kombinatoryka i elementy rachunku prawdopodobie stwa
Transkrypt
kombinatoryka i elementy rachunku prawdopodobie stwa
UNIWERSYTET WROCAWSKI Wydziaª Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny M.Majsnerowska rok akademicki 2011/2012 KOMBINATORYKA I ELEMENTY RACHUNKU PRAWDOPODOBIESTWA LISTA ZADA (2) 1. Wyka», »e liczba N = pk1 : : : pknn ; gdzie p ; : : : ; pn s¡ ró»nymi liczbami pierwszymi, a k ; : : : ; kn s¡ liczbami caªkowitymi nieujem1 1 nymi, ma 1 (k + 1) : : : (kn + 1) 1 dzielników dodatnich. 2. Sprowad¹ do prostszej postaci wyra»enia: (n)! + (n + 1)! ; (n + 1)!(n 1)! ; (2n)! ; (2n)! + (2n 1)! + (2n 2)!: (n 1)! (n!) n! 2 3. Niech a = 18! i b = 20!. a) Podaj cyfr¦ jedno±ci liczby a oraz cyfr¦ tysi¦cy liczby b w ich zapisie w systemie dziesi¦tnym. b) Uzasadnij, »e liczba a jest podzielna przez 119, a nie jest podzielna przez 19. 4. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gu fan; n = 1; 2; : : : ; g o wyrazie ogólnym n+1)! n! n+1)!+n! ( ( . 5. Oblicz liczb¦ tych permutacji zbioru A = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8g, w których a) liczby 1,2 nie s¡siaduj¡ ze sob¡; b) liczby 1,2,3 wyst¦puj¡ w porz¡dku rosn¡cym. 6. Oblicz, ile liczb naturalnych zapisanych za pomoc¡ ró»nych cyfr mo»na utworzy¢ z 1,2,3,4 oraz ile jest takich liczb mniejszych od 2 400. 7. Pan X zapomniaª hasªa do zamka swojej aktówki. Hasªo jest liczb¡ czterocyfrow¡ tak¡, »e pierwsza i ostatnia cyfra jest parzysta, a suma dwóch cyfr ±rodkowych jest równa 6. Oblicz, ile mo»liwo±ci w najgorszym przypadku trzeba sprawdzi¢, aby otworzy¢ zamek. 8. Numer dowodu osobistego skªada si¦ z 3 liter i 6 cyfr. Przyjmuj¡c, »e alfabet ma 24 litery, oblicz, dla ilu obywateli wystarczy takich dokumentów to»samo±ci. 9. W przedziale wagonu kolejowego znajduje si¦ 8 ponumerowanych miejsc w dwóch rz¦dach po 4 miejsca. Do pustego przedziaªu weszªo 5 osób: 3 panie i 2 panów. Panie zaj¦ªy miejsca w jednym rz¦dzie, a panowie w drugim. Oblicz na ile sposobów te osoby mogªy zaj¡¢ miejsca tak, aby a) panie siedziaªy zwrócone twarz¡ do kierunku jazdy; b) dokªadnie naprzeciwko ka»dego z panów siedziaªa pani. 10. Przed sklepem jest 7 miejsc parkingowych (jedno obok drugiego). Oblicz na ile sposobów mog¡ na tym parkingu stan¡¢ 4 samochody tak, aby a) »adne dwa samochody nie parkowaªy na s¡siednich miejscach; b) mi¦dzy »adnymi dwoma samochodami nie byªo wolnego miejsca. 11. Na spotkanie przybyªo N osób. Ka»da przywitaªa si¦ z ka»d¡. Wyznacz, ile byªo u±cisków dªoni. 12. Ka»de z M pa«stw ma w ka»dym z pozostaªych swego ambasadora. Wyznacz, ilu jest wszystkich ambasadorów. 13. Nale»y wytypowa¢ delegacj¦ zªo»on¡ z 5 dziewcz¡t i 4 chªopców. Oblicz, na ile sposobów mo»na to uczyni¢, je±li w grupie znajduje si¦ 15 dziewcz¡t i 12 chªopców. 14. Na zawody przyjechaªo 20 szachistów z kraju A i 15 z kraju B. Maj¡ oni do dyspozycji 9 szachownic. Oblicz, na ile sposobów mo»na dobra¢ szachistów do pierwszej partii, je±li przeciwnicy maj¡ pochodzi¢ z ró»nych krajów. 15. Do oceny studentów u»ywa si¦ pi¦ciu stopni A; B; C; D; E . Rozpatrujemy grup¦ 5 studentów. Oblicz, a) na ile ró»nych sposobów mo»emy oceni¢ t¦ grup¦ tak, aby »adni dwaj studenci nie otrzymali tej samej oceny; b) na ile ró»nych sposobów mo»emy oceni¢ t¦ grup¦ tak, aby »adni dwaj studenci nie otrzymali tej samej oceny i student X otrzymaª ocen¦ wy»sz¡ ni» student Y . 16. Oblicz, ile jest liczb trzycyfrowych, w których a) cyfra setek jest dwa razy mniejsza ni» cyfra dziesi¡tek; b) cyfra setek jest o 2 wi¦ksza od cyfry dziesi¡tek. 17. Oblicz, na ile sposobów mo»na wybra¢ z talii 52 kart po jednej karcie z ka»dego koloru oraz ile jest takich wyborów, je±li w±ród wyj¦tych kart nie mo»e by¢ ani jednej pary kart o tej samej warto±ci. 18. Ze zbioru cyfr f1; 2; : : : ; 9g losujemy kolejno 4 bez zwracania i tworzymy liczb¦ czterocyfrow¡, tzn. pierwsza wylosowana cyfra jest cyfr¡ tysi¦cy, druga setek, trzecia dziesi¡tek, czwarta jedno±ci. Oblicz, ile w taki sposób mo»na otrzyma¢ liczb a) parzystych; b) podzielnych przez 25; c) mniejszych od 3 456.