metody probabilistyczne i statystyka

METODY PROBABILISTYCZNE
I STATYSTYKA
PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
Opracował Marek Cieciura
SPIS TREŚCI
1. ROZLICZENIE GODZINOWE......................................................................................... 2
2. CELE ZAJĘĆ Z PRZEDMIOTU....................................................................................... 2
3. ORGANIZACJA ZAJĘĆ .................................................................................................... 2
3.1. KLUCZOWE ZAŁOśENIA .................................................................................................... 2
3.2. TEMATY WYKŁADÓW ....................................................................................................... 2
3.3. TEMATY ĆWICZEŃ ............................................................................................................ 3
4. DODATKOWE MATERIAŁY ELEKTRONICZNE ...................................................... 4
4.1. KRZYśÓWKA .................................................................................................................... 4
4.2. TEST 1 .............................................................................................................................. 4
4.3. TEST 2 .............................................................................................................................. 4
4.4. ZADANIA Z LUKAMI .......................................................................................................... 4
4.5. ZADANIA OPISOWE ........................................................................................................... 5
5. OCENA POSTĘPÓW STUDENTA ................................................................................... 5
5.1. ĆWICZENIA ....................................................................................................................... 5
5.2. WYKŁADY ........................................................................................................................ 6
5.3. EGZAMINY ........................................................................................................................ 6
5.3.1. Egzamin w terminie zerowym................................................................................... 6
5.3.2. Egzamin w terminie podstawowym .......................................................................... 7
5.3.3. Egzamin w I terminie poprawkowym ....................................................................... 8
5.3.4. Egzamin w II terminie poprawkowym...................................................................... 8
6. LITERATURA ................................................................................................................... 10
6.1. PODSTAWOWA ................................................................................................................ 10
6.2. DODATKOWA.................................................................................................................. 10
Warszawa, wrzesień 2010
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
1
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
1. ROZLICZENIE GODZINOWE
Rodzaj studiów
Razem
Wykłady
Ćwiczenia
Stacjonarne
75
45
30
Niestacjonarne
60
30
30
2. CELE ZAJĘĆ Z PRZEDMIOTU
Przyswojenie wiedzy w zakresie:
• Podstawowych pojęć i metod rachunku prawdopodobieństwa i statystyki;
• Formułowania problemów w kategoriach rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, zasad wyboru i stosowania odpowiednich metod do ich rozwiązywania oraz umiejętności interpretacji uzyskiwanych wyników.
Opanowanie umiejętności w zakresie:
• Obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń, wartości oczekiwanej, wariancji i odchylenia
standardowego.
• Oceny zaleŜności statystycznej i korelacji dwóch zmiennych.
• Przeprowadzania prostego wnioskowania statystycznego.
• Analizy algorytmów pod względem średniego zachowania.
• Obliczania niezawodności prostych układów sprzętowych i systemów programowych.
• Zastosowania koncepcji procesów stochastycznych do analizy wydajności prostych układów sprzętowo-programowych.
3. ORGANIZACJA ZAJĘĆ
3.1. Kluczowe załoŜenia
W ramach procesu dydaktycznego występują następujące elementy:
• Wykłady, których tematy podano w punkcie 3. 2.
• Ćwiczenia rachunkowe, których tematy podano w punkcie 3.3.
• Zadania domowe, których zawartość podano w punkcie 3.4.
• Dwa repetytoria
• Ankieta Jakość procesu dydaktycznego - podana na formularzu zamieszczonym w extranecie
• Dodatkowe materiały elektroniczne, opisane w punkcie 4
• Oceny postępów studenta, której zasady opisano w punkcie 5
3.2. Tematy wykładów
Lp
Temat
ST
NS
1.
Sprawy organizacyjne
1
1
2.
Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
3
1
3.
Zmienne losowe jednowymiarowe i dwuwymiarowe, skokowe i ciągłe
3
2
4.
