Zmienne Losowe Jednowymiarowe Definicja 1. Niech (Ω ,F,P

Zmienne Losowe Jednowymiarowe
Definicja 1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenia probabilistyczną.
1. Odwzorowanie X : Ω → R nazywamy zmienną losową, o ile ∀A ∈ B(R) : X −1 (A) ∈
F, gdzie B(R) oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich na przestrzeni R.
2. Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach w R nazywamy
rozkład prawdopodobieństwa µX określony na σ-ciele zbiorów borelowskich B(R) zależnością µX (B) = P(X −1 (B)), gdzie B ∈ B(R).
Otrzymujemy w ten sposób nową przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), µX ).
Definicja 2. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX : R → R określoną wzorem FX (t) = P(X ¬ t).
Twierdzenie 1. Dystrybuanta F zmiennej losowej X ma następujące własności:
1. jest funkcją niemalejącą i prawostronnie ciągła
2. lim F (t) = 0, lim F (t) = 1
t→−∞
t→∞
3. P(a ¬ X ¬ b) = F (b) − lim− F (x)
x→a
Definicja 3.
1. Zmienną losową X nazywamy ciągłą, gdy jej dystrybuanta FX jest ciągła.
2. Zmienną losową X nazywamy absolutnie ciągłą, gdy istnieje nieujemna funkcja fX ,
fX : R → R, zwana gęstością, dla której FX (x) =
Rx
−∞
fX (t) dt, x ∈ R.
3. Zmienną losową X nazywamy dyskretną, gdy przyjmuje co najwyżej przeliczalną
liczbę wartości z niezerowym prawdopodobieństwem.
Twierdzenie 2. Gęstość f zmiennej losowej X ma następujące własności:
Z
P(a ¬ X ¬ b) =
f (t)dt = 1,
Zb
f (t)dt,
f (t) = F 0 (t).
a
R
Zadanie 1. Zmienna losowa X ma gęstość:
(
f (x) =
0
C sin(x)
dla x < 0 lub x >
dla 0 ¬ x ¬ π3 .
π
3
(a) Oblicz stałą C.
(b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X.
(c) Oblicz P(− π4 ¬ X < π4 ), P( π6 ¬ X ¬ π4 ).
Zadanie 2. Wyznacz gęstość zmiennej losowej X o dystrybuancie:
F (x) =



0
x2


1
dla x < 0
dla 0 ¬ x ¬ 1
dla x > 1.
1
Zadanie 3. Oblicz prawdopodobieństwa P(X 2 ¬ X), P(X ¬ 2X 2 ), gdzie X jest
zmienną losową posiadającą dystrybuantę:



0
F (x) =  21 x

1
dla x < 0
dla 0 ¬ x ¬ 2
dla x > 2.
Zadanie 4. Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie:



0
dla x < 0
2
F (x) =  ax dla 0 ¬ x < π

1
dla x ­ π
(a) Czy istnieje a, dla którego rozkład tej zmiennej losowej jest ciągły?
(b) Czy istnieje a, dla którego rozkład tej zmiennej losowej jest dyskretny?
(c) Oblicz P( 41 ¬ X < 2π) oraz P( 41 < X < π)
Zadanie 5. Myśliwy ma trzy naboje i strzela do momentu trafienia do celu lub do momentu wystrzelenia wszystkich naboi. Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy każdym
strzale jest równe 0, 8. Liczba wystrzelonych naboi jest zmienną losową L.
(a) Podaj naturalny model przestrzeni probabilistycznej dla tego doświadczenia.
W jaki sposób zmienna losowa L jest określona na tej przestrzeni?
(b) Podać rozkład tej zmiennej i jej dystrybuantę.
(c) Ile wynosi P(L−1 ((1, ∞)))?
Zadanie 6. Przeprowadzamy niezależne próby pewnego doświadczenia, którego wynikiem może być sukces bądź porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu w jednym doświadczeniu wynosi p, 0 < p < 1. Zmienna losowa X oblicza liczbę prób potrzebnych do
osiągnięcia pierwszego sukcesu. Znajdź rozkład tej zmiennej losowej.
Zadanie 7. Dane są liczby n, N , 1 ¬ n ¬ N . Ze zbioru {1, 2, . . . , N } wyciągamy
losowo jednocześnie n różnych liczb. Niech X oznacza największą z nich. Podaj przykład
przestrzeni probabilistycznej na jakiej jest określona ta zmienna.
(a) Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
P
k
m+1
(b) Korzystając z poprzedniego podpunktu, uzasadnij że m
.
k=2 2 =
3
1
, dla n = 1, 2, . . . określa rozkład
Zadanie 8. Sprawdzić, czy funkcja p(n) = n1 − n+1
zmiennej losowej dyskretnej N . Jeżeli tak, to ile wynosi prawdopodobieństwo P(N ­ 3)?
Zadanie 9. Podaj rozkład zmiennej losowej X o dystrybuancie
F (x) =

0



 1
4
1



 2
1
dla
dla
dla
dla
x<y
y¬x<0
0¬x<1
x ­ 1.
Zadanie 10. Zmienna losowa X posiada rozkład: P (X = k) =
(a) Oblicz parametr c.
(b) Wyznacz dystrybuante F zmiennej losowej X.
(c) Oblicz F (3/2).
2
c
,
4k
k = 0, 1, 2, . . . .