Fotonika_4rok8

Akusto-optyka
Fala akustyczna jest falą mechaniczną
Oscylator wprowadza lokalne odkształcenie s ośrodka
propagujące się zgodnie z równaniem
s(x , t ) = S0 cos(Ωt − qx )
S0 – amplituda odkształcenia
Częstotliwość kołowa Ω = 2πf
f [Hz] - częstotliwość
Kołowa liczba falowa
Długość fali
akustycznej
vs
Λ = vsT =
f
q=
2π
Λ
vs – prędkość fazowa fali
Akusto-optyka cd
Propagujące się odkształcenia
wywołują propagującą się zmianę współczynnika załamania
n (x, t ) = n − ∆n 0 cos (Ω t − qx )
gdzie ∆n 0 = 0.5pn 3S0
p – stała fotoelastyczna ośrodka
Rozkład n(x) tworzy siatkę dyfrakcyjną
cienka warstwa ośrodka
Dyfrakcja Ramana-Natha
Dyfrakcja Bragga
fala optyczna prostopadła
do fali akustycznej - siatki
objętościowa siatka dyfrakcyjna
modulatory akustooptyczne
Dyfrakcja Ramana-Natha
Ds
n (x, t ) = n − ∆n 0 cos (Ω t − qx )
x
rozprężanie
sprężanie
n (x , t ) = n − ∆n 0
n (x , t ) = n + ∆n 0
Λ - długość fali – stała siatki dyfrakcyjnej
Fala
płaska
zmiana
współczynnika
załamania
Σ
2∆
∆n0
generator fali
akustycznej
Rozkład pola za ośrodkiem w chwili t = 0 V(x ) = V0 exp[i b cos (qx )]
głębokość modulacji
fazowej
Ds – szerokość fali akustycznej
V0 – amplituda fali Σ
b = k∆n 0 D s
Dyfrakcja Ramana-Natha
t=0
Zgodnie z teorią siatki dyfrakcyjnej rozkład
intensywności w nieskończoności
λ 

V∞ (p ) = C 0 v Σ  p − m  g 0 (p ) m = 0, ± 1, ± 2, ...
d 

multiplikacja rozkładu
generowanego przez falę padającą
i obciętą przez brzegi siatki
rozkład od jednego
elementu siatki
Dla ϑ = 0
rzędy dyfrakcyjne m
pod kątami ϑ’m
p = sin ϑ'm =
λ
m m = 0, ± 1, 2, ..
Λ
Dyfrakcja Ramana-Natha
t=0
Dla wąskiej wiązki lasera – mała średnica 2w
multiplikacja wiązki lasera
Ds
λ
p = sin ϑ'm = m m = 0, ± 1, 2, ..
Λ
m=1
m=2
wiązka
lasera
m=0
2w
ugięte wiązki lasera
m = -1
m = -2
λ 

V∞ (p ) = C 0 v Σ  p − m  g 0 (p ) m = 0, ± 1, ± 2, ...
d 

wiązki lasera
amplituda w rzędach
Wyznaczenie pola dla jednego elementu
Rozkład intensywności od jednego elementu
a rozkład pola
g 0 (kp ) = FT − [G 0 (x )]
I0 = g0g*0
Dla prostoty zostawia
się p a nie sinϑ’m
G0(x) – rozkład pola w jednym elemencie siatki
G 0 (x ) = V0 exp[ib cos(qx )]
w obszarze długości fali Λ
V0 – amplituda fali padającej
2π
q=
Λ
- kołowa liczba falowa
b = k∆n 0 D s
- głębokość modulacji fazowej
Λ
g 0 (kp ) = V0 FT − { exp[ib cos(qx )] } = V0 ∫ exp[ib cos(qx )]exp(− ikpx ) dx
0
Wyznaczenie pola dla jednego elementu
Λ
g 0 (kp ) = V0 ∫ exp[ib cos(qx )]exp(− ikpx ) dx
0
Λ
2π Λ
kpx =
p
t=p t
λ 2π
λ
x
t
=
qx
=
2
π
Po podstawieniu
Λ
2π
ΛV0
Λ 

