rozdziale
czwartym przedstawimy prosty, dwuwymiarowy model cienkiej warstwy i policzymy
zależność oporu od temperatury. Następnie przejdziemy do bardziej realistycznego
modelu, w którym warstwa ma zadaną grubość Lz . Pokażemy, że wyniki otrzymane w obu przypadkach różnią się od siebie, a opis dwuwymiarowy ze względu na
swoje ograniczenia nie jest najlepszym wyborem. W rozdziale piątym zaczniemy
od przedstawienia sposobu opisu procesu rozpraszania elektronu na domieszkach w
trzech wymiarach i wyprowadzimy najważniejsze wzory. Następnie przejdziemy do
nanostruktury, odwołamy się do prac na ten sam temat, ale w układach dwuwymiarowych i skonfrontujemy otrzymane przez nas wyniki z wynikami innych autorów
oraz wynikami otrzymanymi dla metali litych. Ostatnim rozdziałem jest podsumowanie zawartości pracy.
3
Rozdział 1
Opis modelu
Przedstawiona praca opisuje problem przewodnictwa elektrycznego cienkich warstw
metalicznych. Do opisu ich właściwości elektronowych posłużymy się modelem elektronów swobodnych. Sprawdza się on świetnie dla wielu metali litych tłumacząc ich
właściwości elektryczne, termiczne, magnetyczne czy optyczne. Jest także modelem
odniesienia w bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych uwzględniających
strukturę pasmową.
1.1
Nieskończona studnia potencjału i płaty Fermiego
Na potrzeby rozważań teoretycznych przez cienką warstwę rozumiemy układ
nieskończony w płaszczyźnie x-y, który jest ograniczony płaskimi powierzchniami w
trzecim wymiarze z. Układ jest zbudowany z NL pojedynczych warstw atomowych
o grubości a równej stałej sieci, prostopadłych do osi z. Całkowita grubość warstwy
będzie zatem równa Lz = NL a. Konstrukcja cienkiej warstwy została przedstawiona
na rysunku 1.1.
Kwantowy charakter zjawisk zachodzących na poziomie atomowym wymaga zastosowania formalizmu mechaniki kwantowej do poprawnego opisu układów w skali
nanometrycznej. Dlatego punktem wyjścia we wszelkich rozważaniach będzie równanie Schrödingera. Narzucenie odpowiednich warunków brzegowych na równanie
Schrödingera zależy od rozpatrywanego zagadnienia i poczynionych dla niego założeń. Ponieważ nas nie będą interesowały stany powierzchniowe, a tylko rozwiązania
ściśle ograniczone do wnętrza układu to narzucimy warunki „silnego” [3] ograniczenia ψk (r)|S ≡ 0. Tutaj S jest powierzchnią ograniczającą układ. Najprostszym
możliwym sposobem opisu bardzo cienkiej warstwy metalicznej zawieszonej w próżni
jest prosta, prostokątna studnia kwantowa o skończonym potencjale. Jeżeli założymy, że bariera potencjału jest duża w porównaniu z energią stanów związanych
εn , to studnię możemy potraktować jako nieskończenie głęboką z potencjałem równym zero tylko w przedziale z ∈ [0, Lz ] tj. wewnątrz warstwy i nieskończonym poza
4
ROZDZIAŁ 1. OPIS MODELU
5
Rys. 1.1: Konstrukcja cienkiej warstwy z NL pojedynczych warstw atomowych.
nim. Rozwiązaniem równania Schrödingera w trzech wymiarach z takimi warunkami
brzegowymi jest
r
2
nπ
1
sin
z √ eiκ·ρ , n = 1, 2 . . .
(1.1)
ψn (r) =
Lz
Lz
S
Szerokość studni Lz odpowiada grubości warstwy, a S to jej powierzchnia. Pozostałe symbole to: n - numeruje kolejne stany związane, κ jest wektorem falowym
w płaszczyźnie kx -ky i analogicznie ρ jest wektorem wodzącym w płaszczyźnie x-y.
Wartości własne energii równe są
h̄2
n2 π 2
2
2
εn =
kx + ky + 2 .
(1.2)
2m
Lz
Ruch elektronu w płaszczyźnie warstwy jest swobodny. W kierunku do niej
prostopadłym mamy superpozycję dwóch fal biegnących o wektorze falowym
nπ
,
(1.3)
Lz
jednej odbitej od powierzchni i drugiej padającej na powierzchnię. Ich superpozycja przyczynia się do powstania stanu związanego. W miarę jak wzrasta szerokość
studni Lz cząstka traci swoją „pamięć” o fazie. Ponieważ spójność fazowa jest konieczna do utrzymania stanu związanego, to dla odpowiednio dużych Lz cząstka
zachowuje się bardziej jak w materiale objętościowym niż w studni kwantowej [1].
Ograniczenie układu w jednym wymiarze skutkuje silną dyskretyzacją widma
wartości własnych energii (patrz równanie 1.2), a co za tym idzie redukcją kuli Fermiego do zbioru płatów [14–16]. Płaty te powstają w wyniku przecięcia powierzchni
płaskich, prostopadłych do osi kz , odległych od siebie o π/Lz z kulą o promieniu równym promieniowi Fermiego kF i środku w początku układu współrzędnych
(Rys.1.2).
kz =
6
Rys. 1.2: W cienkiej warstwie kula Fermiego redukuje się do zbioru równoległych
płatów oddzielonych od siebie o odległość π/Lz . Elektrony mogą zajmować tylko
stany zawarte wewnątrz dysku.
1.2
Liczba i gęstość stanów elektronowych
Liczba zajętych stanów w takim układzie w temperaturze 0 K może być policzona
bezpośrednio [16] z równania
N =2
nF X
X
n
1,
(1.4)
κ
gdzie: nF jest maksymalną możliwą liczbą płatów n zależną od grubości warstwy, natomiast sumowanie po κ odbywa się od zera do wektorów spełniających
nierówność |κ| ≤ κFn , przy czym κFn jest promieniem płata Fermiego dla danego kz
tzn.
κFn = kF2 −
n2 π 2
.
L2z
(1.5)
Zatem liczba stanów na jednostkę objętości (objętościowa gęstość stanów) w
takim układzie wyraża się następującą zależnością
N
nF
π2
2
=
k −
(nF + 1)(2nF + 1) .
(1.6)
V
2πLz F 6L2z
Gęstość stanów równą liczbie stanów przypadających na jednostkę energii dε
na jednostkę objętości liczymy jako pochodną po energii (uzmienniając kF i nF ) z
powyższej równości i wynosi ona
S(ε) =
dN (ε)
me
=
n.
dε
πLz h̄2
(1.7)
7
Posłużymy się teraz energią stanu podstawowego układu związanego
ε0 =
h̄2 π 2
.
2me L2z
(1.8)
Liczba n numeruje nam kolejne płaty znajdujące się wewnątrz kuli Fermiego.
Kiedy wektor falowy k, który rozciąga naszą izoenergetyczną sferę osiąga kolejną
wartość πn/Lz (osiąga kolejny płat) to stany z tego płata zaczynają wliczać się do
całkowitej liczby stanów N . Możemy zatem zapisać, że
1/2 ε
k
= int
,
n = int
k0
ε0
(1.9)
gdzie int[I] oznacza część całkowitą liczby w nawiasie kwadratowym. Wstawiając
obie powyższe zależności do (1.7) otrzymamy
3/2
1/2 ε
1 2me
1/2
ε0 int
.
S(ε) = 2
2
2π
ε0
h̄
(1.10)
Wynik jaki otrzymaliśmy w (1.7) jest bardzo podobny do tego dla układu 2D.
Zawarta w nim stała Lz zapewnia nam odpowiedni wymiar jednostek natomiast n
uwzględnia kolejne płaty. Natomiast ten sam wynik podany w postaci (1.10) jest
niemal identyczny z tym dla układu 3D. Oznacza to, że przyjęty model jest właściwy
do opisu bardzo cienkich warstw, składających się z niewielkiej liczby monowarstw.
1
3D
Model
0.8
S(ε)
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
ε/ε0
Rys. 1.3: Gęstość stanów S(ε) w jednostkach względnych jako funkcja ε/ε0 dla
układu o grubości 5 warstw atomowych .
Na wykresie powyżej (Rys. 1.3) znajduje się wyznaczona przez nas gęstość stanów. Widać, że jest to funkcja schodkowa, która w momencie osiągnięcia odpowiedniej energii przyjmuje wartość jakiej spodziewalibyśmy się z wyliczeń dla rzeczywi-
8
stego układu.
Cały czas zakładamy, że koncentracja elektronów w układzie jest stała, niezależna od jego wymiarów i równa tej dla materiału litego. Dlatego pojawia się pytanie
czy tak silnie ograniczony układ będzie w stanie pomieścić wszystkie elektrony w
momencie kiedy zredukujemy kulę do zbioru płatów. Z prostych rozważań nad gęstością stanów dla d-wymiarowego gazu elektronowego wiemy, że wektor Fermiego [3]
(bez uwzględnienia spinu) równy jest
N
d
(d)
d d/2
+1
,
(1.11)
kF = 2 π Γ
2
V
gdzie Γ jest funkcją gamma Eulera, d liczbą wymiarów, a reszta oznaczeń jak
poprzednio. Zależy zatem od liczby wymiarów. Jeżeli przyjrzymy się równaniu (1.6)
to posiada ono ze względu na n rozwiązania rzeczywiste dla danego kF . Jednak n
może przyjmować tylko wartości naturalne zgodnie z (1.9). Wynika stąd, że promień
Fermiego musi się zmieniać w zależności od grubości warstwy, aby pomieścić na
płatach wszystkie dostępne elektrony i utrzymać stałą ich koncentrację w zadanej
objętości. Problem w jego określeniu wynika stąd, że tak samo jak n, wyznaczamy go
z tego samego równania (1.6). Obliczenia mają przez to charakter samouzgodniony.
1.2
kF (Lz )/kF3D
1.15
1.1
1.05
1
0.95
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Lz /a
Rys. 1.4: Wartość wektora Fermiego w cienkich warstwach.
Na rysunku 1.4 przedstawiliśmy jak zmienia się promień Fermiego w zależności
od grubości warstwy. Jak widać zmiana jest największa dla pojedynczej warstwy,
gdyż wszystkie elektrony muszą zostać pomieszczone na pojedynczym płacie.
Rozdział 2
Właściwości transportowe
Często zadajemy sobie pytanie jak będzie się zachowywało ciało jeżeli przyłożymy do niego np. zewnętrzne pole elektryczne bądź magnetyczne czy kiedy pojawi
się gradient temperatury bądź koncentracji. Dochodzi wtedy do transportu masy,
ładunku, spinu czy innej wielkości fizycznej. Aby badać takie procesy transportu
z uwzględnieniem medium, w którym ten transport zachodzi potrzebne jest nam
jakieś narzędzie. Bardzo użytecznym narzędziem o niesłychanie szerokim spektrum
zastosowań jest równanie Boltzmanna, które wyprowadzimy w tym rozdziale. Procesy transportu są nieodwracalnymi procesami termodynamicznymi, podczas których ciało stałe znajduje się w stanie nierównowagowym. Pomimo tego dla małych
zewnętrznych pól kryształ jest tylko nieznacznie wyprowadzony ze stanu równowagi,
dlatego możemy stosować równowagowe metody statystyczne.
2.1
Równanie Boltzmanna
Równanie Boltzmanna jest podstawą dla klasycznych i półklasycznych teorii
transportu. Jest jednym z najważniejszych równań w nierównowagowej mechanice statystycznej i jest często używane do badań nad procesami transportu ciepła,
masy, ładunku oraz spinu. Pozwala wyznaczyć przewodnictwo cieplne, masowe, elektryczne itp. Jest ono także używane do układów silnie ograniczonych wymiarowo
pod warunkiem, że transport odbywa się w kierunkach swobodnych.
Załóżmy, że układ N nieoddziałujących cząstek znajduje się pod wpływem zewnętrznego pola, a energia potencjalna oddziaływania cząstki z tym polem w położeniu r opisana jest przez V (r, t) w chwili t. Hamiltonian układu dany jest wtedy
przez
H =
N 2
X
pj
j=1
2m
+ V (rj , t) .
(2.1)
Przypomnijmy teraz podstawowe twierdzenie mechaniki statystycznej - twierdzenie Liouvilla, które mówi, że funkcja rozkładu jest stała wzdłuż dowolnej trajektorii
w przestrzeni fazowej. Inaczej, objętość zajęta przez układ w przestrzeni stanów jest
9
ROZDZIAŁ 2. WŁAŚCIWOŚCI TRANSPORTOWE
10
stała, o ile nie występują straty energii. Algebraicznie zapisujemy to twierdzenie w
postaci
D
df (r, p, t)
∂f X
=
+
dt
∂t α=1
∂f dxα
∂f dpα
+
∂xα dt
∂pα dt
= 0,
(2.2)
gdzie D jest wymiarem przestrzeni. Powyższe możemy zapisać jeszcze prościej
posługując się operatorami ∇r oraz ∇p
∂f (r, p, t)
p
dp
+
· ∇r f (r, p, t) +
· ∇p f (r, p, t) = 0.
(2.3)
∂t
m
dt
Skorzystaliśmy tutaj z zależności dr/dt = p/m. Wykorzystując równania Hamiltona: dp/dt = −∇r H oraz dr/dt = ∇p H możemy dodatkowo przekształcić
powyższe równanie do następującej postaci
∂f (r, p, t)
p
+
· ∇r f (r, p, t) − ∇r V (r, t) · ∇p f (r, p, t) = 0.
(2.4)
∂t
m
W kryształach elektrony podlegają wielu różnym oddziaływaniom, z których najważniejsze to oddziaływanie elektron-elektron, elektron-fonon, elektron-domieszka
oraz oddziaływanie z polami zewnętrznymi. Wszystkie te procesy powodują zmianę
pędu elektronu w wyniku rozproszeń, a przez to zmienia się ich liczba w elemencie
objętości przestrzeni fazowej drdp. W takich warunkach równanie Liouvilla przestaje dłużej obowiązywać (df /dt 6= 0), a funkcja rozkładu f (r, p, t) nie jest już
zachowana. Zmiana funkcji rozkładu w wyniku wcześniej opisanych procesów jest
brana pod uwagę w postaci całki zderzeń [17], którą oznaczać będziemy jako I[f ]
∂f (r, p, t)
df (r, p, t)
=
I[f ] =
(2.5)
dt
∂t
coll
Zapis całki zderzeń I[f ] mówi nam, że jest to funkcjonał funkcji rozkładu. Zatem
równanie (2.4) w ogólnej postaci będzie wyglądało następująco
∂f (r, p, t)
p
∂f (r, p, t)
+
· ∇r f (r, p, t) + F · ∇p f (r, p, t) =
.
∂t
m
∂t
coll
(2.6)
Jest to równanie Boltzmanna i jest ono głównym punktem wyjścia do opisu
procesów transportu w fizyce ciała stałego. W literaturze możemy się często spotkać
z następującym zapisem tego równania [18]
∂f (r, p, t)
∂t
+
coll
∂f (r, p, t)
∂t
+
diff
∂f (r, p, t)
∂t
=
field
∂f (r, p, t)
,
∂t
(2.7)
gdzie wyrażenie w nawiasie „diff” oznacza, że cząstki podlegają procesom dyfuzji wywołanymi przestrzennymi zmianami funkcji rozkładu, natomiast wyrażenie
w nawiasie „field” uwzględnia wpływ pól zewnętrznych, które przyczyniają się do
zmiany pędu cząstki
dp
= e (E + v × B) = F ,
dt
(2.8)
11
gdzie F to siła. Oczywiście w stanie ustalonym prawa część równania (2.7) znika.
Możemy teraz zapisać
h̄k
1
· ∇r f (r, k, t) + F · ∇k f (r, k, t),
(2.9)
m
h̄
gdzie wprowadziliśmy p = h̄k, ponadto dla uproszczenia zapisu będziemy dalej oznaczać funkcję rozkładu jako fk . Trudności z rozwiązaniem tego pozornie
prostego, całkowo-różniczkowego równania związane są z oszacowaniem całki zderzeń. Aby maksymalnie uprościć zagadnienie, rozważać będziemy jedynie zderzenia
elastyczne, w których cząstka ulega rozproszeniu ze stanu pierwotnego o wektorze
falowym k do stanu końcowego o wektorze falowym k0 . Prawdopodobieństwo zajścia
takiego zjawiska jest równe
I[f ] =
Wk→k0 = fk (1 − fk0 ) ωk→k0 ,
(2.10)
gdzie przez ωk→k0 oznaczyliśmy zasadnicze prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy rozpatrywanymi stanami określające tempo przejść, gdyby na przykład stan k
był na pewno obsadzony, a stan k0 na pewno pusty. Prawdopodobieństwo W jest nie
tylko zależne od ωk→k0 , ale także dzięki fk od liczby cząstek w stanie początkowym
k, które mogą ulec rozproszeniu i od liczby dostępnych stanów k0 , do których może
nastąpić rozproszenie, co zapewnia wyraz (1 − fk0 ). Podobne wyrażenie możemy
zapisać dla procesu odwrotnego
Wk0 →k = fk0 (1 − fk ) ωk0 →k .
(2.11)
Zasada mikroskopowej odwracalności mówi nam, że prawdopodobieństwo ωk→k0
jest niezmienne względem zamiany miejscami stanu początkowego ze stanem końcowym tzn. ωk→k0 = ωk0 →k . Zatem sumując po wszystkich możliwych finalnych
stanach k0 otrzymamy przepis na całkę zderzeń
X
[fk0 (1 − fk ) − fk (1 − fk0 )] ωk→k0
I[f ] =
k0
= (1 − fk )
X
k0
2.2
fk0 ωk→k0 − fk
X
(2.12)
(1 − fk0 ) ωk→k0 .
k0
Przybliżenie czasu relaksacji
Druga suma w (2.12) to nic innego jak całkowite prawdopodobieństwo na jednostkę czasu, że elektron o wektorze falowym k zostanie rozproszony do jakiegokolwiek stanu o wektorze falowym k0 tzn. [19]
X
fk
∂fk
= fk
(1 − fk0 ) ωk→k0 =
.
(2.13)
∂t out
τ
out (k)
0
k
Oznaczenie „out” mówi nam, że cząstki pod wpływem zderzeń zostają usunięte
z elementu objętości dk wokół punktu k, a τ (k) jest czasem relaksacji. Podobnie
12
możemy zdefiniować
∂fk
∂t
= (1 − fk )
in
X
fk0 ωk→k0 =
k0
1 − fk
,
τin (k)
(2.14)
gdzie tym razem cząstki są rozpraszane ze stanów opisanych wektorem k0 z powrotem do stanu k. Ponieważ w stanie równowagi całka zderzeń musi znikać [17] to
powyższe możemy przepisać w przybliżonej postaci jako [19]
∂fk
fk
=
,
∂t out τ (k)
(2.15)
fk0
∂fk
=
,
∂t in τ (k)
gdzie fk0 jest funkcją rozkładu w stanie równowagi, która nie zależy do czasu.
Podstawiając do (2.12) otrzymamy ostatecznie
I[f ] = −
fk − fk0
.
τ (k)
(2.16)
Takie przybliżenie całki zderzeń nazywamy przybliżeniem czasu relaksacji, natomiast τ w ogólności zależy zarówno od k jak i od r w przypadku układów nieizotropowych. Różnica fk − fk0 = fk1 wyraża odstępstwo prawdziwej funkcji rozkładu
od funkcji równowagowej fk0 [20].
ky
4k
kx
Rys. 2.1: Przesunięcie kuli Fermiego w wyniku przyłożonego pola elektrycznego w
kierunku osi x.
