zadania - Informacje dla uzytkowników serwera antenor.pol.lublin.pl

NARZĘDZIA TEORII GRAFÓW W TECHNICE
Zestaw zadań z pojęć wstępnych
We wszystkich zadaniach chodzi o grafy proste, tzn. bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Z. 1. Ile najmniej, a ile najwięcej krawędzi może mieć graf na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n} ?
Ile jest grafów na zbiorze wierzchołków {1, . . . , n}, które mają dokładnie
a) 1 krawędź ?
b) 2 krawędzie ?
c) m krawędzi ?
Z. 2. Czy w każdej grupie witających się osób znajdziemy dwie, które przywitały się z tą samą liczbą ludzi ?
Przetłumacz problem na język grafów (i rozwiąż).
Z. 3. W pewnej grupie n osób każdy przywitał się z czterema osobami. Ile było powitań ?
Z. 4. Niech di oznacza liczbę osób, z którymi przywitała się i-ta osoba (i = 1, . . . , n) w pewnej n-osobowej
grupie.
a) Ile było powitań ?
b) Jak sformułować to zadanie w języku teorii grafów ?
Z. 5. W pewnej klasie było 31 uczniów. Część klasy wyjechała na wycieczkę. Każdy z uczestników wycieczki
wysłał kartkę do każdego do każdego z uczniów, którzy nie wyjechali. Ilu uczniów wyjechało na wycieczkę,
jeżeli wiadomo, że liczba wysłanych kartek jest największa z możliwych? Jak sformułować to zadanie w języku
teorii grafów ?
Z. 6. Czy istnieje 5-wierzchołkowy graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3?
Z. 7. Są dwie sieci komputerowe, S1 i S2 . Każdy komputer z sieci S1 , liczącej 100 maszyn, jest połączony
z dokładnie 3 komputerami z S2 , a każdy z sieci S2 jest połączony z dokładnie 6 komputerami z S1 . Czy
wiadomo, ile komputerów jest w sieci S2 ?
Z. 8. Niech G będzie grafem prostym o 2k wierzchołkach, niezawierającym trójkątów. Wykazać, że G ma co
najwyżej k 2 krawędzi i podać przykład grafu, w którym to górne oszacowanie jest osiągnięte.
Z. 9. Narysuj wszystkie grafy na 4 wierzchołkach, z których żadne dwa nie są izomorficzne. Następnie połącz
je w pary graf – jego dopełnienie.
Z. 10. Narysuj wszystkie nieizomorficzne grafy 3-regularne o co najwyżej 6 wierzchołkach.
Z. 11. Podać przykład grafu izomorficznego ze swoim dopełnieniem.
2
Z. 12. Zbadaj, czy podane grafy są izomorficzne. Jeśli nie – uzasadnij dlaczego, jeśli tak – wskaż izomorfizm.