Kolokwium II z analizy matematycznej Szkoła Główna - E-SGH

Kolokwium II z analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
10 czerwca 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Obliczyć
ˆ ∞
5x
a)
dx,
(x2 + 1) (x − 2)
3
ˆ ∞
(2x − 3) e−3x dx.
b)
0
2. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
x21 x2
dla x 6= 0,
f (x) =  3x21 + x22

0
dla x = 0.



a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
b) Sprawdzić, czy dla każdego h ∈ R2 istnieje ∇h f (0).
c) Czy funkcja f jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnić.
3. Dana jest funkcja f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = 3x1 + 4x2 .
a) Wyznaczyć ekstrema związane funkcji f (x1 , x2 ) przy warunku x21 + x22 = 25.
b) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x1 , x2 ) na zbiorze
K = {x ∈ R2 : x21 + x22 ¬ 25}.
4. Niech F : R2 → R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem
"
#
x3 + 4x2
F (x) = 12
.
x1 + 2x2
"
#
−1
a) Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w otoczeniu punktu x0 =
.
1
b) Obliczyć pochodną w punkcie y0 = F (x0 ) odwzorowania odwrotnego do F .
c) Czy istnieją takie punkty x ∈ R2 , że macierz F 0 (x) jest osobliwa? Odpowiedź
uzasadnić.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem
4x2 + y 2 + 8x − 6y + 12 = 0.
Kolokwium II z analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
10 czerwca 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Obliczyć
ˆ ∞
4x
a)
dx,
(x2 + 1) (x − 1)
2
ˆ ∞
(3x + 2) e−5x dx.
b)
0
2. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
x1 x22
dla x 6= 0,
f (x) =  x21 + 4x22

0
dla x = 0.



a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
b) Sprawdzić, czy dla każdego h ∈ R2 istnieje ∇h f (0).
c) Czy funkcja f jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnić.
3. Dana jest funkcja f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = −2x1 + 3x2 .
a) Wyznaczyć ekstrema związane funkcji f (x1 , x2 ) przy warunku x21 + x22 = 13.
b) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x1 , x2 ) na zbiorze
K = {x ∈ R2 : x21 + x22 ¬ 13}.
4. Niech F : R2 → R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem
"
#
4x1 + 2x32
F (x) =
.
x21 + 2x2
" #
a) Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w otoczeniu punktu x0 =
1
.
1
b) Obliczyć pochodną w punkcie y0 = F (x0 ) odwzorowania odwrotnego do F .
c) Czy istnieją takie punkty x ∈ R2 , że macierz F 0 (x) jest osobliwa? Odpowiedź
uzasadnić.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem
x2 + 4y 2 + 6x − 4y + 6 = 0.
Kolokwium II z analizy matematycznej
Szkoła Główna Handlowa
10 czerwca 2014
Imię i Nazwisko
Grupa
Nr indeksu
1. Obliczyć
ˆ ∞
20x
a)
dx,
(x2 + 1) (x + 3)
1
ˆ ∞
(5x − 2) e−4x dx.
b)
0
2. Dana jest funkcja f : R2 → R określona wzorem
x21 x2
dla x 6= 0,
f (x) =  x21 + 5x22

0
dla x = 0.



a) Zbadać ciągłość funkcji f w punkcie 0.
b) Sprawdzić, czy dla każdego h ∈ R2 istnieje ∇h f (0).
c) Czy funkcja f jest różnowartościowa? Odpowiedź uzasadnić.
3. Dana jest funkcja f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = −x1 + 3x2 .
a) Wyznaczyć ekstrema związane funkcji f (x1 , x2 ) przy warunku x21 + x22 = 10.
b) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x1 , x2 ) na zbiorze
K = {x ∈ R2 : x21 + x22 ¬ 10}.
4. Niech F : R2 → R2 będzie odwzorowaniem określonym wzorem
"
#
2x31 + 6x2
F (x) =
.
4x1 + x22
"
#
−1
a) Wykazać, że F jest lokalnie odwracalne w otoczeniu punktu x0 =
.
1
b) Obliczyć pochodną w punkcie y0 = F (x0 ) odwzorowania odwrotnego do F .
c) Czy istnieją takie punkty x ∈ R2 , że macierz F 0 (x) jest osobliwa? Odpowiedź
uzasadnić.
5. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej y = y (x) określonej równaniem
4x2 + y 2 − 16x + 4y + 19 = 0.