Przybliżenie czasu relaksacji można rozumieć w taki sposób, że zderzenia, jako
procesy relaksacyjne, odpowiedzialne są za przywracanie równowagi w układzie (stąd
13
znak minus w równaniu (2.16)) i są tym częstsze im większe są odstępstwa od równowagi, które wyraża funkcja fk1 . Rozpraszanie elektronów ogranicza przyrost ich energii i pędu. Dzięki temu ustala się stan stacjonarny. W obecności tylko pola elektrycznego kula Fermiego jest przesunięta względem stanu równowagi o 4k = −Eeτ /h̄,
co obserwowane jest jako stała wartość prądu (Rys.2.1). Wielkość 1/τ jest miarą
szybkości rozpraszania i możemy ją interpretować jako prawdopodobieństwo rozproszenia na jednostkę czasu.
Równanie Boltzmanna w tym przybliżeniu
1
fk − fk0
∂fk h̄k
+
· ∇r fk + F · ∇k fk = −
∂t
m
h̄
τ
to liniowe, cząstkowe równanie różniczkowe.
2.3
(2.17)
Przewodnictwo elektronów swobodnych
Mając do dyspozycji narzędzie potrzebne do opisu procesów transportu w postaci
równania Boltzmanna postaramy się opisać przewodnictwo elektryczne w metalach.
Dla elektronów w stanie równowagi funkcja rozkładu to funkcja rozkładu FermiegoDiraca
fkF D =
1
,
(2.18)
eβ(ε−µ) + 1
gdzie µ to potencjał chemiczny, ε = ε(k) jest energią elektronu, a β = 1/kB T .
Niech układ znajduje się w stałym zewnętrznym polu elektrycznym E, wtedy siła
działająca na elektron to F = −eE, gdzie e jest ładunkiem elementarnym. Zakładamy brak zewnętrznego pola magnetycznego oraz gradientu temperatury czy
koncentracji ładunku w układzie. Równanie (2.17) przekształci się do
h̄e
∂fk
f1
e
= − k.
− E · ∇ k fk = − E · k
h̄
m
∂ε
τ
1
Stąd możemy już w łatwy sposób wyznaczyć fk
fk1 =
h̄eτ ∂fk
E · k.
m ∂ε
Gęstość prądu w metalach to
Z
Z
Z
j = ev dn = e vfk dk = e v fk0 + fk1 dk,
(2.19)
(2.20)
(2.21)
Kiedy na układ nie będzie działało zewnętrzne pole elektryczne to oczywiście
f 1 = 0 i ponieważ ruch elektronu jest wtedy nieuporządkowany i równie prawdopodobny w każdym kierunku to całka z samym tylko wyrazem f 0 musi być równa
zeru. Dlatego
Z
Z
h̄e2
∂fk
1
j = e vfk dk =
τ (k)v (E · k)
dk
m
∂ε
Z
(2.22)
∂fk
2
=e
τ (k)vk vk
dk · E.
∂ε
14
Wyrażenie podcałkowe to tensor elektrycznego przewodnictwa właściwego, który
w metalach izotropowych z polem elektrycznym w kierunku osi x możemy zapisać
jako
Z
∂fk
1 2
S(ε)τ (ε)v 2 (ε)
dε,
(2.23)
σ= e
3
∂ε
gdzie S(ε) jest gęstością stanów. Skorzystaliśmy tutaj z faktu, że w metalu izotropowym hvx2 i = hv 2 i/3. W temperaturze 0 K pochodną funkcji rozkładu FermiegoDiraca po energii możemy potraktować jako deltę Diraca, wtedy całkę tę liczy się
bezpośrednio i w wyniku otrzymamy
ne e2 τ
,
(2.24)
m
gdzie ne jest koncentracją elektronów. Jest to elektryczne przewodnictwo właściwe. Powyższe wyprowadzenie nie traci na ogólności bez względu na wybór kierunku przyłożonego pola elektrycznego z tego względu, że metale lite są izotropowe.
σ=
Rozdział 3
Dynamika sieci
Niektóre ze zjawisk występujących w fizyce kryształów daje się wytłumaczyć
w oparciu o statyczny model sieci. W modelu tym atomy zajmują ściśle określone, niezmienne pozycje w periodycznej sieci. Oczywiście model ten jest tylko
przybliżeniem, ponieważ w rzeczywistości atomy drgają wokół położeń równowagi
z energią, która zależy od temperatury. Zatem w klasycznej teorii drgań model
statyczny będzie słuszny jedynie w temperaturze zera bezwzględnego, natomiast w
opisie kwantowym jest niepoprawny [21]. Bez poprawnego opisu zachowania się
atomów w skończonych temperaturach nie potrafilibyśmy wyjaśnić takich zjawisk
jak ciepło właściwe, przewodność cieplna, rozszerzalność cieplna, topnienie, transmisja dźwięku i wielu innych. Kwanty drgań sieci czyli fonony są główną przyczyną
spadku mobilności elektronów w metalach i wzrostu oporu elektrycznego wraz ze
wzrostem temperatury. Poza tym drgania sieci są niesłychanie istotne w nadprzewodnictwie, gdzie dzięki odkształceniom sieci powstaje para Coopera, w rezonansie
jądrowym i paramagnetycznym oraz w opisie własności termoelektrycznych metali
i półprzewodników [20].
Ponieważ tematyka jest niezwykle obszerna, to w rozdziale tym omówimy najważniejsze z naszego punktu widzenia aspekty dotyczące drgań sieci krystalicznej.
Nie będziemy się też z tego względu nadmiernie zagłębiali w rachunki i wyprowadzenia, które można znaleźć w bogatej literaturze traktującej temat w mniej lub
bardziej dokładny sposób.
3.1
Przybliżenie adiabatyczne
Całkowity hamiltonian kryształu może być zapisany w prostej postaci jako
H = Ke + Kj + Ve + Vj + Ve,j ,
(3.1)
gdzie Ke i Kj to energie kinetyczne odpowiednio elektronu i jonu, Ve i Vj to energia potencjalna oddziaływania odpowiednio pomiędzy elektronami i jonami, natomiast Vj jest energią potencjalną oddziaływania pomiędzy elektronami i jonami [22].
15
ROZDZIAŁ 3. DYNAMIKA SIECI
16
Zakładamy, że jony składają się z jądra oraz elektronów wewnętrznych znajdujących się najbliżej niego. Funkcje falowe opisujące te elektrony nie nakładają się na
podobne funkcje falowe sąsiadujących jonów. Ponadto posiadają one przestrzenną
symetrię sferyczną i poruszają się razem z jonem. Pozostałe elektrony to elektrony
prawie swobodne, których funkcje falowe są oczywiście zdelokalizowane i rozciągają
się na cały kryształ tworząc chmurę elektronową, w której porusza się jon. Gaz ten
jest dynamiczny i zdolny do kolektywnego ruchu, który ekranuje zmiany potencjału
elektrycznego wynikające z ruchu jonów [18]. Ruch jonów i elektronów jest zatem
ściśle ze sobą powiązany. Przepiszemy całkowity hamiltonian układu w rozszerzonej
formie
H =−
X h̄2
X V0 e2
X V0 ZJ ZI e2 X V0 ZJ e2
X h̄2
∇2ri −
∇2RJ +
+
+
,
2m
2M
|r
−
r
|
|R
−
R
|
|R
−
r
|
J
i
j
J
I
J
i
i<j
i
J
J<I
J,i
(3.2)
gdzie: m - masa elektronu, MJ - masa jonu, ri i rj - położenia elektronów, RJ i
RI - położenia jonów oraz ZJ i ZI odpowiednio ich ładunki, e - ładunek elektronu.
Pędy elektronów i jonów są ze sobą porównywalne, ale masa elektronu jest znacznie mniejsza od masy jądra atomowego, dzięki czemu te pierwsze poruszają się
znacznie szybciej. Prędkość elektronów w kryształach w pobliżu energii Fermiego
jest rzędu 106 m/s, podczas gdy jonów około 103 m/s. W przybliżeniu BornaOppenheimera zakłada się, że ruch jonów jest tak powolny w porównaniu do ruchu
elektronów, że elektrony momentalnie nadążają za ruchem jonów. Pozwala to na
separację ruchu jonów i elektronów w taki sposób, że położenie jonu wychylonego
z położenia równowagi występuje jako parametr w elektronowych funkcjach falowych [20]. Z tego względu możemy odseparować z hamiltonianu w równaniu (3.2)
część zależną od współrzędnych elektronowych
He,R
X V0 e2
X V0 ZJ e2
X h̄2
∇2ri +
+
.
=−
2m
|ri − rj |
|RJ − ri |
i<j
i
J,i
(3.3)
Pozostałą część hamiltonianu oznaczymy jako
X V0 ZJ ZI e2
X h̄2
HJ = −
∇2RJ +
.
2MJ
|RJ − RI |
J<I
J
(3.4)
Można więc przyjąć, że elektrony w danej chwili w gruncie rzeczy znajdują się
w stanie podstawowym [17] o energii całkowitej εe,R spełniającej poniższe równanie
He,R ψR (ri ) = εe,R ψR (ri ).
(3.5)
Indeks dolny R przypomina, że współrzędne jonów RJ wchodzą do równania
jako parametry. Przyglądając się nieco bliżej temu zagadnieniu stwierdzimy, że nie
jest do końca pewne jak należy rozwiązać powyższy problem, ponieważ rozwiązanie na funkcje własne elektronów zależeć będzie od położeń jonów, natomiast te
zależeć będą znowu od elektronowych funkcji własnych. Odpowiednim podejściem
jest znalezienie widma drgań jonów przy założeniu, że elektrony znajdują się w stanach niezaburzonych drganiami sieci. Następnie wyznaczane są elektronowe funkcje
własne i cała procedura zostaje ponownie powtórzona [23].
17
Matematyczny opis przybliżenia adiabatycznego wygląda następująco. Przyjmujemy, że funkcje własne pełnego hamiltonianu (3.2) można w takim wypadku
przedstawić w postaci następującego iloczynu
Ψ(RJ , ri ) = φ(RJ )ψR (ri ),
(3.6)
a pełne równanie Schrödingera dla kryształu przyjmuje następującą postać
H Ψ(RJ , ri ) = E Ψ(RJ , ri ).
(3.7)
Wykorzystując (3.2) i (3.5) otrzymamy [18, 24]
X
X h̄2
V0 ZJ ZI e2
2
∇RJ φ(RJ )ψR (ri ) +
φ(RJ )ψR (ri )+
H Ψ(RJ , ri ) = −
2M
|R
J
J − RI |
J<I
J
+ εe,R φ(RJ )ψR (ri )
!
X h̄2
X V0 ZJ ZI e2
+ εe,R φ(RJ )−
= ψR (ri ) −
∇2RJ +
2M
|R
J
J − RI |
J<I
J
X h̄2 2
−
φ(RJ )∇RJ ψR (ri ) − 2∇RJ φ(RJ )∇RJ ψR (ri ) .
2MJ
J
(3.8)
Ostatnie wyrażenie z sumą zwane jest wyrazem nieadiabatycznym [22]. Jeżeli je
pominiemy, to ostatecznie zostaniemy z równaniem ruchu jonów
!
X h̄2
∇2RJ + Φ(R) φ(RJ ) = E φ(RJ )
(3.9)
−
2M
J
J
o energii potencjalnej
Φ(R) =
X V0 ZJ ZI e2
+ εe,R .
|R
J − RI |
J<I
(3.10)
Jeżeli - tak jak napisaliśmy wcześniej - εe,R jest energią stanu podstawowego
układu elektronów dla jonów w pozycjach RJ , to funkcję Φ(R) nazywamy potencjałem adiabatycznym podukładu jonów, a εe,R jest wkładem adiabatycznym elektronów
w energię sieci [22]. Równanie (3.9) jest równaniem ruchu jonów w przybliżeniu
adiabatycznym.
Pominięcie ostatniego wyrażenia w (3.8) wymaga usprawiedliwienia [18, 22].
Można pokazać, że pierwszy wyraz pod sumą jest energią kinetyczną elektronów
pomnożoną przez czynnik m/M zatem jest co najwyżej rzędu 1/3680 (masa spoczynkowa elektronu do masy spoczynkowej składowych jądra - protonów i neutronów). Mnożąc lewostronnie oba wyrazy przez ψR∗ (ri ) i całkując po współrzędnych
elektronowych dostaniemy
h̄2
2MJ
Z
ψR∗ (ri )∇2RJ ψR (ri )
mi
dri =
MJ
Z
ψR∗ (ri )
h̄2 2
∇ ψR (ri ) dri .
2mi ri
(3.11)
18
Założyliśmy tutaj, że elektrony albo są ściśle związane ze swoimi jonami, albo
dają się przedstawić jako funkcje Blocha. W każdym wypadku wynik jest taki sam,
co dowodzi tego, że wyraz ten możemy pominąć. Pomimo, że czynnik ten wnosi
niewielką poprawkę do energii układu, to odgrywa on ważną rolę jeśli będziemy
zainteresowani np. transportem elektronów w zaburzonej termicznie sieci. Czynnik
ten bowiem reprezentuje sprzężenie pomiędzy ruchem jonów i elektronów. Drugi
wyraz znika ponieważ
Z
Z
1
∗
(3.12)
ψR (ri )∇RJ ψR (ri ) dri = ∇RJ ψR∗ (ri )ψR (ri ) dri = 0.
2
3.2
Opis drgań sieci
Zacznijmy od przypomnienia prostego modelu liniowego łańcucha atomów składającego się z dwóch rodzajów atomów o masach M1 i M2 ułożonych naprzemiennie
w odległości a od siebie. Pojedyncza komórka elementarna składa się zatem z dwóch
atomów.
u2l−1
u2l+1
u2l
M2
M1
u2l+2
M2
M1
a
Rys. 3.1: Naprzemienna sieć atomów o masach M1 i M2 wychylonych z położenia
równowagi (czarne punkty).
Dalej niech siła działająca na każdy z atomów będzie proporcjonalna do wychylenia. W przybliżeniu najbliższych sąsiadów otrzymamy następujące równania
ruchu
M1 ü2l = C (u2l+1 + u2l−1 − 2u2l ) ,
M2 ü2l+1 = C (u2l+2 + u2l − 2u2l+1 ) ,
(3.13)
gdzie l określa kolejną komórkę elementarną, a C jest pewną stałą. Ponieważ
atomy różnią się pomiędzy sobą masami, to amplitudy ich wychylenia też będą
różne, dlatego dla każdego z nich przewidujemy inne rozwiązanie w postaci
u2l = A1 exp [i2lqa − iωt] ,
u2l+1 = A2 exp [i(2l + 1)qa − iωt] ,
(3.14)
19
gdzie ω to częstość drgań, a q to wektor falowy fali sprężystej. Po skwantowaniu
drgań sieci, h̄ω staje się energią fononu, a q - jego wektorem falowym. Podstawiając
postulowane rozwiązania do (3.13) otrzymamy
C
2C
2
− ω A1 −
eiqa + e−iqa A2 = 0,
M1
M1
(3.15)
C
2C
iqa
−iqa
2
−
e +e
A1 +
− ω A2 = 0.
M2
M2
Sposób w jaki zapisaliśmy powyższy układ równań nie jest przypadkowy, a jego
sens stanie się jasny nieco później. Warunkiem koniecznym istnienia niezerowego
rozwiązania jest zerowanie się wyznacznika
D1,1 (q) − ω 2
D
(q)
1,2
= 0.
(3.16)
2
D2,1 (q)
D2,2 (q) − ω
Powyższe to przecież nic innego jak problem własny z wartościami własnymi ω, z
tego względu równania (3.15) posiadają rozwiązanie w postaci częstości własnych
ω = ω(q),
ω 2 (q) = C
M1 + M2
M1 M2
"
±C
M1 + M2
M1 M2
2
4 sin2 (qa)
−
M1 M2
#1/2
.
(3.17)
W zależności od wyboru znaku ± otrzymamy dwa różne rozwiązania. Pierwsze
ze znakiem + odpowiada gałęzi optycznej drgań podłużnych (LO) natomiast znak
− daje nam gałąź podłużnych drgań akustycznych (LA) (patrz rysunek Rys.3.2).
Gałęzie optyczne (LO) i akustyczne (LA) oddzielone są przerwą kiedy M1 6= M2 i
w przerwie tej fale sprężyste nie mogą się propagować. W przypadku kiedy M1 = M2
obie gałęzie łączą się w punkcie q = π/a. Atomy są teraz takie same, a stała sieci jest
teraz równa d = a/2 przez co strefa Brillouina ulega dwukrotnemu poszerzeniu w
stosunku do wcześniejszej. Ponieważ atomy mają teraz tylko jeden stopień swobody,
to połączenie krzywych dyspersji LO i LA jest takie, że tworzą one wykres cos(qd)
oraz sin(qd). Otrzymany w ten sposób wynik jest zgodny z tym, jaki znamy dla sieci
jednoatomowej, ponieważ cosinus jest przesuniętym o π/d sinusem, co odpowiada
procesom umklapp.
Mając za sobą ten krótki wstęp możemy przejść do bardziej ogólnych rachunków.
Załóżmy, że w komórce prymitywnej znajduje się s atomów i położenie równowagi
s-tego atomu w tej komórce opisuje wektor
0
Rl,s
= Rl + Rs ,
(3.18)
gdzie l jest wskaźnikiem komórki. W wyniku drgań termicznych atomy wibrują
wokół położeń równowagi (położeń średnich) zmieniając swoje położenie, które teraz
0
dla jonu Rl,s
będzie dane przez
0
Rl,s = Rl,s
+ ul,s ,
(3.19)
20
ω(q)
LO
przerwa
LA
−2π/a
0
−π/a
π/a
2π/a
q
Rys. 3.2: Relacja dyspersji fononów w dwuatomowym krysztale (atomy o masach
M2 = 2M1 ). Linią ciągłą zaznaczono gałęzie: podłużną akustyczną (LA) i podłużną optyczną (LO). Linie przerywane to przypadek kiedy M1 = M2 (wyjaśnienie
znajduje się w tekście).
0
gdzie ul,s jest niewielkim wychyleniem jonu z położenia równowagi Rl,s
. Zapiszmy hamiltonian takiego układu składającego się z wibrujących jonów
3
H =
1 XX
Ms u̇2α,l,s + Φ(R),
2 l,s α
(3.20)
gdzie α określa wychylenie jonu z położenia równowagi w kierunku α = x, y, z,
natomiast Φ tak jak poprzednio jest energią potencjalną i jest funkcją położenia
wszystkich atomów w sieci. Dla niewielkich wychyleń możemy rozwinąć Φ w okolicy położenia równowagi posługując się rozwinięciem w szereg Taylora w trzech
wymiarach
Φ = Φ0 +
X
l,s,α
Φα ( sl )uα,l,s +
1X X
0
Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 + . . .
2 l,s,α l0 ,s0 ,β
(3.21)
Zaniedbujemy wszystkie wyrazy rzędu trzeciego (stanowiące przyczynki anharmoniczne) i wyższe oraz wyraz pierwszy Φ0 (nie będzie on istotny z naszego punktu
widzenia). Oznaczenia użyte powyżej to
∂Φ
l
Φα ( s ) =
,
(3.22)
∂uα,l,s R=R0
2
∂
Φ
0
Φα,β ( sl sl 0 ) =
.
(3.23)
∂uα,l,s ∂uβ,l0 ,s0 R=R0
21
0
wyraz (3.22) znika, jeżeli na ciało nie
Oczywiście w położeniu równowagi Rl,s
działają siły zewnętrzne. Ostatecznie pozostawia nas to z
Φ=
1X X
0
Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 ,
2 l,s,α l0 ,s0 ,β
(3.24)
tzw. członem harmonicznym będącym formą kwadratową wychyleń uα,l,s [24].
Przepisujemy hamiltonian wykorzystując powyższe przybliżenie potencjału
H =
1X
1X X
0
Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s uβ,l0 ,s0 .
Ms u̇2α,l,s +
2 l,s,α
2 l,s,α β,l0 ,s0
(3.25)
Możemy teraz zdefiniować siłę działającą na jon s w kierunku α posługując się
tym co zapisaliśmy wcześniej w (3.21)
X
0
Ms üα,l,s = −
Φα,β ( sl sl 0 )uβ,l0 ,s0 .
(3.26)
β,l0 ,s0
Z równania tego widać analogię do klasycznego oscylatora harmonicznego (3.13),
gdzie siła działająca na jon była proporcjonalna do wychylenia. Z tego względu
0
Φα,β ( sl sl 0 ) nazywane jest macierzą stałych siłowych. Rozsądnym zatem będzie, aby
poszukać rozwiązania równania (3.26) w postaci podobnej do (3.14). Postulujemy
zatem, że [21]
uα,l,s
1
−1/2
A(q)eα (s|q) exp [iq · Rl,s − iω(q)t] + c.c. ,
= (N Ms )
2
(3.27)
