Geometria algebraiczna. Dodawanie na krzywych stopnia
Transkrypt
Geometria algebraiczna. Dodawanie na krzywych stopnia
Geometria algebraiczna. Dodawanie na krzywych stopnia 3. W poniższych zadaniach mówimy o krzywych nad ciaÃlem C 1. ZaÃlóżmy, że element neutralny O dziaÃlania grupowego na krzywej C jest jej punktem przegie, cia. Uzasadnić, że wówczas • Dla dowolnych P, Q, R ∈ C zachodzi P + Q + R = O ⇔ punkty P, Q i R sa, wspóÃlliniowe. • P 6= O ma rza,d 2 (tzn. P + P = O) ⇔ styczna do C w P przechodzi przez O. • P 6= O ma rza,d 3 (tzn. P +P +P = O) ⇔ P jest punktem przegie, cia krzywej C. 2. Rozważmy krzywa, Y 2 Z − X 3 = 0 z usunie, tym punktem osobliwym (0 : 0 : 1) oraz leża,cy na niej punkt O = (0 : 1 : 0). Pokazać bezpośrednim rachunkiem, że (1 : 1 : 1) + (2 : 1 : 8) = (3 : 1 : 27) oraz (2 : 1 : 8) + (2 : 1 : 8) = (4 : 1 : 64). Wykazać naste, pnie ogólny wzór (s : 1 : s3 ) + (t : 1 : t3 ) = (s + t : 1 : (s + t)3 ) i wywnioskować, że grupa punktów omawianej krzywej jest izomorficzna z (C, +). 3. Rozważmy krzywa, X 3 + Y 3 − XY Z = 0 z usunie, tym punktem osobliwym (0 : 0 : 1) oraz leża,cy na niej punkt O = (1 : −1 : 0). Pokazać bezpośrednim rachunkiem, że (−1 : −1 : −2) + (2 : −4 : 7) = (2 : 4 : 9) oraz (−1 : −1 : −2) + (−1 : −1 : −2) = (1 : −1 : 0). Wykazać naste, pnie ogólny wzór (s : −s2 : s3 − 1) + (t : −t2 : t3 − 1) = (st : −(st)2 : (st)3 − 1) i wywnioskować, że grupa punktów omawianej krzywej jest izomorficzna z (C∗ , ·). 4. Niech krzywa C ma równanie y 2 = x3 − 43x + 166 i niech O = (0 : 1 : 0). Wyliczyć, że P = (3, 8) (czyli (3 : 8 : 1) jest elementem rze, du 7.