x xf + = . 2. Wykonujemy doświadczenia B

ZESTAW 5.
1. Wyznaczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstości f ( x) =
1
.
π (1 + x 2 )
2. Wykonujemy doświadczenia Bernoullego, aż do uzyskania pierwszego sukcesu. Niech X
oznacza liczbę wykonanych doświadczeń, Y – czas oczekiwania na pierwszy sukces. Wyznaczyć rozkłady zmiennych losowych X i Y.
3. Wykazać, że rozkład geometryczny ma własność braku pamięci tzn. jeśli X jest zmienną
losową o rozkładzie geometrycznym, to
P( X > t + s | X > t ) = P( X > s) , s > 0
4. Sprawdzić, że jeśli zdarzenia losowe A i B spełniają warunek P ( A | B) = P( A | B ′) , to są
niezależne.
5. Znaleźć σ -ciało generowane przez zmienną losową X, gdy:
a) Rzucamy symetryczną kostką. X przyjmuje wartość 1, gdy wypadła parzysta liczba oczek,
2 – jeśli nieparzysta.
b) Losujemy punkt z koła K ( A,1) . X (ω ) = odległość ω od A.
6. *** Handlowiec kupuje jakiś podzielny towar po stałej cenie c za jednostkę i sprzedaje po
stałej cenie s za jednostkę, gdzie s>c. Załóżmy, że popyt Y jest zmienną losową typu ciągłego
z dystrybuantą F oraz gęstością f ciągłą i dodatnią na przedziale (0, ∞) . Zysk handlowca jest
różnicąmiędzy wpływem ze sprzedaży, a wydatkiem na zakup towaru (nie sprzedany towar
jest wyrzucany). Ile towaru powinien zamówić handlowiec, aby jego przeciętny
zysk był największy?
7. W pewnej partii urządzeń jest 5\% urządzeń, które nie działają. Pozostałe urządzenia są
sprawne i czas działania każdego z nich jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z
parametrem λ = 0,1 . Niech T oznacza czas pracy losowo wybranego urządzenia z partii.
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej T i narysować jej wykres.
8. Zmienna losowa X przyjmuje wartości -2, 2, 3 odpowiednio z prawdopodobieństwami
1
,
4
1 1
, . Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y = X 2 . Obliczyć wartość oczekiwaną oraz odchy2 4
lenie standardowe zmiennej Y.
9. Pewien wyrób montuje się z elementów A i B. Przeciętnie wśród elementów A uszkodzony
jest 1 na 10, a między elementami B uszkodzony jest 1 na 15. Porównaj oczekiwane koszty i
związane z nimi ryzyko następujących możliwych planów działania:
a) Każdy element jest sprawdzany i elementy uszkodzone są wyrzucane. Koszt sprawdzenia
elementu A wynosi 2 zł, a elementu B 5 zł.
b) Żadnego elementu się nie sprawdza, natomiast elementy niesprawne wykrywa się w chwili,
gdy testuje się cały wyrób. Naprawa wadliwego wyrobu kosztuje wtedy 35 zł, ale za to w tej
sytuacji nie występuje żaden dodatkowy koszt przy testowaniu gotowych wyrobów.
10. Gęstość prawdopodobieństwa amplitudy A bocznego kołysania się statku określona jest
wzorem (rozkład Rayleigha ) f (a) =
a
σ
2
e
−
a2
2σ 2
, (a ≥ 0) , gdzie σ 2 jest wariancją kąta prze-
chylenia okrętu. Czy tak samo często zdarzają się amplitudy mniejsze i większe od średniej?
11. Pomiar odległości obiektu obarczony jest błędem systematycznym i losowym. Błąd systematyczny wynosi 50 m w stronę zaniżenia odległości. Błędy losowe mają rozkład normalny o odchyleniu standardowym σ =100 m. Znaleźć prawdopodobieństwo pomiaru odległości
z błędem nie przekraczającym co do wartości bezwzględnej 150 m oraz prawdopodobieństwo, że zmierzona odległość nie przekroczy prawdziwej odległości.
12. Błąd systematyczny utrzymania przez samolot wysokości wynosi +20 m, a błąd losowy
ma odchylenie standardowe 75 m. Samolot ma przelecieć korytarzem o wysokości 100 m.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że samolot poleci poniżej korytarza, korytarzem i powyżej
korytarza, jeżeli załodze podano wysokość odpowiadającą środkowi korytarza?
(PONIŻSZE ZADANIA DOTYCZĄ MATERIAŁU NA DRUGIE KOLOKWIUM)
13. Rozkład łączny zmiennych losowych dany jest tabelką. Wyznaczyć ich
rozkłady brzegowe.
Y
X
2
4
6
1
2
3
4
1
8
1
8
1
4
0
0
1
4
0
0
1
8
1
8
0
pk •
p•i
14. Rzucamy dwa razy monetą. Niech O1 oznacza liczbę orłów w pierwszym
rzucie (0 lub 1), a O2 liczbę orłów uzyskanych w drugim rzucie (0 lub 1). Określamy zmienne losowe X i Y następująco:
a) X =| O1 − O2 | , b) X =| O1 + 2O2 |
Podać łączny rozkład pary zmiennych ( X , Y ) . Obliczyć współczynnik kowariancji. Czy
zmienne X i Y są niezależne?
15. Dana jest funkcja
x+ y >0
.
x+ y ≤0
1 dla
F ( x) = 
0 dla
Sprawdzić czy jest ona dystrybuantą.
16. Wektor losowy ( X , Y ) ma gęstość f ( x, y ) = 6 xy 2 1( 0,1) ( x)1( 0,1) ( y )
Wyznaczyć gęstości brzegowe.
17. Dla jakich wartości c funkcja f jest gęstością pewnej zmiennej losowej dwuwymiarowej?
cxe − x
f ( x, y ) = 
 0
2
x ≥ 0, y ≥ 0
dla
x, y
dla innych
−y
cxye − x
b) f ( x, y ) = 

0
2
− y2
x ≥ 0, y ≥ 0
dla
x, y
dla innych