gdzie N jest całkowitą liczbą jonów w krysztale, c.c. oznacza sprzężenie zespolone wyrażenia w nawiasie klamrowym, A(q) i eα (k|q) to pewne amplitudy. Rozwiązanie to przedstawia falę płaską propagującą się w kierunku wektora falowego q.
Podstawiając to rozwiązanie do równania ruchu otrzymamy
X
Dα,β ( qs s0 )eβ (s0 |q),
(3.28)
ω 2 (q)eα (s|q) =
s0 ,β
gdzie elementy macierzy dynamicznej D dane są przez
Dα,β ( qs s0 ) = (Ms0 Ms )−1/2
X
0
Φα,β ( sl sl 0 )uα,l,s exp iq · Rl0 ,s0 − Rl,s .
(3.29)
l0
Rozmiar macierzy dynamicznej to 3n × 3n, gdzie n jest liczbą atomów w komórce prymitywnej. Po drodze skorzystaliśmy z faktu, że kryształ posiada symetrię
translacyjną. Oznacza to, że dowolna funkcja dwóch argumentów l i l0 jest w istocie funkcją różnicy tych argumentów [24]. Udało nam się zatem zredukować układ
nieskończonej liczby równań do 3n jednorodnych równań liniowych. Równania te
mogą być zapisane jako
X
Dα,β ( qs s0 ) − δαβ δss0 ω 2 (q) eβ (s0 |q) = 0.
(3.30)
s0 ,β
22
Podobnie jak poprzednio warunkiem koniecznym, aby powyższy układ równań
jednorodnych posiadał nietrywialne rozwiązania jest aby wyznacznik współczynników był równy zeru
Dα,β ( q 0 ) − δαβ δss0 ω 2 (q) = 0.
(3.31)
s s
Aby wyznaczyć relację dyspersji ω(q) musimy rozwiązać problem własny i znaleźć wartości własne ω(q). Poniżej na rysunku (Rys.3.3) przedstawiona jest relacja
dyspersji drgań sieci w krystalicznym argonie. Do obliczeń użyliśmy potencjału
Lenarda-Jonesa z parametrami zaczerpniętymi z [21]
Γ
1.0
∆
X
K
Σ
Γ
(110)
(100)
Λ
L
(111)
0.8
T2
L
L
L
ω
0.6
T1
T
T
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
q
Rys. 3.3: Krzywe dyspersji fononów w
zaczerpniętych z [25]
3.3
36
Ar dopasowane do punktów pomiarowych
Statystyka fononów
Rozwiązanie zaproponowane w (3.27) jest pewnym szczególnym rozwiązaniem
równania ruchu. Rozwiązanie ogólne będzie zatem liniową superpozycją wszystkich
możliwych rozwiązań typu (3.27), przy czym suma przebiegać będzie po wszystkich
możliwych modach q niezależnie od gałęzi, które numerować będziemy indeksem b
(branch). Zapiszemy teraz ogólną formułę na wychylenie jonu z położenia równowagi
X
1
uα,l,s = √
Qq,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] ,
N Ms q,b
(3.32)
gdzie Qq,b to zależne od czasu współrzędne uogólnione modów normalnych, które
będziemy nazywali współrzędnymi normalnymi i spełniają one następującą relację
Q∗q,b = Q−q,b .
(3.33)
23
Posłużymy się teraz wyprowadzonymi klasycznie zależnościami modów normalnych kryształu, aby wprowadzić kwantową teorię drgań sieci. Ważnym wynikiem
otrzymanym w tym procesie będzie uzależnienie wychyleń jonów z położeń równowagi od operatorów kreacji i anihilacji fononów [17]. Taki kwantowy opis będzie
nam bardzo pomocny w następnym rozdziale przy analizie oddziaływania elektronfonon w nanostrukturach. Pierwszą kwantyzację otrzymujemy zastępując klasyczne
współrzędne normalne Q i pędy p modów normalnych przez odpowiadające im operatory Q̂ i p̂, które muszą spełniać następujące relacje komutacji
[Q̂q,b , p̂q0 ,b0 ] = δq,q0 δb,b0 , [Q̂q,b , Q̂q0 ,b0 ] = [p̂q,b , p̂q0 ,b0 ] = 0.
(3.34)
W takim ujęciu wychylenia jonów (3.32) i hamiltonian kryształu (3.25) dane są
przez [17]
ûα,l,s = √
X
1
Q̂q,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] ,
N Ms q,b
1X †
1X 2 †
Hˆ =
p̂q,b p̂q,b +
ω Q̂ Q̂q,b .
2 q,α
2 q,α q,b q,b
(3.35)
(3.36)
W drugiej kwantyzacji wprowadzamy operatory kreacji i anihilacji fononów [2]
ω 1/2 i
q,b
âq,b =
Q̂q,b +
p̂q,b ,
2h̄
ωq,b
(3.37)
ω 1/2 i
q,b
†
â−q,b =
Q̂q,b −
p̂q,b .
2h̄
ωq,b
Operatory kreacji i anihilacji spełniają następujące relacje komutacji
[âq,b , â†q0 ,b0 ] = δq,q0 δb,b0 , [âq,b , âq0 ,b0 ] = [â†q,b , a†q0 ,b0 ] = 0.
(3.38)
Odwracając powyższe relacje (3.37) otrzymamy operatory położeń i pędów wyrażone poprzez operatory â i â†
1/2 h̄
âq,b + â†−q,b ,
=
2ωq,b
1/2 h̄ωq,b
= −i
âq,b − â†−q,b .
2
Q̂q,b
p̂†−q,b
(3.39)
Możemy teraz przepisać równania (3.35) i (3.36) przy pomocy operatorów kreacji
i anihilacji. Wychylenie z położenia równowagi to
ûα,l,s =
X
q,b
h̄
2N Ms ωq,b
1/2 †
âq,b + â−q,b eα,b (s|q)exp [iq · Rl,s ] ,
a hamiltonian kryształu będzie się wyrażał wzorem
X
1
†
ˆ
H =
h̄ωq,b âq,b âq,b +
.
2
q,α
(3.40)
(3.41)
24
W niektórych zastosowaniach, np. tych gdzie istotny jest stan podstawowy kondensatu Bosego-Einsteina, operatory kreacji i anihilacji odgrywają szczególną rolę w
opisie właściwości fizycznych układu. W naszym przypadku są one jedynie wygodnym sposobem opisu oddziaływań elektron-fonon i nie wprowadzają nowej fizyki.
Wartości własne hamiltonianu to
X
1
.
(3.42)
En =
h̄ωq,b nq,b +
2
q,α
Ponieważ będzie nas interesowała zależność temperaturowa oporu właściwego to
istotna będzie statystyka fononów. Oczywiście fonony to bozony o spinie równym
zero, zatem podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Możemy pokazać, że tak rzeczywiście jest posługując się formułą (3.42) na wartości własne Hamiltonianu kryształu.
Średnia energia fononów w danym stanie o energii En dana będzie przez [2]
hE i =
1X
En e−En /kB T ,
Z n
(3.43)
gdzie kB to stała Boltzmanna, T - temperatura bezwzględna, Z - suma statystyczna. Dalsze rachunki są trywialne i przebiegają następująco
1X
1 −h̄ωq,b (nq,b +1/2)/kB T
hE i =
h̄ωq,b nq,b +
e
Z n
2
q,b
1
1 −h̄ωq,b /2kB T X
h̄ωq,b nq,b e−h̄ωq,b nq,b /kB T + h̄ωq,b
= e
Z
2
nq,b
P
d
nq,b
h̄ωq,b x dx
1
1
1
nq,b x
P
=
+ h̄ωq,b = h̄ωq,b h̄ω /k T
+
.
nq,b
2
e q,b B − 1 2
nq,b x
(3.44)
Wynika stąd, że średnia liczba fononów w stanie o energii En wynosi
hnq,b i =
1
(3.45)
−1
co dowodzi, że fonony jako bozony podlegają rozkładowi Bosego-Einsteina. W
krysztale fonony nieustannie powstają i znikają, przez co ich liczba nie jest zachowana, a ich potencjał chemiczny jest równy zeru.
3.4
eh̄ωq,b /kB T
Model Debye’a
Tak jak napisaliśmy we wstępie do tego rozdziału i co widać na podstawie wcześniejszych rachunków, drgania sieci przyczyniają się do wielu właściwości fizycznych metali. Na przykład termiczne wzbudzenia fal sieciowych obserwowane są jako
wkład do ciepła właściwego sieci kryształu, które będzie tematem tego podrozdziału.
Przy okazji wprowadzimy nowy bardzo ważny parametr jakim jest temperatura Debye’a θD . W obliczeniach posłużymy się wynikami otrzymanymi w poprzednim
25
podrozdziale. W modelu Debye’a zakładamy, że prędkość dźwięku wszystkich modów normalnych w gałęziach akustycznych ma stałą wartość c. Relacja dyspersji
jest liniowa w taki sposób, że ω = cq. Musi zatem istnieć maksymalny wektor
falowy D zwany wektorem falowym Debye’a, którego wartość określona jest przez
rzeczywistą liczbę normalnych modów akustycznych w krysztale. Stąd też wynika,
że ωD = cD jest maksymalną częstością drgań i analogicznie nazywana jest częstością drgań Debye’a. Aby znaleźć te wielkości wyprowadzimy na początek gęstość
stanów fononowych w tym modelu [17]
Z D
3 V
3ω 2
3 X
2
δ(ω − cq) =
4π
q
δ(ω
−
cq)
dq
=
,
gD (ω) =
V q
V (2π)3
2π 2 c3
0
(3.46)
gdzie trójkę wprowadziliśmy ponieważ mamy trzy gałęzie akustyczne, natomiast
ω przyjmuje wartości od zera do ωD . Aby maksymalnie ułatwić rachunki założymy,
że mamy do czynienia z monoatomowym trójwymiarowym kryształem, w którym
mamy 3N normalnych modów akustycznych, przy czym N to liczba komórek elementarnych. Zatem
Z ∞
Z ∞
V ω3
3V
ω 2 dω = 2 D3
(3.47)
gD (ω) dω = 2 3
3N = V
2π c −∞
2π c
−∞
skąd wynika, że
1/3
2 1/3
6π 2 N
6π N
ωD = c
, D=
.
(3.48)
V
V
Aby wyznaczyć ciepło właściwe metalu musimy wrócić do równania (3.44). Na
ten czas zapomnijmy o energii drgań zerowych. Całkowita średnia energia układu
dana będzie wtedy wzorem [22]
hEc i =
X
q,b
h̄ωq,b
h̄ω
/kB T
q,b
e
−1
,
(3.49)
gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich polaryzacjach i wektorach falowych.
Powyższą sumę możemy zastąpić całką, a różniczkując otrzymane wyrażenie względem temperatury otrzymamy wzór na ciepło właściwe
Z
∂hEc i
V ∂ X
h̄ωq,b
CV =
=
dq
h̄ω
/kB T − 1
3
q,b
∂T
(2π) ∂T b
e
2
Z 3V
h̄ωq,b
eh̄ωq,b /kB T
k
=
dq
B
(2π)3
kB T
(eh̄ωq,b /kB T − 1)2
3 Z ωD 2
3
3V kB kB T
h̄ωq,b
eh̄ωq,b /kB T
h̄
2
dωq,b (3.50)
= 2 3
ωq,b
h̄ωq,b /kB T − 1)2
2π c
h̄
k
T
k
T
(e
B
B
0
3 Z θD /T
3V kB kB T
x4 ex
= 2 3
dx
2π c
h̄
(ex − 1)2
0
3 Z θD /T
T
x4 e x
= 9N kB
dx,
θD
(ex − 1)2
0
26
gdzie użyliśmy podstawienia x = h̄ωq,b /kB T , relacji pomiędzy temperaturą Debye’a θD i częstością drgań h̄ωD = kB θD określającej maksymalną częstość drgań,
jakie można wzbudzić w sieci oraz z równości (3.47). Wyprowadzone równanie jest
wzorem Debye’a na ciepło właściwe i sprawdza się bardzo dobrze dla większości ciał
stałych. Zależność ta została przedstawiona na Rys.3.4. Pomimo tego, że (3.50) ma
dość prostą postać, to analitycznie daje się policzyć tylko na krańcach przedziałów
tzn. w granicy niskich (T → 0) i wysokich (T → ∞) temperatur. Wprowadzona
tutaj temperatura Debye’a jest ważnym parametrem w fizyce ciała stałego, który w
ogólności sam zależy od temperatury. Daje ona wiele informacji na temat gęstości,
stabilności strukturalnej czy siły wiązań w krysztale. Także defekty sieci mogą być
zidentyfikowane poprzez pomiar zmiany temperatury Debye’a [17]. Jeszcze jedną
istotną relacją, z której będziemy korzystać w następnym rozdziale, jest powiązanie
θD z prędkością dźwięku c, która powinna być dana równaniem
kB θD = h̄Dc.
(3.51)
1
∼ T3
CV /3N kB
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
T /θD
Rys. 3.4: Linia ciągła - wykres ciepła właściwego Debye’a CV na podstawie (3.50).
Rozdział 4
Oddziaływanie elektron-fonon
Idealna sieć kryształu nie stanowi przeszkody dla ruchu elektronów. Drgania
sieci zaburzają jej symetrię translacyjną, przez co elektrony, które się w niej poruszają, odczuwają przypadkowe zmiany energii potencjalnej. Skutkuje to wzajemnym oddziaływaniem elektronów z siecią i rozpraszaniem elektronów. Oddziaływanie to znane jest jako oddziaływanie elektron-fonon, gdyż fonony to nic innego jak
kwanty drgań sieci. W wyniku tego procesu opór metali rośnie wraz z temperaturą. Pierwsza próba opisu zależności temperaturowej oporu metali podjęta została
w ubiegłym stuleciu przez Blocha [10, 11]. Wyprowadzona przez niego formuła
z drobnymi poprawkami wprowadzonymi przez Grüneisena znana jest jako wzór
Blocha-Grüneisena. Daje ona wyniki zgodne z danymi eksperymentalnymi zarówno
w zakresie niskich jak i wysokich temperatur dla szeregu metali. Jednak teoria ta
została sformułowana dla materiałów litych, stąd nie daje ona poprawnych wyników
dla układów silnie ograniczonych wymiarowo, gdzie droga swobodna elektronu porównywalna jest z rozmiarami próbki. Zależności takiej brakuje w dotychczasowej
literaturze naukowej.
W rozdziale tym będziemy rozpatrywali oddziaływanie elektronów z fononami w
bardzo cienkiej warstwie. Na początek przedstawimy teoretyczny model, w którym
cienką warstwę będziemy traktowali jako układ ściśle dwuwymiarowy. Następnie
rozszerzymy model wprowadzając trzeci wymiar.
4.1
Opis oddziaływania
W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy przybliżenie Borna-Oppenheimera, dzięki
czemu udało nam się rozdzielić ruch elektronów i jonów. Położenia jonów wchodziły
do funkcji elektronowych jako parametry. Zaniedbaliśmy wtedy w równaniu (3.8)
tzw. wyraz nieadiabatyczny, który opisuje oddziaływanie pomiędzy elektronami a
drganiami sieci.
W tej części wyprowadzimy hamiltonian oddziaływania elektron-fonon. Konsekwentnie będziemy się trzymali tych samych oznaczeń co w poprzednim rozdziale,
27
ROZDZIAŁ 4. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-FONON
28
zatem położenie równowagowe jonu s w komórce elementarnej l dane jest wektorem
0
Rl,s
= Rl + Rs .
(4.1)
Gdy atom zostanie wychylony z położenia równowagi o wektor ul,s , to jego współrzędna zmieni się następująco
0
Rl,s = Rl,s
+ ul,s .
(4.2)
Hamiltonian oddziaływania fononu z elektronem jest niczym innym jak całkowitą
energią potencjalną oddziaływania elektronu ze wszystkimi otaczającymi jonami.
Jednak przejścia pomiędzy stanami stacjonarnymi elektronu wywołuje ta część potencjału U , która zależy od czasu. Zgodnie z tym potencjał zaburzający równy jest
różnicy pomiędzy potencjałem jonu w położeniu R, a potencjałem sieci doskonałej
z jonami w położeniach R0 :
X
0
U (r) =
).
(4.3)
U (r − Rl,s ) − U (r − Rl,s
l,s
Ponieważ wychylenie jonu jest niewielkie to możemy rozwinąć U w okolicy położenia równowagi w szereg Taylora ze względu na u zaniedbując wszystkie wyrazy
poza wyrazem pierwszego rzędu
U (r) ≈
X
uα,l,s
l,s,α
X
∂U
ul,s · ∇r U (r − Rl,s ).
=−
∂uα,l,s
l,s
(4.4)
Przemieszczenie jonu możemy zapisać kwantowomechanicznie posługując się operatorami kreacji i anihilacji. Zrobiliśmy to w rozdziale 3.3 w równaniu (3.40). Wykorzystując ten wynik oraz powyższe równanie możemy zapisać wzór na hamiltonian
oddziaływania elektron-fonon He−p w następującej postaci
Hep = −
h̄
2N Ms ωq,b
1/2 X X
l,s
iq·Rl,s
eb (s|q)·∇r U (r −Rl,s )e
†
âq,b +â−q,b . (4.5)
q,b
Dzięki obecności kombinacji operatorów âq,b +â†−q,b fonon może być wyemitowany
bądź zaabsorbowany w wyniku oddziaływania z elektronem. Prawdopodobieństwo
takiego oddziaływania będzie zależało od kwadratu elementu macierzowego pomiędzy stanem początkowym i końcowym układu. Ponadto elektron w wyniku oddziaływania z kwantem drgań sieci zostanie rozproszony ze stanu k do stanu k0 ,
które różnią się od siebie o wektor falowy fononu ±q (ewentualnie jeszcze wektor
sieci odwrotnej g). Dla uproszczenia rachunków przyjmujemy konkretny mod drgań
sieci o wektorze falowym q i określonej polaryzacji eb , wtedy element macierzowy
oddziaływania będzie równy
Z
0
M (k, k ) = nq,b
ψk∗ (r) Hep ψk0 (r) dr nq,b − 1 .
(4.6)
4.2
29
Metoda wariacyjna
Napisaliśmy pod równaniem (2.16), że funkcja fk1 = fk − fk0 wyraża odstępstwo
od równowagowej funkcji rozkładu. Wygodniejszym sposobem jej zapisu jest
∂fk0
,
(4.7)
∂εk
gdzie φk jest nowo wprowadzoną funkcją, o której więcej napiszemy nieco dalej.
Występująca tutaj pochodna po energii z funkcji rozkładu jest wagą, która zależy
od postaci funkcji rozkładu. W przypadku statystyki Fermiego pochodna ta równa
jest
fk − fk0 = −φk
∂fk0
f 0 (1 − fk0 )
= k
(4.8)
∂εk
kB T
i posiada ostre maksimum w pobliżu poziomu Fermiego. Wstawiając oba te równania do równania Boltzmanna (2.12) w stanie ustalonym otrzymamy jego bardziej
ogólną postać
Z
1
1
h̄k
0
· ∇ r fk + F · ∇ k fk = −
(φk − φk0 )Pkk dk0 ,
(4.9)
m
h̄
kB T
−
0
gdzie Pkk = ωk→k0 (1 − fk0 )fk00 . Jest to postać kanoniczna równania Boltzmanna
[18]. Równanie w tej postaci może być łatwo uogólnione np. na przypadek zderzeń pomiędzy nośnikami ładunków, albo, co nas bardziej interesuje, na przypadek
zderzeń nośników ładunku z fononami. W wyniku oddziaływania fononu o modzie
q z elektronem o wektorze falowym k kwant drgań może zostać zaabsorbowany, w
wyniku czego wektor falowy elektronu zmieni się na k0 . Równie dobrze może zajść
proces odwrotny, co możemy zapisać w następujący sposób
k+q
−→
←−
k0 .
(4.10)
W takim wypadku uogólniona część prawej strony równania (4.9) będzie wyglądała następująco
1
−
kB T
Z
(φk + φq −
k0
φk0 )Pk,q
1
dq dk −
kB T
0
Z
0
(φk − φq − φk0 )Pkq,k dq dk0 , (4.11)
przy czym zapisaliśmy oba wyrażenia osobno, ponieważ z punktu widzenia elektronu w stanie k absorpcja i emisja fononu to w zasadzie dwa różne procesy. Znowu
równanie Boltzmanna bardzo nam się skomplikowało i w takiej postaci nie możemy
rozwiązać go analitycznie. Dlatego musimy uciec się do pewnego uproszczenia. Założymy mianowicie, bez żadnego dowodu, że
φq = 0,
(4.12)
tzn. układ fononów może być traktowany tak jakby znajdował się w stanie
równowagi termicznej [18]. Teraz oba wyrażenia mają taki sam wkład, dlatego nie