(
)
g 0 (p ) =
exp
ib
cos
t
exp
ip
t  dt
−

∫
2π 0
λ 

McLachlan: Funkcje Bessela dla inżynierów, str. 269
2π
i−m
J m (b ) =
exp(ib cos t ) exp(imt )dt
∫
2π 0
więc ostatecznie
Λ
m=p
λ
g 0 (p m ) = i m ΛV0 J m (b )
gdzie
p m = sin ϑ'm − sin ϑ = m
λ
Λ
Dyfrakcja Ramana Natha cd
t=0
Rozkład intensywności w obrazie dyfrakcyjnym danym przez
falę akustyczną oświetloną wiązką gaussowską o średnicy
przewężenia 2w0
2

 
λ 
 
2
I ∞ (p ) = I 00 J m (b ) exp− 2  p − m kw 0   m = 0, ± 1, ± 2, ..
Λ 
 
 
Rozkład gaussowski
dla każdego rzędu m
Modulacja rzędów przez zmianę
głębokości modulacji b
1
J0
J1
J2
J3
b
Sterowanie intensywnością
poszczególnych rzędów zmianą
mocy fali akustycznej
2.405
Dyfrakcja Ramana-Natha cd obrazy dla dwóch wartości b
I
b=1.3
m= -2
m= -1
m=0
m=1
m=2
p
I
b=2.1
m= -2
m= -1
m=0
m=1
m=2
p
Dyfrakcja Ramana-Natha – fala biegnąca
x
Ds
Dotychczasowe rozważania
dotyczyły rozkład pola za
ośrodkiem w chwili t = 0
wiązka
lasera
Jeżeli V(x,0) rozkład pola
za siatką w chwili t = 0
biegnąca
fala
V(x , t ) = V(x − v a t ,0)
va – prędkość fali akustycznej
Pole V(x,0) generuje pole V∞(p)
Ponieważ gdy
V∞ (p ) ∝ FT − [V(x,0)]
F(ω) = FT − [f (x )]
FT − [f (x − x 0 )] = exp(− iωx 0 )F(ω)
V∞ (p, t ) = V∞ (p,0 ) exp(− ikpv a t )
Dyfrakcja Ramana-Natha – fala biegnąca cd
V∞ (p, t ) = V∞ (p,0 ) exp(− ikpv a t )
Biegnąca fala zmienia rozkład fazy
w polu dyfrakcyjnym siatki
nie zmienia rozkładu intensywności
Prędkość fali akustycznej v a = f a Λ
fa – częstotliwość fali
Przesunięcie fazy w rzędach m
2π λ
∆ϕm = kp m v a t =
mf a Λt = 2πmf a t
λ Λ
jest proporcjonalne do częstotliwości fali akustycznej fa
i numeru rzędu m
Akustyczna fala stojąca
Dwie fale akustyczne o tych samych
częstotliwościach kołowych Ω amplitudach S0
propagujące się przeciwbieżnie
s(x , t ) = S0 cos(Ωt − qx )
s(x , t ) = S0 cos(Ωt + qx )
Wynik interferencji s s (x, t ) = 2S0 cos(qx ) cos(Ωt )
rozkład strzałek
i węzłów
ss
x
węzeł
strzałka
4S0
oscylacje
w czasie
Dyfrakcja Ramana-Natha fala stojąca
x
zwierciadło
akustyczne
Ds
