Kolokwium II z analizy matematycznej Studia stacjonarne SGH 3
Transkrypt
Kolokwium II z analizy matematycznej Studia stacjonarne SGH 3
Kolokwium II z analizy matematycznej Studia stacjonarne SGH 3 czerwca 2011 Imię i Nazwisko Grupa Nr indeksu 1. Niech d : R2 × R2 → R będzie funkcją określoną wzorem x1 y1 d , = |x1 − y1 | + 4 |x2 − y2 | . x2 y2 a) Wykazać, że d jest metryką. b) Narysować kulę otwartą K (x0 , r) = x ∈ R2 : d (x, x0 ) < r , 2 gdzie x0 = , r = 4. 0 2. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem xx 1 2 dla 3x21 − x22 = 6 0, 2 2 3x − x f (x) = 1 2 0 dla 3x21 − x22 = 0. a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0. 1 b) Sprawdzić, czy istnieje ∇h f (0), gdzie h = . 1 3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x1 , x2 ) = x21 + x22 − 2x1 + 2x2 na trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (0, 1), (2, 0). 4. Wyznaczyć ekstrema związane funkcji f (x1 , x2 ) = 3x1 − x2 na okręgu o równaniu x21 + x22 = 10. 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem 4x2 + y 2 + 8x − 6y + 12 = 0. Kolokwium II z analizy matematycznej Studia stacjonarne SGH 3 czerwca 2011 Imię i Nazwisko Grupa Nr indeksu 1. Niech d : R2 × R2 → R będzie funkcją określoną wzorem x1 y1 d , = 3 |x1 − y1 | + |x2 − y2 | . x2 y2 a) Wykazać, że d jest metryką. b) Narysować kulę otwartą K (x0 , r) = x ∈ R2 : d (x, x0 ) < r , 0 gdzie x0 = , r = 3. 1 2. Dana jest funkcja f : R2 → R określoną wzorem xx 1 2 dla x21 − 2x22 = 6 0, 2 2 x − 2x f (x) = 1 2 0 dla x21 − 2x22 = 0. a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0. 1 b) Sprawdzić, czy istnieje ∇h f (0), gdzie h = . −1 3. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x1 , x2 ) = x21 + x22 + 2x1 − 4x2 na trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (0, 3). 4. Wyznaczyć ekstrema związane funkcji f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 na okręgu o równaniu x21 + x22 = 5. 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem 4x2 + y 2 − 16x + 4y + 19 = 0.