musimy rozważać ich oddzielnie. Pochłonięcie fononu daje ten sam efekt co jego
30
emisja odwrócona w czasie. Wyraz odpowiedzialny za dyfuzję ładunków w wyniku
przestrzennych zmian funkcji rozkładu w równaniu (4.9) zaniedbujemy, gdyż nie jest
nam potrzebny. W takim wypadku zostaniemy z
∂f (r, p, t)
∂f (r, p, t)
=−
.
(4.13)
∂t
∂t
coll
field
Wynika stąd, że szybkość zmian entropii w układzie w wyniku rozproszeń musi
być równa szybkości zmian entropii spowodowanej przyłożonym zewnętrznym polem
ze zmienionym znakiem
Ṡcoll = −Ṡfield .
(4.14)
Entropia powstała w wyniku rozproszeń zawsze będzie rosła, co wynika z drugiej
zasady termodynamiki. Z drugiej strony przyłożone pole elektryczne będzie porządkowało układ, redukowało entropię i utrzymywało równowagę. Mimo to wzrost nieuporządkowania obserwujemy w postaci wydzielanego ciepła czy zaniku gradientu
temperatury. Szybkość zmian entropii w układzie w wyniku zachodzących w nim
zderzeń fononów i elektronów określa następująca formuła [18]
ZZZ
1
k0
(φk − φk0 )2 Pk,q
dk0 dk dq,
(4.15)
Ṡcoll =
2
kB T
która wynika z postaci równania (4.11). Zmiany entropii układu spowodowane
przepływem prądu możemy łatwo znaleźć korzystając z definicji entropii i prawa
Joule’a-Lenza
j 2ρ
,
(4.16)
T
gdzie ρ jest oporem właściwym, a j gęstością prądu. Wyliczając z powyższego ρ
i wykorzystując równania (4.13), (4.15) oraz (2.22) otrzymamy przepis wariacyjny
na opór właściwy próbki
RRR
1
k0
(φk − φk0 )2 Pk,q
dk0 dk dq
kB T
,
(4.17)
ρ=
R
2
1
∂fk0
4π3 e vk · u φk ∂εk dk
Ṡfield =
gdzie u jest wektorem jednostkowym w kierunku pola elektrycznego.
4.3
Model dwuwymiarowy
W tej części zajmiemy się modelem, w którym metaliczna warstwa monoatomowa
przedstawiona jest jako dwuwymiarowa płaszczyzna, przez którą przemieszcza się
dwuwymiarowy (2D) gaz elektronowy. Oczywiście w wyniku takiego zredukowania
układu kula Fermiego będzie tutaj kołem o promieniu kF , w którym leżą wszystkie
możliwe dwuwymiarowe wektory falowe κ. Podobnie fonony będą scharakteryzowane dwuwymiarowym wektorem falowym q, a elektronowe funkcje falowe spełniać
będą warunek Blocha
0
ψκ (r + Rl0 ) = eiκ·Rl ψκ (r).
(4.18)
31
Podstawiając to i (4.5) do (4.6) otrzymamy
M (κ, κ ) =
0
X
l,s
h̄nq,b
2N Ms ωq,b
1/2
i(κ0 −κ−q)·Rl0
e
Z
ψκ∗ (r) eb (s|q) · ∇r U (r) ψκ0 (r) dr.
(4.19)
Poczynimy teraz pewne uproszczenia. Założymy mianowicie, że komórka prymitywna składa się z jednego tylko atomu, stąd możemy opuścić sumowanie po s.
Ponieważ elektronowe funkcje falowe spełniają warunek (4.18), to każda suma po l
zawiera dokładnie tę samą całkę po objętości całego dwuwymiarowego kryształu. W
takim wypadku możemy skorzystać z definicji delty Kroneckera i ostatecznie element
macierzowy uprości się do następującej postaci
M (κ, κ ) =
0
h̄nq,b
2N Ms ωq,b
1/2
Z
δg,κ0 −κ−q
ψκ∗ (r) eb (q) · ∇r U (r) ψκ0 (r) dr. (4.20)
Całkę w tym wzorze oznaczać będziemy jako
Z
0
Lq,b (κ, κ ) = ψκ∗ (r) eb (q) · ∇r U (r − Rl,s ) ψκ0 (r) dr.
(4.21)
Delta Kroneckera dopuszcza możliwość rozproszeń spełniających następującą relację
q = κ0 − κ − g,
(4.22)
tzn. pęd kryształu jest zachowany z dokładnością do wektora sieci odwrotnej
g. Jeżeli podczas procesu rozproszenia wektor ten jest niezerowy, to mamy wtedy
do czynienia z procesami umklapp wspomnianymi w poprzednim rozdziale. Z tak
zapisanym warunkiem (4.22) element macierzowy (4.20) opisuje proces, w którym
fonon o wektorze falowym q zostaje zaabsorbowany, w wyniku czego elektron o
wektorze falowym k zostaje rozproszony do stanu o wektorze falowym k0 . Zajmijmy
się teraz całką (4.21) pamiętając cały czas, że rozważamy układ dwuwymiarowy.
Ponieważ U (−∞) = U (∞) = 0, to korzystając z teorii dystrybucji całkę możemy
przepisać w następujący sposób
Z
0
∗
Lq,b (κ, κ ) = −eb (q) · U (r)∇r ψκ (r) ψκ0 (r) dr.
(4.23)
Jeżeli dodatkowo założymy, że elektrony przewodnictwa w metalach są dobrze
opisane przez zwykłe fale płaskie, to otrzymamy
Z
0
0
0
Lq,b (κ, κ ) = −ieb (q) · (κ − κ) U (r)ei(κ −κ)·r dr
(4.24)
Należy pamiętać, że nie ma ścisłego rozróżnienia pomiędzy procesami normalnymi (N ) i procesami umklapp (U ). Wszystko zależy od tego w jaki sposób definiujemy strefę zredukowaną. Na przykład w strefie zredukowanej możemy mieć
do czynienia z procesem U , podczas gdy w strefie rozszerzonej będzie to proces N .
32
Ponadto ze względu na dalsze rachunki wygodnie nam będzie rozpatrywać tylko
procesy normalne, dlatego w (4.22) postawimy g = 0. W ten sposób udało nam się
zredukować problem do prostej transformaty Fouriera potencjału U (r)
Lq,b (κ, κ ) = −ieb (q) · q
0
Z
0
U (r)ei(κ −κ)·r dr = −ieb (q) · q U (q).
(4.25)
Pozostaje teraz kwestia wyboru potencjału. Zastosujemy zwyczajny, ekranowany
potencjał kulombowski, którego postać jest nam znana, a jego transformata Fouriera
w 2D wynosi
U (q) =
2πV0
,
λ+q
(4.26)
gdzie λ jest parametrem ekranowania zdefiniowanym jako λ = 2πV0 S2D (εF ). W
granicy długich fal (q → 0) otrzymany wynik nie powinien różnić się od wyniku
dla materiału litego, dlatego musimy uwzględnić jeszcze koncentrację elektronów ne
liczoną na jednostkę powierzchni
Lq,b (κ, κ0 ) = ieb (q) · 4κ
ne
.
S2D (εF )
(4.27)
Przeprowadzone do tej pory rachunki są bardzo proste, ale otrzymany rezultat
nie różni się w zasadzie od wyników jakie możemy znaleźć w literaturze, a które
opierają się na bardziej złożonych modelach.
Mając tę część za sobą przejdźmy do policzenia oporu właściwego naszego układu.
Wykorzystamy regułę wariacyjną Zimana [18] zaadaptowaną do naszego modelu
cienkiej warstwy
ρL =
1
kB T
0
κ
dκ dκ0 dq
{φκ − φκ0 }2 Pκ,q
.
1 R
2 e vκ φκ ∂fκ0 dκ2
2π
∂εκ
RRR
(4.28)
Wybór funkcji φk nie jest krytyczny, dlatego w naszych obliczeniach wykorzystamy standardową funkcję próbną
φκ = κ · u.
(4.29)
Obliczenia zaczniemy od mianownika
2 2 2
Z
Z
ZZ
0
0
0
1
eh̄
eh̄ 1
∂f
∂f
∂f
κ
κ
κ
2
=
=
e
v
φ
dκ
κ(κ
·
u)
dκ
κ
κ
dκ
dϕ
κ
κ
2π 2
2π 2 me
2π 2 me 2
∂εκ ∂εκ ∂εκ
2 2
ekF
=
.
2πh̄
(4.30)
33
Znacznie więcej wysiłku będziemy musieli włożyć, aby policzyć licznik, dlatego
rachunki przeprowadzimy krok po kroku rozkładając całe wyrażenie na szereg mniejszych wyrażeń łatwiejszych w analizie. Prawdopodobieństwo rozproszenia elektronu
P znajdujemy korzystając ze złotej reguły Fermiego
2
2π (4.31)
hnq,b |hψκ0 |V (r)|ψκ i|nq,b − 1i δ(ε)fκ0 (1 − fκ00 ).
h̄
Przejście pomiędzy odpowiednimi stanami będzie możliwe tylko wtedy, gdy stan
początkowy jest zajęty przez elektron, natomiast stan końcowy jest wolny. Uwzględnia to dodatkowy czynnik fκ0 (1 − fκ00 ). Po podstawieniu uzyskanych wcześniej wyników otrzymamy
0
κ
=
Pκ,q
κ0
Pκ,q
=
π
δκ0 −κ−q |Lq,b (κ, κ0 )|2 δ(εκ + h̄ωq,b − εκ0 )n0q fκ0 (1 − fκ00 ), (4.32)
Ms N ωq,b
gdzie εκ jest energią elektronu, h̄ωq,b to energia fononu. Obie funkcje delta
zapewniają nam spełnienie zasady zachowania pędu i energii w procesie. Przepiszmy
teraz cały licznik
ZZZ
π
(4κ · u)2 (4κ · e)2 U 2 (q)fκ0 (1 − fκ00 )
×
kB T
Ms N ωq,b
(4.33)
0
0
× nq δ(εκ + h̄ω − εκ0 )δg ,κ0 −κ−q dκ dκ dq.
Całkowanie po q wraz z deltą wymaga spełnienia zasady zachowania pędu (4.22)
podczas rozproszenia z g = 0 (dla procesów normalnych). Procedura obliczania
licznika przebiega analogicznie do tej wykorzystanej przez Zimana [18]. Nie wdając
się w szczegóły otrzymamy
1
2πh̄
ρL = 2
2 2
e Ms NA kB T kF ς
ZZ
(q · u)2 (q · e)2 U 2 (q)
dς dς 0
,
(1 − e−h̄ω/kB T )(eh̄ω/kB T − 1) v v 0
(4.34)
gdzie v jest prędkością elektronu, NA liczbą komórek elementarnych na jednostkę
powierzchni, ς jest obwodem płata Fermiego. Dla procesów N wektor polaryzacji
fal podłużnych e jest równoległy do q, dlatego możemy zapisać, że
(4κ · e)2 = (4κ)2 = q 2 ,
(4.35)
a dzięki symetrii układu
1
1
(4.36)
(4κ · u)2 = (4κ)2 = q 2 .
2
2
Obliczmy opór właściwy dany równaniem (4.34) zmieniając zmienne całkowania
w pierwszej całce z dς na kF dϕ, gdzie kąt ϕ to kąt pomiędzy wektorami κ i κ0 .
Całkowanie po dς 0 natychmiast daje ς = 2πkF , stąd
Z
πh̄
1 1
q 4 U 2 (q) kF dϕ
(4.37)
ρL = 2
.
e Ms NA kB T kF2 vF2 ς
(1 − e−h̄ω/kB T )(eh̄ω/kB T − 1)
34
Musimy jeszcze wyrazić dϕ poprzez q. Ponieważ jest to kąt pomiędzy wektorami
falowymi elektronu przed i po rozproszeniu i spełniona jest zasada zachowania pędu,
to możemy tego łatwo dokonać korzystając z twierdzenia kosinusów
q 2 = κ02 + κ2 − 2κ0 κ cos ϕ
=⇒
q 2 = κ02 + κ2 − 2κ0 κ cos ϕ
=⇒
q dq = kF2 sin ϕdϕ,
q2
cos ϕ = 1 − 2 .
2kF
(4.38)
Ostatecznie równanie opisujące opór metalicznej, idealnej, dwuwymiarowej warstwy przedstawia się następująco
h̄
ρL = 2
2e Ms NA kB T kF4 vF2
ZD
q 5 U 2 (q)dq
q
0
1− 1−
q2
2
2kF
2
1−
e−h̄ω/kB T
. (4.39)
h̄ω/k
T
B
(e
− 1)
gdzie D jest promieniem Debye’a w dwóch wymiarach, a ω = ω(q). Formułę tę
można porównać z formułą Blocha-Grüneisena na opór właściwy metali litych
3πh̄
ρB = 2
4e Ms NV kB T kF4 vF2
ZD
q 5 U 2 (q)dq
,
1 − e−h̄ω/kB T (eh̄ω/kB T − 1)
(4.40)
0
gdzie D jest promieniem Debye’a w trzech wymiarach, a NV liczbą komórek elementarnych na jednostkę objętości. Pozostaje nam już tylko zastosować rzeczywistą
relację dyspersji fononów do policzenia (4.39)
qa
),
(4.41)
2
gdzie ω0 - częstość charakterystyczna, a - stała sieci. Zależność ta daje jednak zbyt duże wartości prędkości dźwięku na granicy strefy Brillouina, dlatego nie
będziemy jej stosowali. Posłużymy się tutaj formułą (3.51)
ω(q) = ω0 sin(
kB θD
,
(4.42)
h̄D
która daje bardziej odpowiednie wartości prędkości dźwięku i wynika z niej następująca relacja dyspersji, której użyjemy w obliczeniach
c=
ω(q) =
4.4
kB θD
q.
h̄D
(4.43)
Wyniki
Policzyliśmy stosunek oporu naszej modelowej struktury ρ2D do oporu materiału
litego ρ3D danego równaniem (4.40), aby pokazać wpływ ograniczenia wymiarów.
W obu przypadkach użyliśmy liniowej relacji dyspersji zaproponowanej w (4.43).
Wyniki numeryczne przedstawione są na rysunku Rys.4.1, gdzie widać, że stosunek
oporów jest stały dla wyższych temperatur.
35
2
ρ2D /ρ3D
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
T /θD
Rys. 4.1: Względna oporność ρ2D /ρ3D w funkcji temperatury zredukowanej T /θD .
Aby stosunek obu wielkości był bezwymiarowy pomnożyliśmy dwuwymiarowy
opór właściwy ρL przez stałą sieci a. W szerokim zakresie temperatur opór warstwy
jest równy około 0.75 oporu materiału litego. Można to wytłumaczyć w prosty sposób, mianowicie nośniki ładunków w dwuwymiarowej strukturze mają mniej stanów
końcowych, do których mogą się rozproszyć, dlatego opór jest mniejszy. Jednak poniżej temperatury T = 0.2θD otrzymujemy niespodziewany wynik. Opór elektryczny
naszego układu wzrasta i staje się większy od oporu 3D poniżej temperatury 0.1θD .
Uważamy, że przyczyną takiego zachowania jest fakt, że w niskich temperaturach
wyrażenie h̄ω/kB T przyjmuje duże wartości i dzięki temu możemy przybliżyć część
wyrażenia pod całką w (4.39) i (4.40) przez czynnik exp(−h̄ω/kB T ). Wyrażenie to
równe jest exp(−θD q/T D). Obrazuje to bardzo dobrze znany fakt, że w niskich temperaturach to fonony o małych wektorach falowych q przyczyniają się najbardziej
do rozpraszania elektronów. Wkład ten jest znacznie większy w cienkiej warstwie
dzięki wyrażeniu pod pierwiastkiem w mianowniku, które zmierza do zera, gdy q
zmierza do zera.
4.5
Wpływ temperatury na transport w cienkiej
warstwie metalicznej
Główną wadą modelu zaprezentowanego wcześniej jest oczywiście założona nierealna forma badanej próbki w postaci dwuwymiarowej płaszczyzny. Przejdźmy
zatem do obliczeń w układzie, gdzie jeden z wymiarów próbki nie został całkowicie
zredukowany jak poprzednio, ale został drastycznie ograniczony. Naszym celem jest
znaleźć zależność temperaturową oporu dla takiej cienkiej warstwy. Elektron w takim układzie będzie opisany przez prosty model cząstki w pudle o idealnie gładkich
36
ścianach z nieskończenie głęboką barierą potencjału w kierunku, w którym nastąpiło ograniczenie wymiaru. Przyjmujemy, że widmo fononów jest takie samo jak
w materiale litym. Elektronowe funkcje falowe i wartości własne w takim układzie
zostały przedstawione w rozdziale 1.1 mianowicie
r
nπ
1
2
sin
(z + zj ) √ eiκ·ρ .
(4.44)
ψn (r) =
Lz
Lz
S
Przesunęliśmy tutaj początek układu współrzędnych do jonu, którego położenie
względem podstawy próbki jest zj . Wskaźnik j numeruje kolejne monowarstwy.
Szerokość studni Lz odpowiada grubości warstwy, a S to jej powierzchnia. Pozostałe
symbole to: n - numeruje kolejne stany związane, κ jest wektorem falowym w
płaszczyźnie kx -ky i analogicznie ρ jest wektorem wodzącym w płaszczyźnie x-y,
natomiast wartości własne energii równe są
n2 π 2
h̄2
2
2
kx + ky + 2 .
(4.45)
εn =
2m
Lz
Zakładamy, że przepis wariacyjny na opór cienkiej warstwy [18] jest wciąż słuszny
dla naszego modelu
ρL =
1
kB T
0
{φk − φk0 }2 Pkk,q dk dk0 dq
,
1 R
0
3 e vk φk ∂fk dk2
2π
∂εk
RRR
(4.46)
gdzie oznaczenia są takie jak poprzednio. Wybór funkcji próbnej powinien być
odpowiedni dla danego problemu rozpraszania. Różnego typu funkcje używane są w
przypadku elastycznego rozpraszania na domieszkach, nieelastycznego rozpraszania
na fononach i w obecności gradientu temperatur [26, 27]. Zakładamy stan równowagi termicznej, brak gradientu temperatur, domieszek obcych atomów i tylko
oddziaływania elektron-fonon, dlatego podobnie jak poprzednio wybieramy funkcję
próbną w postaci [18, 20]
φk = k · u,
(4.47)
gdzie wektor jednostkowy pola elektrycznego u leży w płaszczyźnie warstwy. W
mianowniku mamy całkę po objętości kuli Fermiego w przestrzeni wektora falowego.
Ponieważ w naszym przypadku kulę zamieniamy na zbiór płatów, to będziemy musieli odpowiednio zmienić całkę na sumę. Oczywiście dla uproszczenia zakładamy
kwadratową relację dyspersji
Z
Z
Z
∂fk0
π eh̄ X
∂fk0
π eh̄ X
∂fk0
evk φk
dk =
k(k · u)
dκ =
kα kβ
dκ
∂εk
Lz me n
∂εk
Lz me n
∂εk
Z
π eh̄ X
∂fk0
=
kα kβ
κ dκ dϕ
Lz me n
∂εk
(4.48)
37
Zrobimy teraz następujące podstawienie:
h̄2 2
εk =
(κ + kz2 )
2me
h̄2
dεk =
2κ dκ
2me
r
⇒
⇒
2me
εk − kz2 ,
h̄2
dεk
me
dκ = 2 q
.
2me
h̄
2
2 εk − k
κ=
h̄
(4.49)
z
Transport ładunku odbywa się jedynie w płaszczyźnie warstwy, dlatego wychodzimy z założenia, że przy ustalonym n jest to transport dwuwymiarowy. Po podstawieniu powyższego otrzymamy
3/2
Z
Z π2 e X
2me
∂fk0
dεk
π eh̄ X 1 2 ∂fk0
2
q
κ
κ dκ dϕ =
ε
−
k
k
z
2
Lz me n
2 ∂εk
Lz h̄ n
∂εk
2me
h̄
ε − kz2
h̄2 k
π 2 e X 2me
π2 e X 2
2π 3 ene
2
=
ε
−
k
=
k
=
.
F
z
Lz h̄ n
Lz h̄ n Fn
h̄
h̄2
(4.50)
W ostatniej równości skorzystaliśmy z równań (1.4),(1.5) i (1.6). Zatem mianownik to po prostu
2 Z
0
1
∂f
ene 2
k
3
ev
φ
d
k
=
.
(4.51)
k k
2π 3
∂εk
h̄
Więcej uwagi będziemy musieli poświęcić na policzenie licznika. Prawdopodobieństwo rozproszenia znajdujemy ze złotej reguły Fermiego
2
2π M (k, k0 ) δ(ε)fk0 (1 − fk00 ).
(4.52)
h̄
Element macierzowy M dla konkretnego modu drgań o wektorze falowym q i
polaryzacji e można policzyć ze wzoru (4.6). Zanim do tego przejdziemy spójrzmy
na funkcje falowe. W krysztale muszą one być funkcjami blochowskimi tzn. muszą
spełniać warunek Blocha
0
Pkk,q =
0
ψk (r + Rl0 ) = eik·Rl ψk (r),
(4.53)
gdzie Rl0 jest wektorem sieci Bravais. Jednak w wyniku geometrycznego ograniczenia próbki funkcje własne będą spełniać ten warunek tylko w płaszczyźnie próbki,
a w kierunku prostopadłym do tej płaszczyzny będziemy mieli do czynienia ze stanami związanymi i tutaj już takiej zależności nie ma. Rozłóżmy przez to wektor
wodzący komórki elementarnej Rl0 na składową w płaszczyźnie warstwy (indeksowaną przez m) i do tej płaszczyzny prostopadłą (indeksowaną przez j)
0
Rl0 = Rm
+ Rj0 .
(4.54)
Teraz warunek Blocha przepiszemy nieco inaczej
0
0
ψk (r + Rm
) = eik·Rm ψk (r),
(4.55)