s s (x, t ) = 2S0 cos(qx ) cos(Ωt )
n (x, t ) = n − ∆n 0 cos (qx ) cos (Ω t )
wiązka
lasera
W strzałkach cos(qx ) = 1
generator fali
akustycznej
oscylacje n między
n - ∆n0 a n + ∆n0
a więc i lokalne oscylacje
fazy dla fali optycznej
między bmax i -bmax
∆n 0 = pn 3S0
p – stała fotoelastyczna
b max = k∆n 0 D s
Ds. – szerokość wiązki akustycznej
Dyfrakcja Ramana-Natha fala stojąca
s s (x, t ) = 2S0 cos(qx ) cos(Ωt )
n (x, t ) = n − ∆n 0 cos (qx ) cos (Ω t )
n (x , t 0 ) = n
W chwilach t = t0 , kiedy cos(Ωt 0 ) = 0
nie ma struktury siatki dyfrakcyjnej
pozostaje tylko rząd m = 0
o maksymalnej intensywności
Ogólnie oscylacje intensywności w poszczególnych rzędach
z częstotliwością 2fa
dla dużych wartości bmax z uwagi na zmienność Jm(b) o
dość skomplikowanym charakterze
Skoki fazy
w rzędach o
Λ
∆ϕ = kp m =
2
πm dla cos(Ωt ) > 0
− πm dla cos(Ωt ) < 0
Dyfrakcja Bragga
Ds
Objętościowa fala akustyczna
Wynik interferencji
fal odbitych ?
x
Fala
padająca
∆x
generator fali
akustycznej
Podział obszaru fali na
nieskończenie cienkie
warstwy ∆x
Niewielka zmiana
współczynnika załamania
w warstwie
Upraszczające założenia
pomijalne straty fali propagującej się wewnątrz ośrodka
na każdą warstwę pada fala o tej samej intensywności
Dyfrakcja Bragga cd
∆ϑ
Różnica faz między
promieniami odbitymi
x
∆ϕ = 2k x sin ϑ
0
∆ϑ
Oznaczając przez dr
przyrost amplitudowego
współczynnika odbicia na
grubości dx
x
L
∆x
cały amplitudowy
współczynnik
L
0
dr
r = ∫ exp(i 2kx sin ϑ) dx
dx
0
Poprawka fazowa między warstwami x = 0 a x
Dyfrakcja Bragga cd
L
dr
r = ∫ exp(i 2kx sin ϑ) dx
dx
0
Po scałkowaniu
Wielkość dr/dx wyznacza
się ze wzorów Fresnela
amplitudowy współczynnik odbicia od całej siatki
  1 2 sin ϑ  
q ∆n 0
r = 0.25i 2
L sinc π −
 L exp(iΩt )
sin ϑ n
λ  
 Λ
ϑ
ϑ
∆n 0 = 0.5pn S0
3
L
λ - długość fali światła
Λ - długość fali akustycznej fali
L – szerokość wiązki
propagującej się przez ośrodek
S0 – amplituda fali akustycznej p – stała fotoelastyczna
Dyfrakcja Bragga cd
r = 0.25i
  1 2 sin ϑ  
q ∆n 0
L
sin
c
π −
 L exp(iΩt )

