Zadania z Mechaniki klasycznej Zestaw 5 — Równania Hamiltona

Zadania z Mechaniki klasycznej
Zestaw 5 — Równania Hamiltona
(Wersja 10.12.2015)
1. Pokazać, że jeżeli H(qi , pi , t) jest funkcją Hamiltona, to zachodzi równość
dH
∂H
=
.
dt
∂t
(Z powyższego rówania wynika, że jeżeli hamiltonian H nie zależy jawnie od czasu, to jest
on stałą ruchu).
2. Znaleźć funkcję Hamiltona dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. Podać równania
Hamiltona dla tego układu i rozwiązać je.
3. Znaleźć funkcję Hamiltona i wyznaczyć układ równań Hamiltona dla oscylatora anharmonicznego o funkcji Lagrange’a
L(q, q̇) =
kq 2
mq̇ 2
−
− αq 3 + βq q̇ 2 .
2
2
4. Rozwiązać układ równań Hamiltona dla układu, dla którego hamiltonian ma postać
kq 2
p2
+
+λ
H(q, p) =
2m
2
p2
kq 2
+
2m
2
2
(m, k, λ nie zależą od q i p).
5. Cząstka porusza sie w polu siły centralnej o potencjale V (r). Podać równania Hamiltona,
przyjmując za współrzędne uogólnione zwykłe współrzędne biegunowe r i ϕ.
6. Koralik o masie m ślizga się po beztarciowym drucie wygiętym w kształcie linii śrubowej,
opisanej we współrzędnych walcowych (r, ϕ, z) równaniami: z = aϕ i r = R, gdzie a i R są
stałymi. Oś z jest skierowana pionowo do góry, a siła ciężkości jest skierowana pionowo w
dół. Przyjmij ϕ za współrzędną uogólnioną. Znajdź równania Hamiltona i rozwiąż je.
7. Ruch ciężarka o masie m ograniczony jest do beztarciowej powierzchni pionowego stożka,
opisanej we współrzędnych walcowych (r, ϕ, z) równaniem r = az. Oś z jest skierowana
pionowo do góry, a siła ciężkości jest skierowana pionowo w dół. Znajdź jawną postać równań
Hamiltona, przyjmując jako współrzędne uogólnione z i ϕ.
8. Podać równania Hamiltona dla układów z zadań: 3, 5-7,9,10,12 z zestawu 5. W przypadku
gdy jest to możliwe, rozwiązać te równania.
1