co w naszym konkretnym przypadku sprowadza się do
r
2
nπ
0
iκ·Rm
0
ψn (r + Rm ) = e
sin
(z + zj ) eiκ·ρ .
V
Lz
38
(4.56)
Mając to za sobą przejdźmy do policzenia elementu macierzowego
M (k, k ) = nq,b X
=
0
j,m
Z
ψk∗ (r) Hep ψk0 (r) dr nq,b − 1
1/2
Z
h̄nq,b
0
i(κ0 −κ−q)·Rm
e
ψk∗ (r) eb (q) · ∇r U (r) ψk0 (r) dr.
2N Ms ωq,b
(4.57)
Suma po m zawiera dokładnie tę samą całkę po objętości całego kryształu. Jeżeli
założymy jeszcze, że funkcja falowa jest znormalizowana po objętości komórki elementarnej [18], to po skorzystaniu z definicji delty Kroneckera element macierzowy
będzie wyglądał następująco
M (k, k ) =
0
h̄nq,b
2N Ms ωq,b
1/2
Z
δg,κ0 −κ−q
ψk∗ (r) eb (q) · ∇r U (r) ψk0 (r) dr. (4.58)
Jedna rzecz wymaga tutaj komentarza. Delta Diraca w tym równaniu zapewnia
nam zasadę zachowania pędu. W takiej postaci, jak jest tutaj, pęd będzie zachowany
tylko w płaszczyźnie warstwy, dlatego będziemy dopuszczali jedynie te procesy, które
zachodzą wewnątrz tego samego płata Fermiego (n = n0 ). Całkę w tym wzorze
oznaczać będziemy jako
Z
0
Lq,b (k, k ) = ψk∗ (r) eb (q) · ∇r U (r − Rl,s ) ψk0 (r) dr.
(4.59)
Policzenie całki w tym przypadku może sprawiać trudności, dlatego w naszym
pierwszym podejściu przyjęliśmy, że potencjał U (r) może być rozłożony na dwie
części, mianowicie część zależną od współrzędnych x i y oraz część zależną od z
U (r) = U (x, y) + U (z).
(4.60)
Wtedy całkowanie może być maksymalnie uproszczone do
Z
ψk∗ (r)
Z
∗
eb (q) · ∇U (r) ψk0 (r) dr = ψk (r) eb,x,y (q) · ∇U (x, y) ψk0 (r) dr,
(4.61)
jeżeli część U (z) odpowiada potencjałowi wiążącemu i jest stała wzdłuż osi z.
Równanie to jest praktycznie dwuwymiarowe, a całkę po z wykonujemy w granicy
od −zj do Lz − zj . Nawet jeżeli dopuścimy możliwość przejść pomiędzy płatami
39
Fermiego to niezerowe rozwiązania otrzymamy tylko dla n = n0 , zatem
0
nπ
nπ
0
(z + zj ) sin
(z + zj ) U (ρ)ei(κ −κ)·ρ dρ dz
−ieb (q)·(κ − κ)
sin
Lz
Lz
ne
= −ieb (q) · (κ0 − κ)
.
2S(εF )
(4.62)
Skorzystaliśmy tutaj z wyniku otrzymanego dla warstwy w 2D. Możemy przepisać ostatecznie wzór na prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy stanami w wyniku
oddziaływania z kwantem drgań sieci
ZZ
0
k0
Pk,q
=
2
π
δg,κ0 −κ−q Lq,b (κ, κ0 ) δ(εk +h̄ωq,b −εk0 )n0q,b fk0 (1−fk00 ). (4.63)
Ms N ωq,b
Teraz całka w liczniku będzie się przedstawiała następująco
π
kB T
ne
2S(εF )
2 Z Z Z
(4κ · u)2 (4κ · e)2 fk0 (1 − fk00 )
×
Ms N ωq,b
× n0q,b δ(εk + h̄ωq,b − εk0 )δg,κ0 −κ−q dk dk0 dq.
(4.64)
Tutaj już rachunki przedstawimy dokładniej. Całka po q przy uwzględnieniu
delty Kroneckera jest trywialna i implikuje zasadę zachowania pędu. W następnej
całce wykorzystamy warunek zachowania energii. Całkując po k0 otrzymamy
ZZ
Z
dεk0 0
π 1 X dςn0 0
π 1 X
dς 0 =
,
δ(εk +h̄ωq,b −εk0 )
δ(εk +h̄ωq,b −εk0 )dk =
Lz 4π 3 n0
h̄vk0 n
Lz 4π 3 h̄ n0
vk 0
(4.65)
gdzie ςn jest obwodem płata Fermiego, a vk to prędkość elektronu. Pozostaliśmy
już tylko z jedną całką po k
Z
0
Z
fk0 (1
−
fk00 )dk
Z
Z
π 1 X dςn
=
Lz 2π 3 h̄ n
vk
Z
Z
π kB T X dςn
=
Lz 2π 3 h̄ n
vk
XZ
π kB T
t
=
Lz 2π 3 h̄ 1 − e−t k
z
(e(εk −µ)/kB T
(ew
dεk
+ 1)(e−(εk +h̄ωq,b −µ)/kB T + 1)
dw
+ 1)(e−(w+t) + 1)
dςn
,
vk
(4.66)
gdzie podstawiliśmy w = (εk − µ)/kB T i t = h̄ωq,b /kB T . Dzięki rozciągnięciu
granicy od −∞ do ∞ całka staje się elementarna, a błąd spowodowany zamianą
granic jest niewielki [20]. Zbierając razem wszystkie etapy obliczeń i całkując po ςn
otrzymamy
X XZ
h̄
(4κ · u)2 (4κ · e)2 kFn dϕ
0
ς
,
ρL =
0
32π 3 kB T e2 S 2 (εF )Ms N vF2 n n n
(1 − e−h̄ωq,b /kB T )(eh̄ωq,b /kB T − 1)
(4.67)
40
gdzie ϕ jest kątem rozpraszania w płaszczyźnie. Dla procesów N głównie fale
podłużne przyczyniają się do rozpraszania elektronów, stąd wektor e jest równoległy
do q, który z kolei równy jest 4κ, dlatego ich iloczyn skalarny to
(4κ · e)2 = q 2 .
(4.68)
Zakładamy, że widmo fononów jest takie samo jak w materiale litym. Drugi
iloczyn skalarny 4κ · u możemy policzyć na podobnej zasadzie jak to zrobiliśmy w
(4.36)
1
(4.69)
(4κ · u)2 = q 2 .
2
Aby ukończyć rachunki musimy jeszcze znaleźć kFn dϕ wyrażone przez wektor
falowy q. Zrobimy to korzystając z prawa kosinusów
q 2 = k 02 + k 2 − 2k 0 k cos ϕ
=⇒
q 2 = k 02 + k 2 − 2k 0 k cos ϕ
=⇒
q dq = kF2 n sin ϕdϕ,
q2
cos ϕ = 1 − 2 .
2kFn
(4.70)
Ostatecznie wyrażenie na opór właściwy cienkiej metalicznej warstwy to
ρL =
h̄
64π 3 kB T e2 Ms N vF2 S 2 (εF )
X
n0
4.6
ςn0 0
XZ
n
×
(4.71)
q 4 dq
(1 − e−h̄ωq /kB T )(eh̄ωq /kB T
q
− 1) 1 −
q 2 L2z
2 L2 −n2 π 2 )
4(kF
z
.
Wyniki
Policzyliśmy opór elektryczny dla miedzianych warstw o zadanej grubości Lz w
przedziale temperatur od 0 K aż do 1.5 θD (około 320 K dla miedzi). Wyniki obliczeń
zostały przedstawione na rysunku 4.2. Opór cienkich warstw różni się nieznacznie
od oporu materiału litego i jest liniowy w zakresie wysokich temperatur. Na rysunku
4.3 widzimy, że oporność oscyluje wraz ze zmianą grubości warstwy. Oscylacje te
szybko zanikają i są do zaniedbania już dla warstwy o grubości równej kilku stałych
sieci. Przyczyną tych oscylacji jest zmieniająca się gęstość stanów na poziomie
Fermiego.
Co ważne, zachowanie oporu pokazane na rysunku 4.3 słabo zależy od ograniczenia wymiarów i w ustalonej temperaturze oscyluje jedynie wokół wartości dla litej
próbki. Wynik ten nie jest w pełni zgodny z wynikami eksperymentalnymi, gdzie
opór rośnie wielokrotnie wraz ze spadkiem grubości warstwy i osiąga skończoną wartość dla jednej monowarstwy [28]. Przypuszczamy, że taki wzrost oporu może być
spowodowany nierównościami powierzchni i pęknięciami, które mogą się pojawiać w
próbce. W naszej opinii otrzymane w niniejszej pracy wyniki są poprawne w ramach
zastosowanego modelu.
41
5 · 10−8
ρ [Ωm]
4 · 10−8
3 · 10−8
2 · 10−8
1 · 10−8
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
T /θD
Rys. 4.2: Opór elektryczny cienkich warstw miedzianych (linia przerywana) w funkcji zredukowanej temperatury dla warstw o różnej grubości liczonej w monowar, 10 ,3,2,1oraz opór litej próbki miedzianej
stwach: 100 .
(linia ciągła) -
3 · 10−8
2.8 · 10−8
ρ [Ωm]
2.6 · 10−8
2.4 · 10−8
2.2 · 10−8
2 · 10−8
1.8 · 10−8
1.6 · 10−8
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
NL
Rys. 4.3: Opór elektryczny ρ w stałej temperaturze (T = θD ) w funkcji liczby
monowarstw NL .
42
Nie obserwujemy tutaj niespodziewanego wzrostu oporu wraz ze spadkiem temperatury, jaki był widoczny w warstwie 2D. Obserwujemy za to oscylacje, które
potwierdzają inni autorzy [9, 29], a które też są wynikiem zmiennej gęstości stanów na poziomie Fermiego. Na Rys.4.2 widzimy, że nawet dla dość grubej warstwy
(NL = 100) opór właściwy różni się nieco od oporu dla litej miedzi.
Uważamy, że jest to spowodowane dość upraszczającym założeniem, że potencjał może być podzielony na dwie części - jedną zależną jedynie od współrzędnych w
płaszczyźnie warstwy i druga zależną tylko od z. Uwzględnienie bardziej realistycznego potencjału i dopuszczenie możliwości rozproszeń także w kierunku prostopadłym do warstwy dałoby z pewnością lepsze rezultaty.
Rozdział 5
Oddziaływanie elektron-domieszka
Problem rozpraszania elektronów na domieszkach w matrycach metalowych jest
jedynie niewielką częścią bardzo obszernej teorii rozpraszania i kolizji cząstek. Podstawy teorii zostały opracowane przede wszystkim jako narzędzie potrzebne w fizyce
jądrowej, gdzie badania nad budową materii opierają się głównie na wymuszonych
reakcjach jądrowych. Taką reakcję jądrową wywołuje się poprzez oddziaływanie
badanego obiektu z inną cząstką, gdzie duże znaczenie mają reakcje dwuciałowe.
Teoria rozpraszania znalazła zastosowanie także w wielu innych dziedzinach takich
jak fizyka atmosfery, astrofizyka, fizyka plazmy czy fizyka ciała stałego. Obszerny
opis tej teorii możemy znaleźć w monografii Motta i Massey’a [30]. Natomiast
podstawowe zagadnienia zawiązane z rozpraszaniem elektronów na domieszkach w
stopach metali opracowane zostały np. w pracy Friedla [31] oraz w podręcznikach
do fizyki ciała stałego. Pomimo bogactwa problemów związanych z rozpraszaniem
możemy znaleźć zaledwie garstkę prac na temat rozpraszania w układach metalicznych silnie ograniczonych wymiarowo pomimo, że został on szeroko opracowany w
fizyce półprzewodników. W tym rozdziale postaramy się poszerzyć wiedzę na ten
temat.
5.1
Równanie Lippmanna-Schwingera
Rozważmy niezależny od czasu proces rozpraszania, dla którego możemy zapisać
następujący hamiltonian:
H = H0 + H1 ,
(5.1)
gdzie H0 jest hamiltonianem swobodnego elektronu o masie m,
p2
,
(5.2)
H0 =
2m
natomiast H1 odpowiada niezależnemu od czasu potencjałowi rozpraszającemu.
Niech |φi będzie wektorem własnym operatora H0 do energii ε
H0 |φi = ε|φi,
43
(5.3)
ROZDZIAŁ 5. ODDZIAŁYWANIE ELEKTRON-DOMIESZKA
44
którego funkcja falowa hr 0 |φi to φ(r 0 ). Funkcja ta przedstawia falę płaską. Równanie Schrödingera dla procesu rozpraszania wygląda następująco
(H0 + H1 )|ψi = ε|ψi,
(5.4)
gdzie |ψi jest stanem własnym energii całkowitego hamiltonianu, którego funkcją falową hr 0 |ψi jest ψ(r 0 ). Zazwyczaj zarówno H0 jak i H0 + H1 mają ciągłe
widmo energii. Zależy nam na rozwiązaniu równania (5.4), które spełnia warunki
brzegowe |ψi → |φi dla H1 → 0. Tutaj |φi jest rozwiązaniem swobodnego równania
Schrödingera (5.3), posiadającego te same wartości własne energii.
Formalnie pożądane rozwiązanie może być zapisane jako
|ψi = |φi +
1
H1 |ψi.
ε − H0
(5.5)
Warto zauważyć, że jesteśmy w stanie odtworzyć równanie (5.4) poprzez podziałanie na powyższe operatorem ε−H0 oraz wykorzystując równanie (5.3). Dodatkowo
rozwiązanie spełnia warunki brzegowe |ψi → |φi dla H1 → 0. Niestety, operator
(ε−H0 )−1 jest osobliwy np. działając nim na stan własny H0 otrzymujemy nieskończone wartości własne ε. Potrzebujemy sposobu, który pozwoli nam poradzić sobie
z tym problemem, inaczej powyższe rozwiązanie jest bezużyteczne. Standardową
procedurą jest dopuszczenie, aby wartości własne ε były zespolone. Stąd
|ψ ± i = |φi +
1
H1 |ψ ± i,
ε − H0 ± i
(5.6)
gdzie jest rzeczywiste, dodatnie i małe. Równanie (5.6) nazywane jest równaniem Lippmanna-Schwingera i nie jest osobliwe dopóki > 0. Fizyczne znaczenie
znaków ± stanie się jasne nieco później. Równanie Lippmanna-Schwingera można
zapisać w postaci całkowej, jeżeli pomnożymy je lewostronnie przez hr| i skorzystamy
z operatora jednostkowego
Z 0
1
±
r hr 0 |H1 |ψ ± idr 0 .
(5.7)
ψ (r) = φ(r) +
r
ε − H0 ± i Wprowadzając zwykłą reprezentację, możemy zapisać problem rozpraszania (5.4)
w postaci
(∇2 + k 2 )ψ(r) =
2m
hr|H1 |ψi,
h̄2
(5.8)
gdzie
h̄2 k 2
.
(5.9)
2m
Jest to niejednorodne równanie Helmholtza i może być odwrócone przy pomocy
standardowych technik funkcji Greena:
Z
2m
±
G(r, r 0 )hr 0 |H1 |ψ ± idr 0 ,
(5.10)
ψ (r) = φ(r) + 2
h̄
ε=
45
gdzie G(r, r 0 ) spełnia równanie
(∇2 + k 2 )G(r, r 0 ) = δ(r − r 0 ).
(5.11)
Warto zauważyć, że rozwiązanie równania (5.10) spełnia warunek graniczny
|ψi → |φi dla H1 → 0. Jak dobrze wiadomo, funkcją Greena dla niejednorodnego
równania Helmholtza w trzech wymiarach spełniającą warunek radiacyjny Sommerfelda jest
G(r, r 0 ) = −
exp(±ik|r − r 0 |)
.
4π|r − r 0 |
Stąd równanie (5.10) można zapisać następująco
Z
2m
exp(±ik|r − r 0 |) 0
±
ψ (r) = φ(r) − 2
hr |H1 |ψ ± idr 0 .
4π|r − r 0 |
h̄
(5.12)
(5.13)
Porównanie równań (5.7) oraz (5.13) sugeruje, że jądro równania (5.7) przybiera
następującą postać
0
0
1
r = − 2m exp(±ik|r − r |) .
(5.14)
r
ε − H0 ± i 4π|r − r 0 |
h̄2
Załóżmy teraz, że hamiltonian rozpraszający H1 jest zwykłym potencjałem zależnym jedynie od współrzędnych przestrzennych. Prowadzi to do równania
hr 0 |H1 |ri = V (r)δ(r − r 0 ).
Znowu korzystając z operatora jednostkowego możemy zapisać
Z
0
±
hr |H1 |ψ i = hr 0 |H1 |r 00 ihr 00 |ψ ± idr 00 = V (r 0 )ψ ± (r 0 ).
Tak więc równanie całkowe (5.13) uprasza się do postaci
Z
2m
exp(±ik|r − r 0 |)
±
ψ (r) = φ(r) − 2
V (r 0 )ψ ± (r 0 )d3 r 0 .
0
4π|r − r |
h̄
(5.15)
(5.16)
(5.17)
Zauważmy, że poszukiwana funkcja ψ ± pojawią po obu stronach równości. Z
tego powodu, w ogólności, rozwiązania równania Lippmanna-Schwingera nie da się
znaleźć w prosty sposób. Powyższe równanie całkowe to tzw. równanie Fredholma,
które można rozwiązać metodą iteracyjną. W celu uproszczenia zapisu przyjmijmy,
że
Z
2m
exp(±ik|r − r 0 |)
± def
V (r 0 )ψ ± (r 0 )d3 r 0 .
(5.18)
GVψ = − 2
4π|r − r 0 |
h̄
Tzw. zerowym przybliżeniem szukanej funkcji ψ ± zazwyczaj jest funkcja otrzymana w wyniku rozwiązania równania niezaburzonego (5.3) tj.
ψ0± (r) = φ(r).
(5.19)
46
W kolejnym kroku traktujemy otrzymaną, przybliżoną postać ψ ± jako punkt
wyjścia do znalezienia lepszego rozwiązania wg następującej relacji
±
ψj± (r) = φ(r) + G V ψj−1
,
(5.20)
gdzie j określa kolejny rząd przybliżenia. Licząc kolejne wyrażenia otrzymamy
tzw. szereg Borna
ψ ± (r) = φ(r) + G V φ(r) + G V G V φ(r) + G V G V G V φ(r) + . . .
n
X
=
G j V j φ(r).
(5.21)
j=0
Jeżeli powyższy szereg jest zbieżny, to j-tym przybliżeniem Borna nazywamy
sumę j pierwszych wyrazów tego szeregu. Niech stan początkowy |φi będzie falą
płaską o wektorze falowym k. Ket odpowiadający temu stanowi to |ki. Odpowiednie
funkcje falowe przyjmują następującą postać
hr|ki =
exp(ik·r)
.
(2π)3/2
(5.22)
Funkcja falowa jest znormalizowana w taki sposób, że
0
hk|k i =
Z
0
3
hk|rihr|k id r =
Z
exp[−ir·(k − k0 )]
dr = δ(k − k0 ).
(2π)3
(5.23)
Załóżmy, że potencjał rozpraszający V (r) jest niezerowy tylko w bardzo niewielkim obszarze znajdującym się w początku układu (r = 0). Znajdźmy funkcję falową
ψ(r) w dużej odległości od tego obszaru. Inaczej mówiąc załóżmy, że r r0 . Łatwo
pokazać, że
r
,
(5.24)
r
gdzie r̂ jest wektorem jednostkowym o początku w centrum potencjału i skierowanym w kierunku punktu obserwacji. Zdefiniujmy
|r − r 0 | ' r − r̂·r 0 ,
r̂ =
k0 = k r̂.
(5.25)
Jasnym jest, że k0 jest wektorem falowym cząstek, które posiadają tę samą energię co cząstki nadchodzące (tj. k 0 = k), ale propagują się od miejsca rozpraszania
do punktu obserwacji. Teraz możemy zapisać, że
exp(±ik|r − r 0 |) ' exp(±ikr) exp(∓ik0 ·r 0 ).
(5.26)
Dla dużych r równanie (5.17) redukuje się do
exp(ik · r)
m exp(±ikr)
ψ(r) '
−
3/2
(2π)
r
2πh̄2
±
Z
exp(∓ik0 r 0 )V (r 0 )ψ ± (r 0 )dr 0 .
(5.27)
47
Pierwszy wyraz po prawej stronie to fala padająca. Drugi wyraz to funkcja
wycentrowana na miejscu rozpraszania. Znak plus (w ψ ± ) odnosi się do fali propagującej się od miejsca rozproszenia, podczas gdy znak minus odpowiada fali poruszającej się w przeciwnym kierunku. Stąd funkcja falowa w dużej odległości od
źródła rozpraszania może być zapisana jako
exp(ikr)
1
0
exp(ik · r) +
f (k , k) ,
(5.28)
ψ(r) =
(2π)3/2
r
gdzie
(2π)2 m
f (k , k) = −
h̄2
0
Z
exp(−ik0 · r 0 )
(2π)2 m 0
0
0
0
V
(r
)ψ(r
)dr
=
−
hk |H1 |ψi (5.29)
(2π)3/2
h̄2
jest amplitudą rozpraszania, którą można przedstawić w postaci szeregu Borna
n
X
f (k0 , k) =
fj (k0 , k).
(5.30)
j=0
W większości problemów fizycznych zakłada się, że potencjał jest na tyle słaby, że
amplitudę rozpraszania można policzyć w pierwszym przybliżeniu Borna
(n = 1). Widać stąd, że jeżeli przedstawimy funkcję falową w postaci fali płaskiej, to
w pierwszym przybliżeniu Borna amplituda rozpraszania jest transformatą Fouriera
potencjału rozpraszającego. Zdefiniujmy teraz różniczkowy przekrój czynny dσ/dΩ
jako liczbę cząstek na jednostkę czasu rozproszonych w jednostkowy kąt bryłowy
dΩ, podzielony przez natężenie strumienia cząstek padających. Strumień prawdopodobieństwa związany z funkcją falową ψ to
h̄
Im(ψ ∗ ∇ψ).
m
Stąd strumień prawdopodobieństwa związany z falą padającą
j=
ψinc (r) =
exp(ik·r)
,
(2π)3/2