2
sin ϑ n
λ  
 Λ
Kąt Bragga ϑB
max(sinc) →
λ
sin ϑ B =
2Λ
Dla szkła flintowego (n = 1.95) prędkość fali akustycznej
vs = 3 km/s
vs
Dla częstotliwości fali akustycznej fa = 40 MHz Λ =
= 75 µm
fa
Dla λ0 = 0.633 µm λ = λ0/n = 0.325 µm
ϑB = 7.45’
Bardzo mały kąt
Wiązka światła pada niemal
prostopadle do kierunku propagacji
fali akustycznej
Dyfrakcja Bragga cd
Współczynnik odbicia fali
dla kąta Bragga ϑ = ϑB
2

∆n 0   Λ ∆n 0 
q
R B = r r =  0.25 2
L  =  k
L
sin ϑB n   λ n 

2
∗
B B
gdyż
2π
q=
Λ
2π
k=
λ
λ
sin ϑ B =
2Λ
Wartości kątów ϑ ≠ ϑB dla znaczących wartości
współczynnika odbicia R niewiele się różnią od ϑB
i można wtedy napisać
2 sin ϑ  
2  1
R ≈ R B sinc π −
L = R B sinc 2 [k (sin ϑB − sin ϑ)L]
λ  
 Λ
R ≈ R B sinc 2 [k (ϑB − ϑ)L]
gdyż kąty ϑ i ϑB są małe
Szerokość kąta Bragga
Pierwsze zero funkcji sinc spełnia
zależność
sinc2x
k (ϑB − ϑ)L = π
-π
R ≈ R B sinc 2 [k (ϑB − ϑ)L]
0
π
x
λ
δϑ = ϑB − ϑ0 =
2L
Ponieważ L >> λ więc szerokość
kąta Bragga jest skrajnie mała
Dla L = 3mm i jak poprzednio λ = 0.325 µm (czerwona
linia He-Ne w szkle) wówczas δϑ = 20”
Podobny warunek do selektywności hologramów
Konsekwencje małej szerokość kąta Bragga
Stosując różną częstotliwość fa fali akustycznej można
uzyskać różne położenia wiązki ugiętej - skanowanie
Fala
świe
tlna
ta
ugię
ϑ
ϑ’
Fala
akustyczna
Prawo odbicia
λ
ϑ' = ϑ ≈
2Λ
wymaga jednak
jednoczesnej zmiany
kąta padania ϑ
gdyż szerokość kąta
Bragga δϑ jest mała
Generator fali
akustycznej
Konsekwencje małej szerokość kąta Bragga
δϑ
∆ϑ
ϑ
ϑ
Ze zbieżnej wiązki światła o kącie zbieżności ∆ϑ
komórka akustooptyczna wybiera tylko część o kącie
rozbieżności δϑ wiązki padającej
Straty mocy wiązki świetlnej δϑ << ∆ϑ
Konsekwencje małej szerokość kąta Bragga
∆ϑu
∆ϑ
ϑ
ϑ
∆ϑa
Sferyczna fala akustyczna
tworzy zbiór fal płaskich o
kącie rozbieżności ∆ϑa
Generator akustycznej
fali sferycznej
Dla ∆ϑa > ∆ϑ
∆ϑu = ∆ϑ
Cała padająca wiązka
światła zostanie ugięta
Zakres kątowego skanowania ∆ϑs = ∆ϑa - ∆ϑ
Dopplerowskie przesunięcie
częstotliwości
x
ϑ0
ϑ
Σ
r = 0.25i
Σ’
Rozkład amplitud na czole Σ
fali padającej
VΣ = V0 exp(iωt )
z
Amplitudowy współczynnik odbicia
fali ugiętej
  1 2 sin ϑ  
q ∆n 0
L
sin
c
π −
 L  exp(iΩt ) =

2
sin ϑ n
λ  
 Λ
Rozkład amplitud na czole Σ’
fali ugiętej
ωu = ω + Ω
r i exp(iΩt )
VΣ ' = rVΣ = V0 r i exp[i(ω + Ω )t ]
νu = ν + fa
zmiana częstotliwości
Częstotliwość fali ugiętej νu jest przesunięta o
częstotliwość fa fali akustycznej
Wpływ szerokości fali akustycznej
Ds
Wiązka ugięta
Wiązka przechodząca
Moc fali ugiętej
0
d
Zmiana szerokości Ds
komórki akustycznej
Moc fali przechodzącej
Istnieje optymalna szerokość komórki akustycznej
Współczynnik odbicia modulatora Bragga
amplitudowy
r = 0.25i
q ∆n 0
L sinc[0.5(q − 2k sin ϑ) L]exp(iΩt )
2
sin ϑ n
Dla kąta Bragga ϑ = ϑB (sinc = 1) i uwzględnieniu zależności
∆n 0 = 0.5pn 3 S0 = 0.5pn 3 I a
współczynnik odbicia ugiętej
fali świetlnej
Ia – moc fali akustycznej
2
(
LΛ )
R = r r* ∝
I
λ
4
0
a
R
Liniowa zależność jest poprawna dla
małych mocy Ia fali akustycznej
Uwzględnienie faktu, że moc wiązki
przechodzącej się zmniejsza prowadzi
do stanu nasycenia
Obszar nasycenia
Ia