Lim obraz

Przekształcenia całkowe
Wykład 4
fragmenty
Przekształcenie Laplace’a
Przekształcenie Laplace’a
Definicja 1:
Funkcję zespoloną f ( t ) zmiennej rzeczywistej t
nazywamy oryginałem, jeżeli spełnione są trzy warunki:
1. f ( t ) wraz z pierwszą pochodną f ′ ( t ) jest przedziałami
ciągła dla 0 ≤ t < ∞ (tzn. f ( t ) i f ′ ( t ) mają w każdym
skończonym przedziale co najwyżej skończoną ilość punktów
nieciągłości rodzaju pierwszego),
Przekształcenie Laplace’a
2. f ( t ) = 0 dla − ∞ < t < 0 ,
3. f ( t ) jest funkcją rzędu wykładniczego o wskaźniku λ 0 ,
tzn. istnieją takie dwie stałe λ 0 ≥ 0 i M > 0 , że dla każdego
t spełniona jest nierówność:
f ( t ) < M eλ 0t
(1)
Przekształcenie Laplace’a
Definicja 2:
Przekształceniem lub transformatą Laplace’a nazywamy
takie przekształcenie, które każdemu oryginałowi– funkcji
f ( t ) przyporządkowuje funkcję zespoloną Φ ( s ) zmiennej
zespolonej s taką , że
∞
Φ ( s ) = ∫ f ( t ) e− st d t
0
gdzie:
s = λ + iω
(2)
Przekształcenie Laplace’a
Uwaga:
Jeżeli f ( t ) jest oryginałem o wskaźniku λ 0 , to całka po
prawej stronie powyższego równania (2) jest bezwzględnie
zbieżna w półpłaszczyźnie Re s = λ > λ 0 .
Funkcję Φ ( s ) określoną wzorem (2) nazywamy również
obrazem funkcji f ( t ) . Przekształcenie dokonane na funkcji
f ( t ) za pomocą całki (2) oznaczamy krótko L ( f ) :
∞
Φ ( s ) = ∫ f ( t ) e − st dt ≡ L ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦ = L ( f )
0
(3)
Przekształcenie Laplace’a
Własności transformaty Laplace’a
Własność 1:
Transformata Laplace’a jest funkcją zmiennej zespolonej s,
holomorficzną w półpłaszczyźnie Re s = λ > λ 0 , gdzie λ 0
jest wskaźnikiem wzrostu funkcji f ( t ) .
Przekształcenie Laplace’a
Własność 2:
Jeżeli Φ ( s ) jest transformatą Laplace’a funkcji
będącej oryginałem, to:
lim Φ ( s ) = 0
Re s =λ→∞
Własność 3 (jednorodność):
L ⎡⎣cf ( t ) ⎤⎦ = cL ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦
gdzie c jest dowolną stałą.
f (t ) ,
Przekształcenie Laplace’a
Dowód:
∞
∞
0
0
L ⎡⎣cf ( t ) ⎤⎦ = ∫ cf ( t ) e− st d t = c ∫ f ( t ) e− st d t = cL ⎡⎣ f ( t ) ⎤⎦
Własność 4 (addytywność):
L ⎡⎣ f1 ( t ) + f 2 ( t ) ⎤⎦ = L ⎡⎣ f1 ( t ) ⎤⎦ + L ⎡⎣ f 2 ( t ) ⎤⎦
Dowód:
∞
L ⎡⎣ f1 ( t ) + f 2 ( t ) ⎤⎦ = ∫ ⎡⎣ f1 ( t ) + f 2 ( t ) ⎤⎦ e − st d t =
0
∞
∞
0
0
= ∫ f1 ( t ) e − st d t + ∫ f 2 ( t ) e − st d t = L ⎡⎣ f1 ( t ) ⎤⎦ + L ⎡⎣ f 2 ( t ) ⎤⎦
Przekształcenie Laplace’a
Własność 5 (liniowość):
L [ c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t ) ] = c1 L [ f1 (t ) ] + c2 L [ f 2 (t ) ]
gdzie c1 , c2 - dowolne stałe.