(5.31)
(5.32)
jest równy
jinc =
h̄
k.
(2π)3 m
(5.33)
Podobnie, strumień prawdopodobieństwa związany z falą rozproszoną,
exp(ikr) f (k0 , k)
,
(2π)3/2
r
(5.34)
h̄ |f (k0 , k)|2
k r̂.
(2π)3 m
r2
(5.35)
ψscat (r) =
jest równy
jscat =
48
Teraz, zgodnie z definicją, mamy
r2 dΩ|jscat |
dσ
dΩ =
,
dΩ
|jinc |
(5.36)
skąd wynika, że
dσ
= |f (k0 , k)|2 .
(5.37)
dΩ
Dlatego |f (k0 , k)|2 daje różniczkowy przekrój czynny dla cząstek padających o
pędzie h̄k, które rozpraszają się do stanów, których wektor pędu jest skierowany
w kąt bryłowy dΩ wokół h̄k0 . Należy zauważyć, że cząstki rozproszone posiadają
tę samą energię co cząstki padające (k 0 = k). Jest tak zawsze dla hamiltonianu
rozpraszającego przedstawionego w postaci (5.15).
5.2
Niejednorodny problem Greena w cienkiej warstwie
Równanie (5.8) możemy przepisać wykorzystując (5.16) jako
∇2 + µ2 ψ(r) = S(r)
(5.38)
i jest to równanie niejednorodne. Aby rozwiązać to równanie rozkładamy ψ(r)
oraz S(r) w przestrzeni Hilberta w bazie funkcji własnych operatora ∇2
ψ(r) =
S(r) =
∞
X
n=1
∞
X
αn φn (r),
(5.39)
βn φn (r).
n=1
Jeżeli teraz podstawimy powyższe równania do równania niejednorodnego, to
otrzymujemy
∇ 2 + µ2
∞
X
αn φn (r) =
n=1
∞
X
∞
X
αn λn + µ2 φn (r) =
βn φn (r),
n=1
(5.40)
n=1
gdzie λn są wartościami własnymi operatora ∇2 . Zatem
∞
X
αn λn + µ2 − βn φn (r) = 0.
(5.41)
n=1
Ponieważ φn (r) tworzą bazę w przestrzeni Hilberta i są liniowo niezależne to
wnioskujemy stąd, że
αn =
βn
λn + µ2
(5.42)
49
albo, ponieważ
βn = φn · S,
(5.43)
gdzie iloczyn skalarny zdefiniowany jest jako
Z
φn · S = φ∗n (r 0 )S(r 0 )dr 0
(5.44)
to
αn =
φn · S
.
λn + µ2
(5.45)
Na chwilę założymy, że mianownik w powyższym równaniu jest różny od zera
tzn. λn + µ2 6= 0. Teraz możemy zapisać [32, 33], że
Z
∞
∞
X
X
φn (r)
φn (r)
ψ(r) =
φ ·S =
φ∗n (r 0 )S(r 0 )dr 0
2 n
2
λ
+
µ
λ
+
µ
n=1 n
n=1 n
Z X
∞
φn (r)φ∗n (r 0 )
=
S(r 0 )dr 0
2
λ
+
µ
n
n=1
Wyrażenie może być zapisane w uproszczonej formie jako
Z
ψ(r) = G(r, r 0 )S(r 0 )dr 0 ,
(5.46)
(5.47)
z
0
G(r, r ) =
∞
X
φn (r)φ∗ (r 0 )
n
n=1
λn + µ2
.
(5.48)
Jest to tzw. definicja spektralna. Postać funkcji Greena determinuje operator
oraz warunki brzegowe. Czasami pisze się także G(r, r 0 , µ) aby podkreślić zależność
G zarówno od r i r 0 jak i od µ.
Posłużmy się (5.48) w rozwiązaniu problemu rozpraszania elektronów w bardzo
cienkiej warstwie metalicznej zadanego całkowym równaniem Lippmana-Schwingera
w postaci (5.10). Dla tak postawionego problemu wartości własne operatora ∇2 to
oczywiście
π2τ 2
2
2
(5.49)
λn = λi,j,τ = − kx,i + ky,j + 2
Lz
natomiast funkcje własne to
r
τπ
2 i(kx,i rx +ky,j ry )
φi,j,τ (r) =
e
sin
(z + zj ) .
V
Lz
(5.50)
Wyboru układu odniesienia dokonaliśmy już na samym początku. Zapisując
równanie Schrödingera umieściliśmy początek układu w centrum obszaru rozpraszającego. Musimy przez to przetransformować współrzędne z układu związanego z
50
podstawą cienkiej warstwy do układu związanego z jonem. Stad z + zj , gdzie zj jest
odległością jonu od podstawy. Teraz wyrażenie na funkcję Greena przyjmie postać
τπ
0
+ zj ) sin Lz (z + zj )
sin
2 X e
G(r, r 0 ) =
.
2 2
V i,j,τ =1
2
2
µ2 − kx,i
+ ky,j
+ πLτ2
z
(5.51)
Ponieważ w płaszczyźnie warstwy widmo wartości własnych jest kwaziciągłe możemy zamienić sumę po i oraz j na całkę według przepisu
Z
X
Lx
⇒
dkx ,
2π
i
Z
(5.52)
X
Ly
dky ,
⇒
2π
j
i[kx,i (rx −rx0 )+ky,j (ry −ry0 )]
τπ
(z
Lz
wtedy
0
0
ZZ X
τF ei[kx (rx −rx )+ky (ry −ry )] sin τ π (z + z ) sin τ π (z 0 + z )
j
j
Lz
Lz
1
dkx dky .
G(r, r 0 ) = 2
2 2
2π Lz
µ2 − kx2 + ky2 + πLτ2
τ =1
z
(5.53)
gdzie τF jest maksymalną liczbą stanów w studni kwantowej (liczba płatów Fermiego). Nasza cienka warstwa jest nieograniczona w płaszczyźnie natomiast jej
brzegi przybliżamy nieskończoną studnią potencjału. Taka geometria podpowiada
nam przejście z układu kartezjańskiego do układu walcowego z osią z prostopadłą
do powierzchni ograniczających. Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy nowe oznaczenia
kx x̂ + ky ŷ + 0 · ẑ = κ,
kx2 + ky2 = κ2 ,
rx x̂ + ry ŷ + 0 · ẑ = ρ,
rx2 + ry2 = ρ2 .
(5.54)
Teraz
Z 2π Z ∞
0
τF
1 X
τπ
τπ 0
eiκ·(ρ−ρ )
G(r, r ) = − 2
sin
(z + zj ) sin
(z + zj )
κ dκ dϕ
2 2
2π Lz τ =1
Lz
Lz
κ2 + πLτ2 − µ2
0
0
z
Z 2π Z ∞ iκ|4ρ| cos ϕ
τF
1 X
τπ
τπ 0
e
=− 2
sin
(z + zj ) sin
(z + zj )
κ dκ dϕ.
2π Lz τ =1
Lz
Lz
κ2 − b2
0
0
(5.55)
2 2
gdzie b2 = µ2 − πLτ2 . Ponieważ µ odpowiada wektorowi falowemu elektronu z paz
sma przewodnictwa padającego na jon, to możemy przyjąć, że jest on stały i równy
0
51
wektorowi Fermiego kF . W takim wypadku dla niewielkiego zewnętrznego pola elektrycznego b2 jest zawsze większe bądź równe (dla dostatecznie grubej warstwy) zeru.
W tym przypadku znalezienie funkcji Greena sprowadza się do policzenia całek.
Stosując techniki transformat Fouriera można udowodnić, że funkcja GH spełniająca
dobrze nam znane dwuwymiarowe, niejednorodne równanie Helmholtza
(∇2 + b2 )GH (ρ, ρ0 ) = δ(ρ − ρ0 ),
(5.56)
jest szukaną przez nas całką. Wyrażając funkcje GH i δ poprzez ich transformaty
Fouriera
Z
1
0
g(κ)eiκ·4ρ dκ,
GH (ρ, ρ ) =
(2π)2
Z
(5.57)
1
0
iκ·4ρ
δ(ρ − ρ ) =
γ(κ)e
dκ
(2π)2
dochodzimy po prostych przekształceniach do
−κ2 g(κ) + b2 g(κ) = γ(κ).
(5.58)
Oczywiście z powyższego wynika, że
γ(κ)
(5.59)
−κ2 + b2
i aby powrócić do poprzednich zmiennych ponownie stosujemy transformatę
Z
1
γ(κ) iκ·4ρ
0
GH (ρ, ρ ) = −
e
dκ.
(5.60)
2
(2π)
κ2 − b2
g(κ) =
Z własności delty Diraca wynika, że F[δ(ρ)](κ) = 1, dzięki czemu udowodniliśmy,
że rozwiązaniem równania Helmholtza w dwóch wymiarach jest poszukiwana przez
nas funkcja
Z iκ·4ρ
e
2
0
4π GH (ρ, ρ ) = −
d2 κ.
(5.61)
κ2 − b2
Zajmiemy się teraz równaniem jednorodnym (5.56), dla którego δ = 0. Najwygodniej będzie nam je rozwiązać we współrzędnych biegunowych tj.
x − x0 = ρ cos ϕ,
y − y 0 = ρ sin ϕ,
natomiast samo równanie przekształci się do
∂GH
1 ∂ 2 GH
1 ∂
ρ
+ 2
+ b2 GH = 0,
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
1 ∂
∂GH
1 ∂ 2 GH
ρ
+ b2 GH = − 2
.
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂ϕ2
(5.62)
(5.63)
52
Postać powyższego równania pozwala na faktoryzację funkcji G na część radialną
F i kątową Φ
GH (ρ, ϕ) = F (ρ)Φ(ϕ).
Po podstawieniu do (5.63) otrzymamy dwa niezależne równania
ρ d
dF
2
c =
ρ
+ ρ 2 b2 ,
F dρ
dρ
2
1dΦ
c2 = −
,
Φ dϕ2
gdzie c2 jest stałą separacji. Pierwsze równanie po uporządkowaniu
(5.64)
(5.65)
d2 F
dF
2 2
2
F =0
(5.66)
+
b
ρ
−
c
+
ρ
dρ2
dρ
to równanie Bessela. Rozwiązaniami powyższego są tzw. funkcje Hankela pierwszego i drugiego rodzaju
ρ2
Hc(1) = Jc (ρb) + iYc (ρb),
Hc(2) = Jc (ρb) − iYc (ρb).
(5.67)
Funkcja Jc (ρb) to funkcja Bessela pierwszego rodzaju, a Yc (ρb) to funkcja Bessela
drugiego rodzaju. Ponieważ będą interesowały nas oba rozwiązania to zapiszemy je
w ogólniejszej postaci
Hc± = Jc (ρb) ± iYc (ρb).
(5.68)
Drugie z równań (5.65) to równanie oscylatora harmonicznego i możemy od razu
zapisać jego rozwiązanie
Φ(ϕ) = C1 cos (cϕ) + C2 sin (cϕ) ,
(5.69)
przy czym C1 i C2 to pewne stałe. Ponieważ musi ono być periodyczne z okresem
2π to wynika stąd, że c musi należeć do zbioru liczb całkowitych. Zatem postać
szczególna funkcji Greena w tym przypadku to
GH (ρ, ϕ) = [Jc (ρb) ± iYc (ρb)] [C1 cos (cϕ) + C2 sin (cϕ)] .
(5.70)
Oczywiście my szukamy rozwiązania problemu niejednorodnego (5.56). Otrzymujemy je wykorzystując warunki radiacyjne Sommerfelda [34] w dwóch wymiarach
nałożone na funkcję GH
∂GH
√
− iκGH = 0.
(5.71)
lim ρ
ρ→∞
∂ρ
Dodatkowo asymptotyczna postać każdego radiacyjnego rozwiązania równania
Helmholtza w dwóch wymiarach, a tylko takie nas interesuje, musi się dać przedstawić jako [35, 36]
eikρ
1
u(ρ) = √
u∞ (ρ̂) + O √
, ρ → ∞,
(5.72)
ρ
ρ
53
tj. fala propagująca się od miejsca rozproszenia jednorodnie we wszystkich kierunkach ρ̂ = ρ/ρ, przy czym funkcja u∞ to tzw. funkcja dalekiego pola [37], far field
(2)
pattern. Spośród dwóch możliwych funkcji (5.67) odrzucamy H0 , które przedstawia fale propagującą się w kierunku jonu. Prowadzi nas to do rozwiązania ogólnego
w postaci [34]
Z Z
i ∞ ∞
(1)
0
0
δ(ξ, η)H0 (κ%)dξ dη,
(5.73)
GH (x − x , y − y ) =
4 −∞ −∞
p
gdzie % = (x − x0 − ξ)2 + (y − y 0 − η)2 , a δ(ξ, η) jest deltą Diraca. Po scałkowaniu i skorzystaniu z (5.61) w ostateczności otrzymamy wynik poszukiwanej całki
Z iκ·4ρ
e
(1)
−
d2 κ = iπ 2 H0 (κa) = iπ 2 [J0 (aκ) + iY0 (aκ)] ,
(5.74)
κ2 − b2
gdzie a = |ρ − ρ0 |.
Wróćmy jeszcze na chwilę do równania (5.55). Granice całkowania w całce po
kącie możemy tak zmienić, aby obejmowała zakres kąta 2π, ale w innym przedziale
np. od −π/2 do 3/2π. W tym przedziale całkę możemy przepisać jako sumę dwóch
całek
Z
−I =
π
2
− π2
Z
0
∞
eiκ|4ρ| cos ϕ
κ dκ dϕ +
κ2 − b2
Z
π
2
− π2
Z
0
∞
e−iκ|4ρ| cos ϕ
κ dκ dϕ.
κ2 − b2
(5.75)
Jeżeli podstawimy π2 − t = ϕ oraz a = |4ρ| i bx = κ, gdzie b jest takie samo jak
w (5.55), to uprościmy całość do
Z
0
π
∞
Z π Z ∞ −iabx sin t
Z πZ ∞
eiabx sin t
e
cos(abx sin t)
x
dx
dt+
x
dx
dt
=
2
x dx dt.
x2 − 1
x2 − 1
x2 − 1
0
0
0
0
0
(5.76)
Całkowanie po t jest trywialne i daje nam
Z ∞
J0 (abx)
x dx.
(5.77)
2π
x2 − 1
0
Z
Teraz skorzystamy z następującej relacji [38]
Z
2n Γ(n + 1) ∞ Jm (kx)xm+1
Km−n (kt) =
dx,
k n tm−n
(x2 + t2 )n+1
0
(5.78)
gdzie K(x) to modyfikowana funkcja Besssel’a pierwszego rodzaju. Porównując
ze sobą oba wzory dostaniemy n = 0, m = 0 oraz t = ±i gdzie i2 = −1, zatem
Z
−2π
0
∞
J0 (abx)
x dx = −2πK0 (±iab) = iπ 2 [J0 (ab) ∓ iY0 (ab)] .
x2 − 1
(5.79)
54
Ponieważ spełnione muszą być warunki (5.71) i (5.72) to pozostawiamy tylko
rozwiązanie w postaci funkcji Hankela pierwszego rodzaju. Wyniki ten jest identyczny z tym otrzymanym z rozwiązania równania Helmholtza w dwóch wymiarach.
Przejdziemy teraz do wyznaczenia pełnej funkcji Greena (5.55). Wykorzystamy
następujące przybliżenia funkcji Bessela [39] dla odpowiednio dużych argumentów
r
2
π
cos x −
,
J0 (x) =
πx
4
r
(5.80)
2
π
Y0 (x) =
sin x −
.
πx
4
Podstawiając do (5.79) otrzymamy
r
r
π
2
2 i(ab− 3 π)
(5.81)
4
I = iπ 2
ei(ab− 4 ) = −π 2
e
.
πab
πab
Ponieważ b jest wektorem falowym w płaszczyźnie warstwy, to możemy zapisać, że b = κτ natomiast a = |ρ − ρ0 | . Wykorzystamy dodatkowo następujące
przybliżenia
1
ρ · ρ0
0 −1
|ρ − ρ | '
1+ 2
,
ρ
ρ
(5.82)
0
0
κτ |ρ − ρ | = κτ ρ − κτ ρ .
Tutaj przez κτ oznaczyliśmy wektor falowy, dla którego |κτ | = κτ i ma ten sam
kierunek co ρ̂ tj. od miejsca emisji rozproszonego elektronu do „detektora” [40].
Dzięki temu zabiegowi [41, 42]
π 3/2
0
(1 + i)eiκτ ρ e−iκτ ρ
I=√
κτ ρ
(5.83)
oraz udało nam się oddzielić zmienne primowane od nieprimowanych, co okaże
się istotne przy wyznaczaniu różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie. Po
podstawieniu do (5.55) otrzymamy ostatecznie
3/2
τF
τπ
τπ 0
π
1 X
0
sin
(z + zj ) sin
(z + zj ) √
(1 + i)eiκτ ρ e−iκτ ρ .
G(r, r ) = 2
2π Lz τ =1
Lz
Lz
κτ ρ
(5.84)
Równanie (5.10) na rozproszoną funkcję falową dla naszego konkretnego przypadku rozpraszania elektronów na domieszkach w cienkiej warstwie będzie wyglądało
następująco
0
τF
2m (1 + i) X
eiκτ ρ
τπ
ψ (r) = φ(r) + 2 √
sin
(z + zj )
√
Lz
h̄ 2 πLz τ =1 κτ ρ
Z
τπ 0
0
0
± 0
× V (r )ψ (r ) sin
(z + zj ) e−iκτ ρ d3 r 0 .
Lz
±
(5.85)
5.3
55
Amplituda rozpraszania
Równanie (5.85) możemy przepisać w ogólniejszej postaci dokonując przy okazji
przegrupowania symboli. Ponieważ nasze rozwiązanie zawiera po części elementy
teorii rozpraszania w dwóch i trzech wymiarach, to wybór zapisu zależeć będzie od
tego, na które elementy teorii chcemy zwrócić szczególną uwagę. My skupimy się na
elementach teorii w trzech wymiarach, dlatego zapiszemy, że
±
ψ (r) = φ(r) +
nF
X
ψsc,n0 = φ(r) +
n0 =1
nF
X
r
n0 =1
0
2 eiκ ρ
√
sin
V
Lz ρ
n0 π
(z + zj ) Λn,n0 (k, k0 ),
Lz
(5.86)
gdzie
r
n0 π 0
0 0
(z + zj ) e−iκ ρ dr 0 .
V (r )ψ (r )
Lz
(5.87)
0
0
0
Tutaj Λn,n0 (k, k ) jest amplitudą rozpraszania ze stanu k do k (n i n numerują płaty powierzchni Fermiego), a jej postać jest analogiczna do tej dwuwymiarowej. Jej moduł w kwadracie to różniczkowa droga rozpraszania, analogiczna do
różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie w trzech wymiarach [41]. Symbole przegrupowaliśmy w taki sposób, aby wymiar odpowiadał temu drugiemu. W
dalszych rachunkach okaże się, że tak zdefiniowana amplituda rozpraszania nie jest
nam potrzebna, ponieważ interesować nas będzie jedynie zawarty w niej element
macierzowy. Dlatego |Λ|2 będziemy interpretować jako różniczkowy przekrój czynny
na rozpraszanie, natomiast naszą amplitudę rozpraszania zdefiniujemy jako
2m V
(1+i)
Λn,n0 (k, k ) = 2
h̄ 4π
0
r
π
Lz κ0
Z
fn,n0 (k, k0 ) =
0
±
0
2
sin
V
2m V
hψk0 |V (r)|ψk i,
h̄2 4π
(5.88)
stąd
(1 + i) 1
√ fn,n0 (k, k0 ).
Λn,n0 (k, k0 ) = √
2 πLz κ0
(5.89)
Z takich samych powodów nie będzie nam potrzebny różniczkowy przekrój czynny
na rozpraszanie zdefiniowany w (5.36). Odpowiednio zmodyfikowana definicja świetnie nadaje się także do układów dwuwymiarowych, ponieważ w obu przypadkach
rozpatrujemy fale płaskie. Problem pojawia się, gdy funkcje falowe opisują stan
związany, co pokazaliśmy w dodatku. Zauważyć można, że rozwiązanie stricte dwuwymiarowe odniesione do grubszej warstwy będzie dawało niedokładne wyniki [43],
ponieważ dla coraz grubszych warstw liczba możliwych przejść pomiędzy płatami
znacznie wzrasta. Przypadek 2D będzie uwzględniał jedynie rozproszenia w stanie
podstawowym n = 1 → n0 = 1, ponieważ płaty Fermiego o wyższych wskaźnikach
w tym przypadku nie istnieją.
Zobaczmy jak wyglądać będzie amplituda rozpraszania. W pierwszym przybliżeniu Borna możemy przyjąć za ψ ± (r 0 ) funkcję identyczną jak funkcja fali padającej
56
φ(r)
r
±
0
ψ (r ) =
2 iκ·ρ0
e
sin
V
nπ 0
(z + zj ) .
Lz
(5.90)
W takim wypadku wyrażenie całkowe w równaniu (5.85) możemy zapisać jako
2
V
Z
V (r )e
0
iκ·ρ0
sin
0
nπ 0
nπ 0
0 0
(z + zj ) sin
(z + zj ) e−iκ ρ dr 0 .
Lz
Lz
(5.91)
Korzystając ze wzorów Eulera iloczyn sinusów można przedstawić jako
0
nπ 0
nπ 0
sin
(z + zj ) sin
(z + zj )
Lz
Lz
n0 π 0
nπ
n0 π
0
0
1 nπ 0
= − ei Lz (z +zj ) − e−i Lz (z +zj ) ei Lz (z +zj ) − e−i Lz (z +zj )
4
π
π
0 π
0
0
0
0
0
1 i(n+n0 ) Lπ (z0 +zj )
z
+ e−i(n+n ) Lz (z +zj ) − ei(n −n) Lz (z +zj ) − e−i(n −n) Lz (z +zj )
=− e
4
(5.92)
i po podstawieniu otrzymamy
1
−
2V
Z 0
π
0
0
π
0
0
π
0
π
0
0
ei(n+n ) Lz (z +zj ) + e−i(n+n ) Lz (z +zj ) − ei(n −n) Lz (z +zj ) − e−i(n −n) Lz (z +zj )
0
0
× V (r 0 )ei(κ−κ )·ρ dr 0 .
(5.93)
Powyższe to nic innego jak cztery transformaty Fouriera potencjału V (r ). Jeżeli
za potencjał przyjmiemy potencjał Yukawy [40], to po rozdzieleniu całki na sumę
czterech całek otrzymamy
0
i(n+n0 ) Lπ zj
e
z
−i(n+n0 ) Lπ zj
e
Z
Z
z
e
i(n−n0 ) Lπ zj
Z
z
π
0
i(n+n0 ) Lπ z 0 i(κ−κ0 )·ρ0
z
V (r )e
0
e
4πV0 ei(n+n ) Lz zj
dr = −
2 ,
π
2
0
λ + 4κ + Lz (n + n )ẑ
0
0
V (r )e
0
−i(n+n0 ) Lπ z 0 i(κ−κ0 )·ρ0
z
e
π
0
i(n−n0 ) Lπ z 0 i(κ−κ0 )·ρ0
z
V (r )e
0
e
π
4πV0 e−i(n+n ) Lz zj
dr = −
2 ,
π
0
2
λ + 4κ − Lz (n + n )ẑ
0
4πV0 ei(n−n ) Lz zj
dr = −
2 ,
π
2
0
λ + 4κ + Lz (n − n )ẑ
0
0
π
4πV0 e−i(n−n ) Lz zj
z
e
V (r )e
e
dr = −
2 ,
λ2 + 4κ − Lπz (n − n0 )ẑ
(5.94)
gdzie 4κ = κ − κ0 , λ - stała ekranowania potencjału, ẑ - wersor w kierunku osi
z. Sumę powyższych całek można jeszcze uprościć korzystając z prostej zależności
pomiędzy wektorami.
−i(n−n0 ) Lπ zj
Z
0
−i(n−n0 ) Lπ z 0 i(κ−κ0 )·ρ0
z
0
57
(n ± n0 ) Lπz ẑ
4κ
−(n ± n0 ) Lπz ẑ
Rys. 5.1: Graficzne przedstawienie równości 5.95.
Z rysunku 5.1 widać, że
2 π
0
4κ + (n + n )ẑ = 4κ −
Lz
2 4κ + π (n − n0 )ẑ = 4κ −
Lz
2
π
0
(n + n )ẑ ,
Lz
2
π
0
(n − n )ẑ ,
Lz
(5.95)
dzięki czemu uprościmy całość do
0
nπ 0
nπ 0
0 0
V (r )e
sin
(z + zj ) sin
(z + zj ) e−iκ ρ dr 0
Lz
Lz


