ALGEBRA 1B, Lista 10 1. Udowodnić, że [X]/(X2 + 1)

ALGEBRA 1B, Lista 10
1. Udowodnić, że R[X]/(X 2 + 1) ∼
= C.
2. Niech n ∈ N. Udowodnić, że K[X]/(X n ) ∼
= K[[X]]/(X n ).
3. Niech I = (A) / R i załóżmy, że I jest skończenie generowany. Znaleźć
a1 , . . . , an ∈ A takie, że I = (a1 , . . . , an ).
4. Znaleźć R < Z[X] taki, że R nie jest noetherowski.
5. Znaleźć właściwy ideał pierwszy Z[X], który nie jest maksymalny.
6. Wyznaczyć z dokładnością do stowarzyszenia wszytkie elementy nierozkładalne w R[[X]].
7. Niech a, b ∈ R będą stowarzyszone (a ∼ b). Pokazać, że:
(a) a jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy b jest pierwszy.
(b) a jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy b jest nierozkładalny.
8. Niech d ∈ C \ Z i d2 ∈ Z. Rozważmy funkcję:
√
√
v : Z[ d] → Z, v(n + m d) = n2 − m2 d.
√
Udowodnić, że dla każdych α, β ∈ Z[ d]:
(a) v(αβ) = v(α)v(β).
√
(b) α ∈ Z[ d]∗ wtedy i tylko wtedy, gdy v(α) = ±1.
(c) Jeśli v(α) jest liczbą pierwszą, to α jest nierozkładalny.
√
9. Udowodnić, że 3 jest rozkładalna i że 5 jest nierozkładalna w Z[ −2].
10. Zbadać, czy dana liczba jest elementem rozkładalnym pierścienia R.
√
√
√
√
(a) 7 + 5i, 2 + 3 5i, 5 + 4 5i; R = Z[ −5],
(b) −1 + 7i, 5, 23, 1 + 6i; R = Z[i].
1