wykład 9 pochodna funkcji cz i - Katedra Matematyki

WYKŠAD 9
POCHODNA FUNKCJI CZ I
Z.Šagodowski
Politechnika Lubelska
Katedra Matematyki
13 grudnia 2015
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
1 / 16
Niech
f
x0 tzn O(x0 , δ0 ).
x który mo»e by¢
x0 + 4x ∈ O(x0 , δ0 ).
b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu punktu
Symbol
4x
4x > 0
lub
Przyrostowi
oznacza przyrost zmiennej niezale»nej
4x < 0 ale ró»ny do zera i taki, »e
4x odpowiada przyrost 4y , tj. przyrost
warto±ci funkcji:
4y = f (x0 + 4x) − f (x0 )
który mo»e by¢ dodatni , ujemny albo równy zero.
Uwaga
U»ywamy tak»e oznacze«
4y = 4f ,
a
4x = h.
Denicja
Ilorazem ró»nicowym funkcji
f
w punkcie
x0
dla przyrosty
4x
zmiennej
niezale»nej nazywany
4y
f (x0 + 4x) − f (x0 )
=
.
4x
4x
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
2 / 16
Denicja
Granic¦ wªa±ciw¡ ilorazu ró»nicowego, gdy
funkcji f w punkcie
x0
4x → 0 nazywamy
f 0 (x0 ), tzn
pochodn¡
i oznaczamy symbolen
f 0 (x0 ) =
lim
4x→0
f (x0 + 4x) − f (x0 )
.
4x
Dla uproszczenia zapisu powy»szy wzór b¦dziemy przedstawia¢ w postaci:
f 0 (x0 ) =
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h→0
h
lim
Uwaga
Inne oznaczenie na pochodn¡ to
Z.Šagodowski (P.L.)
df
dx (x0 ).
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
3 / 16
f
Zaªó»my, »e pochodna funkcji
istnieje w ka»dym punkcie pewnego zbioru
A.
Denicja
Funkcj¡ pochodn¡ funkcji f
x0 ∈ A
nazywamy funkcj¦ , która ka»dej liczbie
przyporz¡dkowuje dokªadnie jedna liczba
oznaczamy symbolem
Niech funkcja
f
f 0.
f 0 (x0 ).
Funkcj¦ pochodn¡
b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu 0−
(x0 , δ0 )
Denicja
Pochodna lewostronn¡ funkcji
f
w punkcie
x0
oznaczon¡ symbolem
f−0 (x0 )
nazywamy
f−0 (x0 ) =
Z.Šagodowski (P.L.)
lim
4x→0−
f (x0 + 4x) − f (x0 )
.
4x
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
4 / 16
Niech funkcja
f
b¦dzie okre±lona w pewnym otoczeniu
O+ (x0 , δ0 )
Denicja
Pochodna prawostronn¡ funkcji
f+0 (x0 )
f
w punkcie
x0
oznaczon¡ symbolem
nazywamy
f+0 (x0 ) =
lim
4x→0+
f (x0 + 4x) − f (x0 )
.
4x
Twierdzenie
Funkcji f ma pochodn¡ w punkcie
f−0 (x0 ) = f+0 (x0 )
Z.Šagodowski (P.L.)
x0
wtedy i tylko wtedy gdy
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
5 / 16
Twierdzenie
Je»eli funkcja
f
ma pochodn¡ w punkcie
x0
to jest w tym punkcie ci¡gªa.
Uwaga
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe tzn funkcja ci¡gªa w pewnym
punkcie mo»e nie mie¢ w tym punkcie pochodnej.
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
6 / 16
Denicja
Mówimy, »e istnieje pochodna
funkcja
f
f0
w przedziale domkni¦tym
posiada pochodn¡ w przedziale otwartym
pochodne jednostronne
f+0 (a) i f−0 (b)
(a, b)
< a, b >
, je»eli
oraz istniej¡
.
Uwaga
O funkcji która ma pochodn¡ w punkcie
w tym punkcie. O funkcji
f,
x0
mówimy, ze jest ró»niczkowalna
która ma pochodn¡ w ka»dym punkcie
pewnego zbioru, mówimy, »e jest ró»niczkowalna w tym zbiorze.
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
7 / 16
Interpretacja geometryczna
Je»eli
∆x → 0
to geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy ilorazu
ró»nicowego jest istnienie granicznego poªo»enia siecznej do wykresu funkcji
f,
czyli istnienie stycznej do tego wykresu w punkcie
(x0 , f (x0 )).
Prawdziwy
jest równie» fakt odwrotny: je»eli wykres funkcji posiada styczn¡ w punkcie
x0
to funkcja posiada pochodn¡ w tym punkcie. Pochodna funkcji f w
punkcie
x0
jest równa tg
α,
gdzie
α
stycznej poprowadzonej do krzywej
oznacza k¡t nachylenia od osi ox
y = f (x)
(x0 , f (x0 ))
(x0 , f (x0 )).
y = f (x) w punkcie
w punkcie
Równanie stycznej do wykresu krzywej o równaniu
mo»na zapisa¢ w postaci:
y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ).