0 π
0 π
z
z
cos
(n
+
n
)
cos
(n
−
n
)
Lz j
Lz j
4πV0 
.
+
=
V
λ2 + K+2
λ2 + K−2
2
V
Z
0
iκ·ρ0
(5.96)
π
π
0
0
gdzie K+ = 4κ + Lz (n + n )ẑ , a K− = 4κ + Lz (n − n )ẑ . Zatem f będzie
się wyrażało poprzez sumę takich dwóch potencjałów w przestrzeni odwrotnej. Jeżeli teraz przez θ oznaczymy kąt pomiędzy wektorem k = κ ± πn
ẑ a wektorem
Lz
πn0
0
0
0
k = κ ± Lz ẑ i ich normy będą sobie równe |k| = |k | to
|k − k0 |2 = |k|2 + |k0 |2 − 2|k||k0 | cos (6 (k, k0 ))
θ
2
2
2
2
= 2k − 2k cos (θ) = 4k sin
,
2
(5.97)
58
przy czym kąt θ możemy wybrać na dwa sposoby zgodnie z tym co zapisaliśmy
w (5.95). Stąd amplituda rozpraszania wynosi

fn,n0 (k, k0 ) =
2m V
2m
hψk0 |V (r)|ψk i = 2 V0 
2
h̄ 4π
h̄
cos (n + n0 ) Lπz zj
λ2 + K+2

