lim lim

AKADEMIA GÓRNICZO – HUTNICZA
WYDZIAŁ IMiR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA ROKU I
ZESTAW VI / SEMESTR II
1 . Wyznaczyć dziedziny podanych niżej funkcji :
a) z =
a 2 − x 2 − y 2 , b) z =
1
xy , c) z =
4 − x2 − y2
y −1
, g) z = x sin y .
x
y
może dążyć do różnych
2 . Wykazać , że dla x → 0 i y → 0 funkcja u =
x−y
wartości liczbowych .Podać przykłady takiego sposobu dążenia punktu (x , y) do
punktu (0 , 0) , dla którego: lim u = 3 , lim u = 2 , lim u = 1 , lim u = 0 , lim u = -2.
3 . Wykazać , że :
sin( xy )
sin( xy )
2 − xy + 4
1
= − , b) lim
= 1 , c) lim
=0 .
a) lim
x
4
xy
( x , y ) →( 0,0) xy
( x , y ) →( 0 , 0 )
( x , y ) →( 0 , 0 )
d) z =
xy
, e) z = x +
y−x
x 2 − y 2 , f) z = arcsin
4 . Narysować obraz geometryczny funkcji :
⎧1, gdyxy > 0
⎪
z = F ( x , y ) = ⎨0, gdyxy = 0
⎪−1, gdyxy < 0
⎩
i pokazać na nim linie nieciągłości funkcji .
5 . Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji :
(
a) z = 5x y − y + 7
2
f) z = arcsin
3
)
3
x2 − y2
, b) z = x y +
, g) z = lntg
x2 + y2
y
3
x
(
, c) z = ln x + x + y
2
2
) , d) z = e
−
x
y
1 − xy
x
sin xyπ
, h) z = 2
, i) z = xye
,
y
1 + xy
2
j) z = x + y − x + y
2
2
w punkcie (3,4) , k) z =
⎛ x + y⎞
x+y
.
1− ⎜
⎟ + arcsin
xy
⎝ xy ⎠
6 . Jaki kąt tworzy z dodatnim kierunkiem osi Oy styczna do krzywej :
z=
1 + x 2 + y 2 , x = 1 w punkcie ( 1 , 1 ,
3) ?
7 . Powierzchnię z = x + 2 x + 3 y − 4 przecięto płaszczyzną y = 1 . Znaleźć równanie krzywej przecięcia i równanie stycznej do krzywej przecięcia w punkcie ,
którego współrzędna x = 1 .
8 . Pod jakim kątem przecinają się krzywe płaskie otrzymane z przecięcia się
y2
x2 + y2
i z=
z płaszczyzną y = 2 ?
powierzchni z = x 2 +
6
3
2