zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

Zestaw zadań z grafów eulerowskich i hamiltonowskich
Z. 1. Narysować wszystkie nieizomorficzne grafy o 5 wierzchołkach i 7 krawędziach i ocenić, które z nich
mają cykl Eulera, drogę Eulera, cykl Hamiltona, ścieżkę Hamiltona.
Z. 2. Narysować wszystkie nieizomorficzne grafy o 6 wierzchołkach i 6 krawędziach, które z nich mają a) cykl
Eulera, b) cykl Hamiltona.
Z. 3. Dla jakich m, n grafy Kn , Km,n mają cykl Eulera, drogę Eulera, cykl Hamiltona, ścieżkę Hamiltona?
Z. 4. Przedstawić cztery pięciowierzchołkowe grafy – kolejno graf który:
• nie jest hamiltonowski i nie jest eulerowski
• nie jest hamiltonowski, ale jest eulerowski
• jest hamiltonowski i nie jest eulerowski
• jest hamiltonowski i eulerowski.
Z. 5. Ile jest cykli Hamiltona w oznaczonym grafie pełnym?
Z. 6. Sprawdzić, czy grafy mają cykl Eulera, cykl Hamiltona, ścieżkę Hamiltona. Które z nich są jednokreślne?
n
występujący w twierdzeniu Diraca nie może
Z. 7. Podaj przykład grafu ilustrujący, że warunek d(v) ­
2
n
być zastąpiony warunkiem d(v) ­ − 1 .
2
Z. 8. Wykaż, że n-wierzchołkowy graf jest hamiltonowski, jeśli ma przynajmniej (n−1)(n−2)
+ 2 krawędzi.
2
(n−1)(n−2)
+ 1 krawędziach.
Podaj przykład grafu niehamiltonowskiego o n wierzchołkach i
2
Z. 9. Muzeum składa się z labiryntu korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach. Naturalny sposób
obejrzenia wszystkiego, to przejście każdego korytarza dwa razy i powrót do wyjścia. Czy każde spójne
muzeum można zwiedzić w ten sposób?
Z. 10. Za pomocą algorytmu Fleury’ego wyznaczyć cykl Eulera w grafie G: V = {1, 2, . . . , 11},
E = {{1, 2}, {1, 11}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 11}, {3, 4}, {4, 5}, {4, 7}, {4, 10}, {4, 11}, {5, 6}, {5, 7}, {5, 9}, {6, 9}, {7, 8},
{7, 9}, {8, 9}, {10, 11}}
Z. 11. Podać przykład grafu, który nie spełnia założeń twierdzenia Diraca, ale posiada cykl Hamiltona.
Z. 12. Podać przykład grafu, który nie spełnia założeń twierdzenia Orego, ale posiada cykl Hamiltona.
Z. 13. Ile wynosi liczba niezależności dla grafów: pełnego, pełnego dwudzielnego, Petersena?
Z. 14. Problem komiwojażera http://www.tsp.gatech.edu/
Komiwojażer musi objechać n miast. Wyrusza z dowolnego z nich i wraca do punktu wyjścia. Znane są
odległości pomiędzy wszystkimi miastami, a zadaniem komiwojażera jest pokonanie możliwie najkrótszej
trasy.
Sformułować zadanie w języku teorii grafów.