Geometria różniczkowa 2016/2017 1. Geometria krzywych 1.1

Geometria różniczkowa 2016/2017
1. Geometria krzywych
1.1. Wyznaczyć pole styczne, normalne, binormalne, krzywiznę i skręcenie następujących krzywych.
(a) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (et cos t, et sin t, et ) ∈ R3 (znaleźć dodatkowo parametryzację łukową).
(b) R 3 t 7→ γ(t) = (3t − t3 , 3t3 , 3t + t3 ) ∈ R3 .
(c) Krzywej Vivaniego, która powstaje z przecięcia walca (x − a)2 + y 2 = a2 i sfery
x2 + y 2 + z 2 = a2 , gdzie a > 0.
1.2. Niech I ⊂ R - przedział. Rozważmy krzywą regularną I 3 t 7→ γ(t) ∈ Sr2 , gdzie Sr2 - sfera o
środku (0, 0, 0) i promieniu r > 0. Udowodnić, że krzywizna krzywej γ jest ograniczna z dołu
1
przez .
r
1.3. Niech I ⊂ R - przedział. Niech I 3 t 7→ γ(t) ∈ R2 będzie krzywą płaską. Wyprowadzić wzór
na krzywiznę krzywej płaskiej
κ(t) =
| det(γ 0 (t), γ 00 (t))|
.
kγ 0 (t)k3
1.4. Wyznaczyć długość i krzywiznę następujących krzywych płaskich, gdzie a > 0.
(a) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (cos t + t sin t, sin t − t cos t) ∈ R2 .
(b) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = a(cos3 t, sin3 t) ∈ R2 (asteroida).
(c) [0, 2π] 3 t 7→ γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t) ∈ R2 (cykloida).
1.5. Znaleźć parametryzację łukową, pole styczne, normalne i krzywiznę krzywej (0, 1) 3 t 7→
c(t) = (t2 , t3 ) ∈ R2 . Narysować krzywą (−1, 1) 3 t 7→ c(t) = (t2 , t3 ) ∈ R2 (ostrze).
1.6. Niech γa : R → R2 będzie krzywą o następującej parametryzacji
γa (t) =
 1
2


t,
t
sin

t
dla t 6= 0,



dla t = 0.
(0, 0)
Pokazać, że
(a) γa jest ciągła dla a > 0 i nie jest ciągła dla a 6= 0.
(b) γa jest różniczkowalna dla a ∈ (1, 2), ale nie jest klasy C 1 .
1