Dowód:
∞
L ⎡⎣c1 f1 ( t ) + c2 f 2 ( t ) ⎤⎦ = ∫ ⎡⎣ c1 f1 ( t ) + c2 f 2 ( t ) ⎤⎦ e − st d t =
0
∞
∞
0
0
= c1 ∫ f1 ( t ) e − st d t + c2 ∫ f 2 ( t ) e − st d t = c1L ⎡⎣ f1 ( t ) ⎤⎦ + c2 L ⎡⎣ f 2 ( t ) ⎤⎦
Przekształcenie Laplace’a
Własność 6 (różniczkowanie oryginału):
L [ f ′ ( t )] = s L [ f ( t )] − f ( 0 ) = s Φ ( s ) − f ( 0 )
L [ f ′′ ( t )] = s 2 Φ ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 )
L ⎡⎣ f (
n)
( t )⎤⎦ =
= s n Φ ( s ) − s n −1 f ( 0 ) − s n − 2 f ′ ( 0 ) − s n −3 f ′′ ( 0 ) − ... − f (
n −1)
(0)
Przekształcenie Laplace’a
Własność 7 (całkowanie oryginału):
⎡t
⎤ 1
Φ(s)
L ⎢ ∫ f ( u ) d u ⎥ = L [ f (t )] =
s
⎣0
⎦ s
n-krotne całkowanie oryginału
t
t
t
⎡t
⎤ Φ(s)
L ⎢ ∫ d u ∫ d u ∫ d u...∫ f ( u ) d u ⎥ = n
s
0
⎢0 0 0
⎥
⎢⎣
⎥⎦
n −krotne całkowanie oryginału
Przekształcenie Laplace’a
Własność 8 (różniczkowanie obrazu):
L ⎡⎣−t f ( t )⎤⎦ = Φ′ ( s )
Własność 9 (całkowanie obrazu):
Jeżeli f ( t ) / t jest oryginałem, to ze związku L [ f ( t )] = Φ ( s )
wynika wzór:
∞
⎡ f (t ) ⎤
= ∫ Φ(s)d s
L⎢
⎥
⎣ t ⎦ s
gdzie
∞
∫ Φ(s)d s =
s
p
lim
Re p →∞
∫ Φ(s)d s
s
Przekształcenie Laplace’a
Własność 10 (podobieństwo):
1 ⎛s⎞
L [ f ( at )] = Φ ⎜ ⎟
a ⎝a⎠
gdzie a > 0 .
Własność 11 (przesunięcie oryginału):
L [ f ( t − a )] = e − as Φ ( s )
dla dowolnego a > 0.
Przekształcenie Laplace’a
Własność 12 (przesunięcie obrazu):
L ⎡⎣e − as f ( t ) ⎤⎦ = Φ ( s + a )
gdzie a - dowolna liczba zespolona.
Własność 13:
Dla dowolnego oryginału
jest związek graniczny:
f ( t ) i jego obrazu Φ ( s ) prawdziwy
lim f ( t ) = lim s Φ ( s )
t →0+ 0
s →∞
Przekształcenie Laplace’a
Własność 14:
Jeżeli istnieje granica oryginału
f ( t ) , gdy t →∞ , to
lim f ( t ) = lim s Φ ( t )
t →∞
s →0
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a
f (t )
L [ f ( t )] = L ( f )
1
1
s
t
tn
n!
e at
1
s2
1
s n +1
1
s−a
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a c.d
f (t )
te
at
t n e at
sin at
cos at
L [ f ( t )] = L ( f )
1
( s − a )2
n!
( s − a )n +1
a
s2 + a2
s
s2 + a2
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a c.d
f (t )
L [ f ( t )] = L ( f )
at
b
( s − a )2 + b 2
at
s−a
( s − a )2 + b 2
e sin bt
e cos bt
t sin at
t cos at
2as
(s + a )
2
2 2
s2 − a2
( s 2 + a 2 )2
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a c.d
f (t )
L [ f ( t )] = L ( f )
f ′(t )
sF ( s ) − f ( 0 )
f ′′ ( t )
s2 F ( s ) − s f ( 0) − f ′( 0)
f ′′′ ( t )
s 3 F ( s ) − s 2 f ( 0 ) − sf ′ ( 0 ) − f ′′ ( 0 )
f
(n)
(t )
( n −1)
n −1
(
)
(
)
(0)
s F s − s f 0 −… − f
n