cos (n − n0 ) Lπz zj

+
λ2 + K−2
(5.98)
5.4
Opór właściwy cienkiej warstwy
Do opisu procesu rozpraszania elektronów na domieszkach skorzystamy ze złotej
reguły Fermiego, według której prawdopodobieństwo przejścia ze stanu k do stanu
k0 równe jest
2π
|hψk0 |V (r)|ψk i|2 δ(ε)V ni ,
(5.99)
h̄
gdzie ni - koncentracja domieszek na jednostkę objętości, V - objętość próbki.
Iloczyn V ni uwzględnia rozpraszanie od wszystkich domieszek jednego rodzaju znajdujących się w próbce. Taki opis implikuje także, że rozpraszanie na pojedynczym
jonie jest niezależne od historii elektronu. Teraz dzięki (5.88) otrzymamy
ωk→k0 =
2
2
2π
h̄ 4π
0 2
δ(ε)V ni .
ωk→k0 =
|fn,n0 (k, k )|
h̄
2m V
Podstawiając do całki zderzeń
X
ωk0 →k [f F D (r, k0 , t) − f F D (r, k, t)],
I[f ] =
(5.100)
(5.101)
k0
gdzie f F D (r, k, t) - funkcja rozkładu Fermiego-Diraca. Pamiętając, że w stanie
ustalonym prawdopodobieństwo przejścia ωk→k0 jest takie samo jak ωk0 →k , dostaniemy [17]
2π
I[f ] =
h̄
3
=
h̄2 4π
2m V
2πh̄ ni
m2 Lz
2
XZ
V ni
X
|fn,n0 (k, k0 )|2 δ(ε − ε0 )(fkF0 D − fkF D )
k0
|fn,n0 (k, k0 )|2 δ(ε − ε0 )(fkF0 D − fkF D ) dk0
(5.102)
n0
ZZ
2πh̄3 ni X
=
|fn,n0 (k, k0 )|2 δ(ε − ε0 )(fkF0 D − fkF D ) κ0 dκ0 dϕ0 .
m2 Lz n0
Zrobimy teraz następujące podstawienie:
h̄2 2
ε=
(κ + kz2 )
2m
h̄2
dε =
2κ dκ
2m
r
⇒
⇒
2m
ε − kz2 ,
h̄2
m
κdκ = 2 dε ,
h̄
κ=
(5.103)
59
stąd
ZZ
2πh̄ni X
I[f ] =
|fn,n0 (k, k0 )|2 δ(ε − ε0 )(fkF0 D − fkF D ) dε0 dϕ0
mLz n0
Z
2πh̄ni X
|fn,n0 (k, k0 )|2 (fkF0 D − fkF D ) dϕ0 .
=
mLz n0
(5.104)
Całkowanie po energii wymusza na nas jedynie, aby |k| = |k0 |. W obecności zewnętrznego pola elektrycznego funkcja rozkładu może być wyrażona poprzez
fkF D = f0F D + v · Eφ(ε), gdzie φ zostanie określona później. Mamy teraz
XZ
2πh̄ni
I[f ] =
φ(ε)
(v 0 · E − v · E) |fn,n0 (k, k0 )|2 dϕ0
mLz
n0
(5.105)
2
XZ
2πh̄ ni
0
0 2
0
=
φ(ε)
(k − k) · E |fn,n0 (k, k )| dϕ .
m2 Lz
n0
Ze względu na symetrię w płaszczyźnie warstwy możemy przyjąć, że oś x skierowana jest zgodnie z wektorem pola elektrycznego, który leży w płaszczyźnie warstwy.
Kąty jakie tworzy on z wektorem k oznaczymy jako ϕE oraz θE . Wtedy
X
2πh̄2 ni
φ(ε)kE
I[f ] =
m2 Lz
n0
Z X
2πh̄2 ni
= − 2 φ(ε) k · E
m Lz
n0
sin θ cos(ϕ ) − sin θE cos(ϕE ) |fn,n0 (k, k0 )|2 dϕ0
0
0
Z sin θ0 cos(ϕ0 )
|fn,n0 (k, k0 )|2 dϕ0 .
1−
sin θE cos(ϕE )
(5.106)
Możemy zdefiniować tzw. transportowy przekrój czynny [17] jako
XZ sin θ0 cos(ϕ0 )
σtr (k) =
1−
|fn,n0 (k, k0 )|2 dϕ0 .
sin θE cos(ϕE )
n0
(5.107)
Nasz układ jest symetryczny w płaszczyźnie warstwy, dlatego oczekiwalibyśmy,
aby przekrój czynny nie zależał od kierunku, z którego nadchodzi elektron. Jeżeli
przyjrzymy się powyższej definicji, to zauważymy, że posiada ona jednak punkty osobliwe w miejscach gdzie cos(ϕE ) jest równe zeru, co kłóci się ze zdrowym rozsądkiem.
Jedną z metod jest przeprowadzenie rachunków dla takich kątów, które spełniają
warunek |ϕE − ϕ0 | > , gdzie jest pewną nieskończenie małą stałą większą od
zera [18]. Oczywiście powstaje kłopotliwe pytanie, jak małe powinno być . Analiza
powyższego przekroju pokazuje, że poza punktami osobliwymi jest on niemalże stały
w całej dziedzinie. Dzięki temu możemy np. położyć ϕE = 0, co znacznie upraszcza
dalsze postępowanie i jest zgodne z naszym wcześniejszym rozumowaniem, dlatego
XZ κF,n0
0
σtr (k) =
1−
cos(ϕ ) |fn,n0 (k, k0 )|2 dϕ0 .
(5.108)
κ
F,n
0
n
60
Przypomnijmy teraz równanie Boltzmanna
∂f F D (r, p, t)
p
+
· ∇r f F D (r, p, t) + F · ∇p f F D (r, p, t) = [I].
∂t
m
(5.109)
W stanie ustalonym ∂f F D /∂t = 0. Jeżeli nie ma różnic w koncentracji ładunków, to także ∇r f F D = 0 i przyjmując F = −eE, gdzie E jest natężeniem pola
elektrycznego, otrzymamy
−eE · ∇p f F D (r, p, t) = −
2πh̄2 ni
φ(ε)k · E σtr .
m2 Lz
(5.110)
Skorzystamy teraz z (5.103) oraz z
∂f
∂f ∂ε ∂κ
∂f h̄2 kx
=
=
κ
∂kx
∂ε ∂κ ∂kx
∂ε m κ
(5.111)
co doprowadzi nas do
2πh̄2 ni
e ∂f F D h̄2
E·κ=
φ(ε)k · E σtr .
(5.112)
h̄ ∂ε m
m2 Lz
ponieważ dla E leżącego w płaszczyźnie warstwy k · E = κ · E. Po uproszczeniu
zostaniemy z
mLz ∂f F D
,
(5.113)
2πh̄ni σtr ∂ε
gdzie σtr jest wyznaczonym wcześniej transportowym przekrojem czynnym. Z
ogólnych rozważań nad równaniem Boltzmanna oraz faktu, że f F D = f0F D +v·Eφ(ε)
wynika, że
φ(ε) = e
∂f F D
,
(5.114)
∂ε
gdzie τtr jest transportowym czasem relaksacji. Zatem czas ten musi być równy
φ(ε) = eτtr
mLz
.
(5.115)
2πh̄ni σtr
W pierwszym przybliżeniu możemy przyjąć, że w cienkiej warstwie - podobnie
jak w metalu litym - przewodnictwo właściwe będzie się wyrażało tak samo
τtr =
ne2 τtr
,
(5.116)
m
gdzie τtr jest pewnym czasem relaksacji zależnym od rozpatrywanego mechanizmu rozpraszania. Wydaje się, że jest to ryzykowne założenie, ponieważ metal lity
jest izotropowy i stąd tensor przewodnictwa właściwego w gruncie rzeczy nie zależy od wybranego kierunku, co nie jest prawdą dla cienkiej warstwy. Okazuje się
σ=
61
jednak, że w pewnym szczególnym przypadku wzór jest taki sam, co można łatwo
udowodnić. Zapiszemy nieco ogólniej, że
Z
e2
∂f F D
σα,β = 3 τtr (k)
vα vβ dk
2π
∂ε
ZZ
e2 X
∂f F D
vα vβ κ dκ dϕ
= 2
τtr (k)
(5.117)
2π Lz n
∂ε
X ZZ
e2
∂f F D
= 2
kα kβ dε dϕ.
τtr (ε)
2π Lz me n
∂ε
Oczywiście nas interesuje jedynie transport elektronów w płaszczyźnie x-y z polem elektrycznym w kierunku osi x. Taka geometria sprawia, że opis matematyczny
jest bardzo podobny do opisu w dwóch wymiarach dla ustalonego n numerującego
stany w studni kwantowej. W ten właśnie sposób postaramy się opisać poszukiwany
tensor. Wychodząc z założenia, że przy ustalonym n jest to transport dwuwymiarowy, wtedy
Z
∂f F D 1 2
e2 X
τtr (ε)
κ (ε) dε.
σx,x =
(5.118)
πLz m n
∂ε 2 n
Zakładając, że pochodna funkcji rozkładu zachowuje się jak delta Diraca w okolicy poziomu Fermiego (dla T = 0 K), to w wyniku całkowania po energii otrzymamy
σx,x
e2 X
1 2
ne e2 τtr (εF )
=
τtr (εF ) κF,n =
,
πLz m n
2
m
(5.119)
gdzie: ne - koncentracja elektronów. Zanim przejdziemy dalej musimy dokładnie przyjrzeć się temu rozwiązaniu. W metalach litych z oczywistych względów nie
ma znaczenia, który ze stanów na poziomie Fermiego zostanie wybrany, ponieważ
czas relaksacji jest dla nich wszystkich taki sam. Tutaj nie ma to miejsca. Przypominamy, że transportowy przekrój czynny nie zależy od kąta padania elektronu
i wybraliśmy najprostszy możliwy przypadek kiedy φE = 0, dlatego wektor falowy
leży w płaszczyźnie x-z. Z tego względu dla każdego z możliwych dostępnych płatów
możliwy jest tylko jeden stan numerowany liczbą n, których w sumie jest nF i dla
każdego z nich czas relaksacji będzie inny. Musimy przez to wprowadzić uśredniony
czas relaksacji, który zdefiniujemy jako
2πh̄ni hσtr i
1
=
.
hτtr i
mLz
(5.120)
Wykorzystując to, co napisaliśmy wcześniej, możemy stwierdzić, że elektryczny
opór właściwy cienkiej warstwy spowodowany obecnością domieszek dany jest wzorem
ρx,x =
m 2πh̄ni hσtr i
ni 2πh̄
=
hσtr i.
2
ne e
mLz
ne e2 Lz
(5.121)
5.5
62
Wpływ rozmieszczenia domieszek
Amplituda rozpraszania (5.98) zależy od współrzędnej położenia jonu domieszki
zj . Z tego względu, aby określić opór elektryczny materiału jako całości musimy
wprowadzić dwukrotnie uśredniony czas relaksacji, który zdefiniujemy jako
1
2πh̄ni hhσtr ii
=
,
hhτtr ii
mLz
(5.122)
gdzie hhσtr ii jest uśrednionym ze względu na zj i n przekrojem czynnym. Przekrój ten zależał będzie oczywiście od amplitudy rozpraszania w kwadracie, dlatego
uśrednianie sprowadza się do policzenia
R Lz
|fn,n0 (k, k0 )|2 g(zj ) dzj
.
(5.123)
h|fn,n0 (k, k0 )|2 i = 0
R Lz
g(z
)dz
j
j
0
Wprowadziliśmy tutaj funkcję g(zj ), która określa rozkład prawdopodobieństwa
znalezienia domieszki w punkcie zj . Zrobiliśmy to, ponieważ dane eksperymentalne pokazują, że w cienkich warstwach domieszki migrują ku powierzchni [9], co
uwzględnia właśnie funkcja g. Dla uproszczenia rachunków przyjmiemy, że
g(zj ) = 1,
(5.124)
tzn. jony domieszki są jednorodnie rozmieszczone w całej objętości preparatu.
W takim wypadku całość sprowadza się do policzenia następujących całek
Z
Lz
0
1
"
#
sin 2π(n ± n0 )
Lz
1
du =
+1 ,
2
2 (λ2 + K±2 )2
2π(n ± n0 )
(λ2 + K±2 )
Z 1
cos (n + n0 )πu cos (n − n0 )πu
Lz
du = 0.
2
2
(λ2 + K+2 ) (λ2 + K−2 )
0
cos2 (n ± n0 )πu
(5.125)
W takim wypadku otrzymamy
0
2
0
2
2m
V0
h̄2
2
1
,
(λ2 + |4κ|2 )2
#
2 "
1
2m
1
1
=
V0
+
.
2 (λ2 + K+2 )2 (λ2 + K−2 )2
h̄2
h|fn,n0 (k, k )| in=n0 =
h|fn,n0 (k, k )| in6=n0
(5.126)
Wynik ten pokazuje nam, że przejścia pomiędzy różnymi stanami n i n0 należącymi do różnych płatów Fermiego (n 6= n0 ) dają podobny wkład do amplitudy rozpraszania, co przejścia zachodzące tylko w ramach jednego płata Fermiego (n = n0 ).
Jeszcze innym bardziej realistycznym podejściem do problemu jest założenie, że
atomy domieszki zastępują w sieci krystalicznej atomy pierwiastka macierzystego.
Jest to tzw. domieszkowanie podstawieniowe. Domieszki substytucyjne tworzą niemal wszystkie atomy z wyjątkiem kilku o najniższych liczbach atomowych np. H,
63
B, C, N i O, które są domieszkami międzywęzłowymi. W takim wypadku położenie
obcego atomu jest wielkością dyskretną, którą możemy łatwo określić
1
Lz
i−
, gdzie i ∈ [1, NL ],
(5.127)
zj,i =
NL
2
oraz NL - liczba warstw. Na przykład w monowarstwie mamy tylko jedno
zj = 0.5Lz , podczas gdy w warstwie o grubości pięciu monowarstw zj może przyjmować wartości 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 oraz 0.9 Lz . Uśrednianie będzie przebiegało jak
poprzednio z tym, że teraz całkę zastąpimy sumą
Nl
P
0
2
h|fn,n0 (k, k )| i =
|fn,n0 (k, k0 , zj,i )|2 g(zj,i )
i=1
Nl
P
.
(5.128)
g(zj,i )
i=1
Również i tym razem założymy, że prawdopodobieństwo obsadzenia przez domieszkę dowolnej pozycji określonej wzorem (5.127) jest takie samo w całej objętości materiału. Musimy policzyć sumy analogicznie do całek (5.125) przy czym
skorzystamy tutaj z dwóch prostych wyników
M
X
i=1
M
X
i=1
sin (2ai) = sin (a(M + 1))
sin (aM )
,
sin (a)
(5.129)
sin (aM )
cos (2ai) = cos (a(M + 1))
.
sin (a)
Kiedy a zbliża się do kπ, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, wtedy
sin(M a)
= (−1)M −1 M.
sin(a)
(5.130)
Wykorzystując powyższe możemy z łatwością policzyć sumy
NL
X
1
cos a± i −
=
2
i=1
NL
X
1
1
cos a− i −
=
cos a+ i −
2
2
i=1
1 sin(a± NL )
cos(a± NL ) + NL ,
2
sin(a± )
1 sin(bNL )
sin(cNL )
cos(bNl ) +
cos(cNl ) ,
2
sin(b)
sin(c)
(5.131)
0
z c = nπ/NL , b = n π/NL oraz a± = c ± b.
2
5.6
64
Wyniki
Obliczymy teraz stosunek oporu właściwego otrzymanego w podrozdziale 5.4,
danego równaniem (5.121) i uśrednionego w sposób opisany powyżej hρimp i, do oporu
właściwego materiału litego ρB
imp z tą samą koncentracją domieszek. Dla materiału
litego
ρB
imp
B
m
ni π 2 h̄3 S B (εF )σtr
,
=
=
ne
e2 m
ne e2 τtrB
(5.132)
przy czym skorzystaliśmy tutaj [17] z
τtrB =
1
m2
,
B 2 3 B
ni σtr
π h̄ S (εF )
(5.133)
gdzie oznaczenia odnoszą się do materiału litego: S B (εF ) to gęstość stanów na
B
poziomie Fermiego, σtr
jest transportowym przekrojem czynnym, a τtrB jest transportowym czasem relaksacji.
1.6
1.4
hρimp i/ρB
imp
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
NL
Rys. 5.2: Wykres stosunku uśrednionego oporu cienkiej warstwy hρimp i do oporu
materiału litego ρB
imp dla pierwiastka Zn rozpuszczonego w matrycy Ag jako funkcja liczby monowarstw NL . Symbole ··•·· oznaczają dyskretne położenia jonów zj ,
natomiast
- ciągłe.
Analogicznie opór właściwy cienkiej warstwy wynikający z rozpraszania na domieszkach, zgodnie z (5.121) równy jest
ni 2πh̄
ni π 2 h̄3 S(εF )σtr
hρimp i =
σtr = 2
.
ne e2 Lz
ne
e2 mnF
(5.134)
65
Tutaj oznaczenia są takie same jak wcześniej z tym, że odnoszą się do cienkiej
warstwy. W równaniu (5.134) wykorzystaliśmy wzór (1.7), otrzymany w rozdziale
1.1, kładąc n = nF . Poszukiwany stosunek oporów właściwych ma postać
2 S(εF ) σtr
hρimp i
=
B
B
nF S B (εF ) σtr
ρimp
(5.135)
i jest przedstawiony na Rys.5.2. Widoczne jest, że opór cienkiej warstwy spowodowany obecnością domieszek zmierza do wartości otrzymanej dla materiału litego
wraz ze wzrostem liczby monowarstw NL , co jest fizycznie spodziewane. Końcowy
wynik nie zależy od ilości atomów wtrąceń pod warunkiem, że jest ich nie więcej
niż kilka procent. W naszych obliczeniach nie ograniczyliśmy się tylko do przejść
wewnątrz płata Fermiego n = n0 , ale uwzględniliśmy rozproszenia pomiędzy wszystkimi dostępnymi stanami elektronowymi.
Wpływ domieszek na transport elektronów w cienkich warstwach został także
uwzględniony przez Trivedi i Ashcrofta [9] oraz Sandomirskii’ego [8], ale różnią się
one od powyższego diametralnie. W naszym modelu, jak i u poprzednich autorów,
decydujący jest wpływ elementu macierzowego określającego prawdopodobieństwo
rozproszenia elektronów, natomiast opór właściwy zależy od gęstości stanów tylko
pośrednio. Oczywiście pojawia się ona w równaniu (5.134), lecz podzielona przez
nF jest wielkością zależną jedynie od grubości warstwy. Wynik ten nie jest zgodny
ze znanym rezultatem w materiale litym (5.132). Ponadto uśredniony ze względu
na rozmieszczenie domieszek opór rośnie do nieskończoności [8, 9, 44] dla warstwy o
grubości jednej warstwy atomowej, podczas gdy według naszych obliczeń powinien
on maleć do wartości około 0.2 ρB
imp . Autorzy założyli w swoich pracach, że koncentracja elektronów w materiale musi maleć wraz ze spadkiem jego grubości, aby
utrzymać stały potencjał chemiczny, a więc opór musi wzrastać do nieskończoności.
Wynika to z równania (1.6). W naszych obliczeniach (podobnie jak [16]) założyliśmy,
że koncentracja elektronów musi pozostać stała, natomiast poziom Fermiego będzie
się zmieniał tak, aby pomieścić wszystkie dostępne elektrony. Uważamy, że teza, że
niezależnie od domieszkowania przewodność pojedynczej warstwy jest równa zero nie
ma uzasadnienia fizycznego. Obserwowany eksperymentalnie wzrost rezystywności
spowodowany jest według nas przez niedoskonałości cienkich warstw, różnego rodzaju defekty sieci (struktura wyspowa, pęknięcia) oraz chropowatość powierzchni.
Wpływ powierzchni i warunków brzegowych potwierdzają prace teoretyczne [45–48]
i eksperymentalne [49, 50]. Jest on na tyle znaczący, że dopóki nie uda się wytworzyć
idealnych, cienkich warstw trudno będzie eksperymentalnie sprawdzić jaki wpływ na
transport mają w nich rozproszenia na domieszkach.
Widzimy także, że rozmieszczenie domieszek w rozważanej nanostrukturze jest
niezwykle istotne. Jeżeli domieszka może zajmować dowolne położenie w profilu
warstwy, z takim samym prawdopodobieństwem, to opór elektryczny będzie malał
wraz z rosnącą grubością warstwy. W każdym razie wpływ domieszek jest niewielki
i efekt ten jest słabo zauważalny już dla warstw o grubości kilku warstw atomowych.
Zupełnie odwrotną zależność obserwujemy kiedy domieszki zajmują konkretne położenia, w tym przypadku zastępują położenia atomów matrycy. Opór rośnie wraz
z grubością i bardzo powoli zmierza do wartości otrzymanej dla materiału litego.
66
7
hρimp i [arb.u.]
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
4Z
Rys. 5.3: Wykres hρimp i (w jednostkach względnych) w zależności od grubości warstwy odpowiednio 1 - , 3 - , 5 - , 7 - . Krzywa ciągła odpowiada oporowi
materiału litego, krzywe przerywane to parabole dopasowane do punktów.
Formuła (5.121) spełnia także relację [51]
ρimp ∝ 4Z 2 ,
(5.136)
gdzie 4Z jest różnicą wartościowości pierwiastka matrycy i atomu domieszki.
Dzieje się tak dzięki (5.98) gdzie 4Z występuje w V0 . Zakładamy, że parametr
ekranowania λ w tym samym wzorze jest stały, niezależny od rodzaju domieszki
i metalu matrycy, ponieważ wiadomo z literatury [22, 52], że parametr ten słabo
zależy od rodzaju metalu
e2 S(εF )
,
(5.137)
ε0
gdzie ε0 jest przenikalnością elektryczną próżni. Można więc przyjąć, że
λ = const. Obliczone zależności ρimp od 4Z są przedstawione na Rys.5.3. Mają
one oczekiwany przebieg paraboliczny i szybko zmierzają do krzywej obrazującej
zależność dla materiału litego.
λ2 =
Podsumowanie
W prezentowanej pracy przedstawiliśmy wyniki pracy nad transportem elektronów w układach metalicznych silnie ograniczonych wymiarowo. Uwzględniliśmy
wpływ drgań termicznych sieci jak i domieszkowania obcymi atomami. Nie uwzględniliśmy wpływu nieregularności powierzchni zewnętrznych, ponieważ zależało nam
na stworzeniu modelu opartego na mechanice kwantowej, a takie czynniki jak chropowatość powierzchni uwzględnia się poprzez wprowadzenie parametrów fenomenologicznych.
Rozpatrując wpływ temperatury wprowadziliśmy dwa modele. Jako pierwszy w
naszych rozważaniach pojawił się model dwuwymiarowy, którym często teoretycy
posługują się jako modelem wystarczającym, dającym zadowalające wyniki jakościowe. Wyniki jakie otrzymaliśmy były zaskakujące, ponieważ opór takiej struktury rósł do nieskończoności w niskich temperaturach, podczas gdy opór metali
litych maleje wraz z temperaturą. Z tego powodu wykonaliśmy rachunki raz jeszcze
tym razem uwzględniając grubość warstwy. Wyniki jakie otrzymaliśmy pokazują, że
przewodnictwo ma charakter oscylacyjny związany ze zmieniającą się gęstością stanów na poziomie Fermiego wraz ze zmianą grubości Lz co powoduje, że opór wzrasta
wraz ze spadkiem grubości. Krzywe oporności od temperatury mają przebieg podobny do tego dla metali litych, ale mają inne nachylenie, które nie pokrywa się z
nachyleniem oporności metalu litego dla grubszych warstw. Uważamy, że wynika to
z wyboru zbyt uproszczonego potencjału rozpraszającego. Pomimo tego uważamy,
że model daje dobre wyniki jakościowe.
Obliczając opór wynikający z rozpraszania na domieszkach posłużyliśmy się równaniem Lippmanna-Schwingera oraz metodą funkcji Greena, aby znaleźć amplitudę
rozpraszania. Aby wyznaczyć opór elektryczny w płaszczyźnie warstwy posłużyliśmy się równaniem Boltzmanna. Nasze wyniki zawierają zarówno elementy charakterystyczne dla teorii rozpraszania w dwóch jak i w trzech wymiarach. Zaproponowaliśmy przy tym nieco inne podejście niż autorzy wcześniejszych prac wspomnianych
w poprzednim rozdziale i założyliśmy stałą koncentrację elektronów, a zmieniający
się z grubością poziom Fermiego. Wynikiem tego jest odmienny rezultat. Opór
wynikający z rozpraszania na atomach wtrącenia maleje wraz z grubością warstwy,
a nie zmierza do nieskończoności co wynikałoby ze spadającej do zera koncentracji
elektronów. W obu przypadkach oporność ma przebieg oscylacyjny, chociaż u nas
przebieg ten jest widoczny tylko dla Lz równego kilku monowarstwom.
Obliczenia transportu nośników ładunku w nanostrukturach metalicznych to bardzo ciekawy temat, który zyskuje na popularności. Z pewnością pracę tę można byłoby rozszerzyć o podobne rachunki w drutach kwantowych z uwzględnieniem pola
magnetycznego, stanu nadprzewodzącego, układów wielowarstwowych itp. Zastosowanie do tych zagadnień pojęcia płatów Fermiego mogłoby prowadzić do ciekawych
wyników.
Dodatek
Różniczkowy przekrój czynny znajdziemy posługując się ogólnym wzorem (5.36),
który wyraża się poprzez stosunek gęstości prądów prawdopodobieństwa fali rozproszonej i padającej. Standardowo za falę padającą i jej sprzężenie przyjmujemy
r
2 iκ·ρ
nπ
e
sin
(z + zj ) ,
ψ(r) =
V
Lz
r
(5.138)
2 −iκ·ρ
nπ
∗
ψ (r) =
e
sin
(z + zj ) .
V
Lz
Dla skrócenia zapisu wprowadziliśmy z 0 = z + zj . Kolejne obliczenia wyglądają
następująco
!
2 iκ·ρ
nπ 0
nπ 0
nπ 0 nπ
e
z , iky sin
z , cos
z
∇ψ(r) =
ikx sin
V
Lz
Lz
Lz
Lz
!
2
nπ
nπ
nπ
nπ
nπ
ψ ∗ (r)∇ψ(r) =
ikx sin2
z 0 , iky sin2
z 0 , cos
z 0 sin
z0
V
Lz
Lz
Lz
Lz
Lz
!
2
nπ 0
nπ 0
∗
2
2
jinc = Im[ψ (r)∇ψ(r)] =
kx sin
z , ky sin
z ,0
V
Lz
Lz
2
nπ 0
2
|jinc | = κ sin
z .
V
Lz
(5.139)
2
)
.
Podobnie
postępujemy
dla
rozproszonej
funkcji
falowej.
gdzie κ = k 2 − ( nπ
Lz
Za rozproszoną funkcję falową i jej sprzężenie przyjmujemy
r
0 0
2 eiκ ρ
nπ 0
√
ψsc (r) =
sin
z λn,n0 (k, k0 ),
V Lz ρ
Lz
r
(5.140)
0 −iκ0 ρ
2 e
nπ 0
∗
∗
0
√
ψsc (r) =
sin
z λn,n0 (k, k ).
V Lz ρ
Lz
r
ROZDZIAŁ 5. DODATEK
69
Tutaj operację różniczkowania wykonamy we współrzędnych walcowych
0 0 0 !
0
0
0
eiκ ρ
eiκ ρ 0 1 eiκ ρ
nπ 0
nπ 0 nπ
√
∇ψsc (r) =
iκ − √
sin
z , 0, √
cos
z
3/2
2 Lz ρ
Lz
Lz
Lz
Lz ρ
Lz ρ
0 0 0 0 !
2
1
1
n
π
1
n
π
nπ 0 nπ
ψ ∗ (r)∇ψ(r) = |Λn,n0 |2
iκ0 −
sin2
z 0 , 0,
cos
z 0 sin
z
2
V
Lz ρ
2Lz ρ
Lz
Lz ρ
Lz
Lz
Lz
!
1 0 2 n0 π 0
2
2
∗
κ sin
z , 0, 0
jsc = Im[ψ (r)∇ψ(r)] = |Λn,n0 |
V
Lz ρ
Lz
0 2
nπ 0
2 1
0
2
|jsc | = |Λn,n0 |
κ sin
z .
V
Lz ρ
Lz
(5.141)
Z rozwiązania (5.86) widać, że fala propaguje się jedynie w płaszczyźnie warstwy, dlatego różniczkowy przekrój czynny będzie przypominał ten dwuwymiarowy.
Kąt w jaki rozprasza się elektron w takim przypadku jest w rzeczywistości kątem
płaskim dϕ. Mimo tego amplituda rozpraszania będzie zależała od kąta θ pomiędzy
wektorami k i k0 :
0
2D 2 sin2 n π (z + zj )
|Λn,n0 |
Lz
dσ
ρ|jsc |
,
=
=
(5.142)
2 nπ
dΩ
|jinc |
κ
sin
(z + z )
r
2
Λn,n0
V
Lz
j
0 1/2
gdzie wprowadziliśmy Λ2D
Λn,n0 . Tutaj widzimy odstępstwa od wzoru
n,n0 = (κ )
dwu i trójwymiarowego, które nie zależą od współrzędnych przestrzennych. Wynika
to z faktu, że w tych przypadkach do opisu elektronu używamy fal płaskich, dla
których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest takie samo w całej przestrzeni.
W przypadku studni kwantowej pojawia się jednak zależność od położenia w kierunku równoległym do ograniczenia wymiaru. Warto także zauważyć, że zmiana
kierunku propagacji w wyniku rozproszenia możliwa jest jedynie w płaszczyźnie
warstwy ponieważ fala nie może propagować się w kierunku osi z. Tutaj następuje
jedynie zmiana poziomu energii, od której zależeć będzie prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy poszczególnymi stanami, co widać w równaniach (5.94). Rozpraszanie
elektronów na domieszkach w takich cienkich warstwach jest zatem bardzo zbliżone
do rozpraszania w dwóch wymiarach i dość łatwo można odtworzyć najważniejsze
wyniki kładąc n oraz n0 równe jedynce
2
|Λ2D
dσ
1,1 |
=
.
dΩ
κ1
(5.143)
Wynik ten jest identyczny z tym otrzymanym dla 2D [42]. Porównanie tego
wzoru ze wzorem (5.37) tłumaczy także różnice pojęciowe w podrozdziale 5.3.
Summary
Electrical conductivity of metallic nanostructures
The subject of this thesis is electrical conductivity of metallic nanostructures.
Our goal was theoretical calculation of electrical conductivity of thin metallic layers
with thickness ranging from one atomic monolayer to about 100 nm within quantum theory of solids. In this work we use the free electron model, which successfully
describes many properties of the solids, for example optical, magnetic, electrical
and thermal ones. It is necessary to use the quantum formalism for description
of phenomena when we go down to atomic scales. We start from the Schrödinger
equation in appropriate form with boundary conditions which depend on the considered problem. The simplest way to describe electrons in thin layers is the particle
in a box model with infinite deep square well potential in the constrained direction.
To describe transport properties in directions parallel to the atomic planes we use
Boltzmann equation in the relaxation time approximation. These are the topics of
the first three chapters.
Following chapters are the main part of this thesis. First we describe the interactions between electrons and lattice thermal vibrations and their influence on the
electrical resistivity. In bulk metals this dependence is given by the Bloch-Grüneisen
formula, which we expect to recover for films of larger thickness. In our first attempt we use a two-dimensional plane as a model for the layer, which is frequently
used. We show that this approach gives results that are very different from those
in bulk metals. Next we use more realistic model where the layer is pictured as a
square well with two dimensions unlimited. The novel feature of this model is the
use of the Fermi sheets in calculations instead of the Fermi sphere. Here resistivity
vs. thickness has an oscillatory behaviour arising from oscillations of the density of
states at the Fermi level. The temperature dependence in thick layers is similar but
not the same as in bulk metals.
Scattering of electrons on the impurities is described by the Lippmann-Schwinger
equation, where we use Green functions technique with appropriate boundary conditions described earlier. We show differences between scattering amplitude used
in our model and those in two and three dimensional models. We introduce transport cross-section and use the Boltzmann equation to derive electrical resistivity
with electrical field vector lying in the plane. The derived dependence of resistivity
on layer thickness differs considerably from those proposed by other authors. The
difference is due to applied model. We assume that the electron concentration is
constant and the Fermi level varies with thickness. On the other hand the other
authors assumed constant chemical potential which caused electron concentration
ROZDZIAŁ 5. SUMMARY
71
to fall rapidly to zero for one atomic layer. Moreover we recover the parabolic dependence of resistivity on the valency difference between matrix and inclusion atoms
well known for bulk materials.
Bibliografia
[1] D.K. Ferry, S.M. Goodnick, Transport in Nanostructures, Cambridge University
Press, Cambridge 1997.
[2] M.A. Stroscio, M.D. Dutta, Phonons in Nanostructures, Cambridge University
Press, New York 2003.
[3] J. Spałek, Wstęp do fizyki materii skondensowanej, PWN, Warszawa 2015.
[4] V. Dzero, K. Sun, V. Galitski, P. Coleman, Physical Review Letters 104, 106408
(2009). doi: 10.1103/PhysRevLett.104.106408
[5] K. Fuchs, Proceedings - Cambridge Philosophical Society 34, 100 (1938).
[6] E.H. Sondheimer, Advances in Physics 1, 1 (1952).
[7] A.F. Mayadas, M. Shatzkes, Physical Review B 1, 4 (1970).
[8] V.B. Sandomirskii, Soviet Physics JETP 25, 1 (1967).
[9] N. Trivedi, N.W. Ashcroft, Physical Review B 38, 17 (1988).
[10] F. Bloch, Zeitschrift für Physik 58, 555 (1929).
[11] F. Bloch, Zeitschrift für Physik 59, 208 (1930).
[12] C.H. Back, Ch. Würsch, A. Vaterlaus, Nature 378, 597 (1995). doi:
10.1038/378597a0
[13] M.H. Rümmeli, J. Zhao, A. Bachmatiuk, Science 343, 1228 (2014). doi:
10.1126/science.1245273
[14] B. J. Spisak, A. Paja, Molecular Physics Reports 40, 144 (2004).
[15] B. J. Spisak, A. Paja, Materials Science – Poland 24, 605 (2006).
[16] T. Balcerzak, Thin Solid Films 500, 341 (2006), doi: 10.1016/j.tsf.2005.11.043
[17] F. Han, A Modern Course in the Quantum Theory of Solids, World Scientific,
London 2013.
[18] J.M. Ziman, Electrons and Phonons - The Theory of Transport Phenomena in
Solids, Oxford University Press, London 1960
72
BIBLIOGRAFIA
73
[19] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Solid State Physics, Saunders College Publishing,
New York 1976.
[20] F.J. Blatt, Fizyka zjawisk elektronowych w metalach i półprzewodnikach, PWN,
Warszawa 1973.
[21] P. Brüesch, Phonons: Theory and Experiments I : Lattice Dynamics and Models
of Interatomic Forces, Springer Verlag, New York 1982.
[22] J.M. Ziman, Wstęp do teorii ciała stałego, PWN, Warszawa 1977.
[23] N. Bock, The Electron-Phonon Interaction in Metals - PhD Thesis, State
University of New York at Buffalo, 2003
<http://www.researchgate.net/publication/35470080_The_electron-phonon_
interaction_in_metals_>
[24] A. Czachor, Drgania atomów w ciele stałym, PWN, Warszawa 1982.
[25] H. R. Glyde, M.G. Smoes, Physical Review B 22, 12, 1980.
[26] A. C. Ehrlich, Physical Review B 8, 3610 (1973).
[27] A. H. Wilson, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
33, 371 (1937).
[28] G. Fischer, H. Hoffman, Solid State Communications 35, 793 (1980).
[29] D. V. Fedorova, P. Zahnb, I. Mertig, Thin Solid Films 473, 346 (2005).
DOI:10.1016/j.tsf.2004.08.015
[30] N.F. Mott, H.S.W. Massey, The Theory of Atomic Collisions, Oxford University
Press, New York 1965.
[31] J. Friedel, Suplemento Al Volume VII, Serie X Del Nuovo Cimento, SorboneParis 1958.
[32] J. Mathews, R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, Addison-Wesley,
New York 1964.
[33] F.W. Byron, E.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej T.2,
PWN, Warszawa 1974.
[34] A.D. Polyanin, Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC, New York 2002.
[35] O. Scherzer, Handbook of Mathematical Methods in Imaging, Springer, Vienna
2011.
[36] R. Pike, P. Sabatier, Scattering and Inverse Scattering in Pure and Applied
Science, Academic Press, London 2002.
[37] D.J. Bem, Anteny i rozchodzenie się fal radiowych, PWN, Warszawa 1973.
BIBLIOGRAFIA
74
[38] P.M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics T.2, McGraw-Hill,
New York 1953.
[39] M. Abramovitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of Standards, New
York 1972.
[40] R. Shankar, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 2006.
[41] I.R. Lapidus, American Journal of Physics 50, 45 (1982).
doi: 10.1119/1.13004
[42] S.K. Adhikari, American Journal of Physics 54, 362 (1986).
doi: 10.1119/1.14623
[43] Q. Lin, American Journal of Physics 65, 10, 1997.
[44] G. Ajoy, V. Devanathan, G. Govindaraj, Physical Review B 28, 12 (1983).
[45] K.M. Leung, Physical Review B 30, 12 (1983).
[46] H. Ishida, Physical Review B 60, 7 (1999).
[47] Z. Tešanović, M.V. Jarić, Physical Review Letters 57, 21 (1986).
[48] H.E. Camblong, P.M. Levy, Physical Review B 60, 23 (1999).
[49] K.L. Chopra, L. C. Bobb, M. H. Francombe, Journal of Applied Physics 34,
1699 (1963), doi: 10.1063/1.1702662
[50] J.S. Agustsson, U.B. Arnalds, A.S. Ingason, K.B. Gylfason, K. Johnsen, S. Olafsson, J.T. Gudmundsson, Journal of Physics: Conference Series 100, (2008),
doi:10.1088/1742-6596/100/8/082006
[51] P. Wilkes, Fizyka ciała stałego dla metaloznawców, PWN, Warszawa 1979
[52] H. Figiel, A. Kołodziejczyk, A. Paja, Wstęp do fizyki metali, część I: A. Paja
- Elektronowa teoria metali, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Kraków 2008.

Przewodnictwo elektryczne nanostruktur metalicznych

Transkrypt

Podobne dokumenty

Obliczenie azymutu i długości ze współrzędnych

moje wyjaśnienie

12. Odcinek koła - Janowscy sc Projektowanie w budownictwie

Podstawowe wzory rachunku całkowego1

Zadania z Algebry z Geometrią Zestaw uzupełniający 1. 1. Dla

Studium Talent. Lista nr 4. Zadanie 24 Znaleźć liczby rzeczywiste x

GAL seria 3, na 4.11.16., para grup nr 1 (prof. Betley, prof

Zestaw do domu nr 6 1) Niech σq : Mq → Mq, σq bj2j := bq−1−j2j, Mq

1. Oblicz kilka początkowych potęg podanych macierzy, a następnie

Zestaw 1. 1. Sprawdzić, że mnożenie Hamiltona