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
8 / 16
Obliczanie pochodnych
Pochodne wa»niejszych funkcji elementarnych:
(c)0 = 0, c -staªa
(x α )0 = αx α−1 α ∈ R
zakres zmienno±ci
(sin x)0
= cos x, x ∈ R
(cos x)0
= − sin x, x ∈ R
1
cos2 x , x
(ctg x)0 = − sin12 x ,
(tg x)0
(ax )0
=
=
ax
(e x )0
=
ex ,
(loga
x)0
(ln x)0
=
1
∈ R, x 6=
π
2
x
zale»y od parametru
α
+ kπ, k ∈ Z
x ∈ R, x 6= kπ, k ∈ Z
· ln a, x ∈ R, a ∈ R+ \{1}
x ∈ R,
1
x ln a ,
x ∈ R+ , a ∈ R+ \{1}
= x , x ∈ R+ ,
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
9 / 16
(arc sin x)0 =
√ 1
,
1−x 2
x ∈ (−1, 1),
(arc cos x)0 = − √11−x 2 , x ∈ (−1, 1)
1
1+x 2 , x ∈ R,
1
(arc ctg x)0 = − 1+x
2 , x ∈ R,
(arc tg x)0 =
(sinh x)0 = cosh x, x ∈ R,
(cosh x)0 = sinh x, x ∈ R,
1
, x
cosh2 x
1
0
(ctgh x) = − sinh2 x ,
(tg hx)0 =
Z.Šagodowski (P.L.)
∈ R,
x ∈ R\{0}.
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
10 / 16
Twierdzenie
f , g s¡ funkcjami ró»niczkowalnymi w punkcie x0 i c ∈ R to funkcje
cf , f + g f − g f · g s¡ ró»niczkowalne w x0 a gdy g (x0 ) 6= 0 to funkcja gf
jest ró»niczkowalna w x0 . Zachodz¡ przy tym wzory:
Je»eli
(c · f )0 (x0 ) = c · f 0 (x0 ),
(f ± g )0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ),
(f · g )0 (x0 ) = f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
0
0
(x0 )g 0 (x0 )
f
(x0 ) = f (x0 )g (xg0 2)−f
, o ile g (x0 ) 6= 0
g
(x0 )
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
11 / 16
Twierdzenie (o pochodnej funkcji zªo»onej)
Niech
f
b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ w punkcie
ró»niczkowaln¡ w punkcie
ró»niczkowalna w
x0
y0 = f (x0 ).
x0
g funkcj¡
g ◦ f jest
, a
Wtedy funkcja
oraz
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) f 0 (x0 ).
Uwaga
Wzór na pochodn¡ funkcji zªo»onej sªu»y tak»e do obliczania pochodnej
funkcji wielokrotnie zªo»onej; w tym celu nale»y go wielokrotnie zastosowa¢.
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
12 / 16
Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej)
Je»eli funkcja
f
speªnia nast¦puj¡ce warunki:
jest ci¡gªa na otoczeniu 0
(x0 , δ0 )
jest ±ci±le monotoniczna na otoczeniu 0
ma pochodn¡
f 0 (x
0)
która z zaª.2 jest
(x0 , δ0 )
6= 0
to funkcja odwrotna do funkcji f ma pochodna w punkcie
y0 = f (x0 ),
która
wyra»a si¦ wzorem:
0
f −1 (y0 ) =
Z.Šagodowski (P.L.)
1
f 0 (x0 )
=
1
f 0 (f −1 (y0 ))
POCHODNA FUNKCJI
.
13 grudnia 2015
13 / 16
Denicja (Ró»niczka funkcji)
x0 . Ró»niczk¡ funkcji f w punkcie
4x = x − x0 okre±lon¡ wzorem:
Niech funkcja f ma pochodn¡ w punkcie
x0
nazywamy funkcj¦
df
zmiennej
df (4x) = f 0 (x0 )4x.
Twierdzenie (Zastosowanie ró»niczki do oblicze« przybli»onych)
Je»eli funkcja
f
ma pochodn¡ w punkcie
x0
to
f (x0 + 4x) ≈ f (x0 ) + f 0 (x0 )4x.
przy czym bª¡d jaki popeªniamy zast¦puj¡c przyrost funkcji
4f = f (x0 + 4x) − f (x0 )
zera ni» 4x tzn
jej ró»niczk¡
df = f 0 (x0 )4x
d¡»y szybciej do
4f − df
= 0.
4x→0
4x
lim
Z.Šagodowski (P.L.)
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
14 / 16
Twierdzenia o warto±ci ±redniej
Twierdzenie (Rolle'a)
Je»eli funkcja
f (a) = f (b)
f
< a, b >, ró»niczkowalna w (a, b)
0
punkt c ∈ (a, b) taki, ze f (c) = 0.
jest ci¡gªa w
to istnieje
oraz
Uwaga
Z twierdzenia Rolle'a wynika, »e istnieje taki punkt
do krzywej
y = f (x)
Z.Šagodowski (P.L.)
w punkcie
(c, f (c))
c ∈ (a, b)
, »e styczna
jest równolegªa do osi Ox .
POCHODNA FUNKCJI
13 grudnia 2015
15 / 16
Twierdzenie (Lagrange'a)
f jest ci¡gªa w < a, b > oraz
(a)
c ∈ (a, b) taki, ze f 0 (c) = f (b)−f
.
b−a
Je»eli funkcja
punkt
ró»niczkowalna w
(a, b)
istnieje
Uwaga
Z twierdzenia Lagrange'a wynika, »e istnieje taki punkt
styczna do wykresu
y = f (x)
siecznej tego wykresu przechodz¡cej przez punkty
Z.Šagodowski (P.L.)
c ∈ (a, b)
, »e
w punkcie (c, f (c)) jest równolegªa do
POCHODNA FUNKCJI
(a, f (a))
oraz
(b, f (b))
13 grudnia 2015
.
16 / 16