Kolokwium ze Wstępu do teorii miary
Transkrypt
Kolokwium ze Wstępu do teorii miary
Kolokwium ze Wstępu do teorii miary SPPI, rok II wersja demo 1. Opisz algebrę i σ-algebrę podzbiorów R generowane przez wszystkie półproste postaci (n, +∞), n ∈ Z. Wskazówka: Zauważyć, że (n, n + 1] = (n, +∞) \ (n + 1, +∞) muszą należeć i do algebry, i do σ-algebry generowanej przez półproste. Trzeba sprawdzić, że rodzina S n ∈ N, mk < nk , wszystkich sum postaci K k=1 (mk , nk ], gdzie m1 , ..., mK ∈ N, n1 , ..., S∞K jest algebrą zbiorów, a rodzina wszystkich sum przeliczalnych k=1 (mk , nk ], gdzie m0 , m1 , ... ∈ N, n0 , n1 , ... ∈ N, mk < nk , jest σ-algebrą zbiorów. 2. Niech µ i ν będą miarami na przestrzeni mierzalnej (X, F). Udowodnić, że funkcja zbioru m określona na F wzorem m(A) = µ(A) + ν(A) jest również miarą. Czy l(A) = µ(A) · ν(A) jest miarą? Wskazówka: Sprawdzić, że m(φ) = 0 i że m parami rozłączne. S ∞ k=1 Ak = P∞ k=1 m(Ak ), gdy Ak są Funkcja l może nie być miarą, np. jeśli X = {a, b}, µ({a}) = µ({b}) = ν({a}) = ν({b}) = 1, to l(X) = 4, ale l({a}) + l({b}) = 2. 3. Dla zbioru A ⊂ R niech −A = {−a : a ∈ A}. Załóżmy, że wiemy iż jeśli A jest mierzalny w sensie Lebesgue’a, to −A też. Udowodnić, że λ(−A) = λ(A). Wskazówka: Ustalamy > 0 i pokrywamy A odcinkami In tak, że λ(A)+ > Wtedy −In pokrywają −A i λ(−A) ¬ X | − In | = n X P n |In |. |In | < λ(A) + . n Wobec dowolności mamy λ(−A) ¬ λ(A). A druga nierówność wynika z tej: λ(A) = λ(−(−A)) ¬ λ(−A). 4. Pokaż, że jeśli f : X → R jest mierzalna i A jest zbiorem mierzalnym, to funkcja h : X → R określona wzorem h(x) = f (x) 0 dla x ∈ A dla x ∈ 6 A też jest mierzalna. Wskazówka: Wystarczy zauważyć, że h(x) = f (x) · 1A (x), gdzie 1A jest funkcją charakterystyczną zbioru A. Skoro A jest mierzalny, to 1A jest mierzalna, a iloczyn funkcji mierzalnych jest mierzalny. 1 5. Które z poniższych zdań są fałszywe, a które prawdziwe? Odpowiedzi nie trzeba uzasadniać. Za dobrą odpowiedź dodajemy 1 punkt, za złą odejmujemy 1 punkt. Brak odpowiedzi nie jest punktowany. (a) Zbiór liczb wymiernych jest miary zero względem każdej miary określonej na R. Nie – można wziąć miarę skupioną w 0. (b) Suma σ-ciał jest zawsze σ-ciałem. Nie – np. X = {a, b, c}, F1 = {∅, {a}, {b, c}, X}, F2 = {∅, {c}, {a, b}, X} (c) Dla każdej pary zbiorów mierzalnych A, B zachodzi nierówność µ(A ∩ B) ¬ µ(A)µ(B). Nie – dla A = B, 0 < µ(A) < 1 mamy µ(A) > µ(A)2 (d) Jeśli µ(A) ¬ µ(B) = 0, to A ⊂ B. Nie – A i B mogą być nawet rozłączne. (e) Ciąg fn zbiega do f według miary wtedy tylko wtedy, gdy lim µ{x : |fn (x) − f (x)| < } = µ(X). n→∞ Nie – X = R, µ-miara Lebesgue’a, f ≡ 0, fn (x) = 1 dla x < 0, fn (x) = x 0. 1 n dla (f) Iloczyn dwóch funkcji niemierzalnych nie może być mierzalny. Nie, tzn. może być mierzalny – 1A · (1 − 1A ) = 0 nawet dla A niemierzalnego. 2