Parametry rozkładu zmiennych losowych
3
2
5.
Typowe rozkłady zmiennych losowych
3
2
2
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
Lp
Temat
ST
NS
6.
Twierdzenia graniczne.
2
1
7.
Seminarium - Powtórzenie 1
1
1
8.
Pojęcia wstępne statystyki
1
1
9.
Podstawowe statystyki i ich rozkłady
2
1
10. Estymacja punktowa i przedziałowa
4
3
11. Weryfikacja parametrycznych i nieparametrycznych hipotez statystycznych
6
4
12. Analiza korelacji
2
1
13. Seminarium - Powtórzenie 2
1
1
14. Procesy stochastyczne
4
3
15. Analiza algorytmów pod względem średniego zachowania.
3
2
3
2
2
1
1
1
45
30
Obliczania niezawodności prostych układów sprzętowych i systemów programowych.
Analiza wydajności prostych układów sprzętowo-programowych - zastosowa17.
nia koncepcji procesów stochastycznych.
18. Seminarium - Powtórzenie 3
16.
Razem
Podczas seminariów nastąpi powtórzenie najwaŜniejszych zagadnień omówionych podczas
wykładów – tematy będą omawiane przez studentów, z pomocą wykładowcy, z wykorzystaniem notatek z wykładów oraz podręczników.
3.3. Tematy ćwiczeń
I. Rachunek prawdopodobieństwa
1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
2. Zmienne losowe skokowe
3. Zmienne losowe ciągłe
4. Parametry rozkładu zmiennych losowych
II. Statystyka matematyczna
5. Estymacja punktowa
6. Estymacja przedziałowa
7. Weryfikacja hipotez parametrycznych
8. Weryfikacja hipotez nieparametrycznych
9. Analiza korelacji
Uwagi:
• KaŜdy temat - 3 godziny
• Jedna godzina do dodatkowego wykorzystania na jeden z tematów według decyzji prowadzącego
• 2 prace kontrolne po jednej godzinie – podczas prac kontrolnych moŜliwość korzystania z
JEDNEGO podręcznika po podjęciu decyzji przez prowadzącego.
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
3
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
4. DODATKOWE MATERIAŁY ELEKTRONICZNE
Dodatkowe materiały elektroniczne dostępne są pod adresem http://www.cieciura.net/zsw
4.1. KrzyŜówka
KrzyŜówka składa się ze 100 haseł. Hasła te naleŜy określić na podstawie podawanych objaśnień.
KrzyŜówka udostępniana jest w 2 wersjach: elektronicznej i papierowej. Wersja elektroniczna
moŜe być rozwiązywana bezpośrednio podczas wyświetlania na ekranie monitora - w kaŜdym
momencie moŜna sprawdzić poprawność podanych haseł i procent wypełnienia krzyŜówki.
Wersja papierowa składa jest z 2 plików zawierających szablon i objaśnienia haseł, które naleŜy wcześniej wydrukować.
4.2. Test 1
Test składa się z 23 pytań jednokrotnego i wielokrotnego wyboru.
W pytaniach jednokrotnego wyboru przy kaŜdej z wyświetlanych odpowiedzi (oznaczanej
małymi literami) występuje przycisk ze znakiem ?.
W pytaniach wielokrotnego wyboru przy kaŜdej z wyświetlanych odpowiedzi (oznaczanej
duŜymi literami) występuje pole wyboru.
W kaŜdym momencie moŜna uzyskać ocenę poprawności wybranych odpowiedzi.
4.3. Test 2
Test składa się z 51 pytań klasyfikacji, porządkowania i przyporządkowania - pogrupowanych
w 4 działy:
1. Rachunek prawdopodobieństwa.
2. Statystyka matematyczna.
3. Procesy stochastyczne i zastosowania metod probabilistycznych w informatyce.
4. Uzupełnienia.
Pytania testu sprawdzają opanowanie wiedzy w zakresie zgrupowanych logicznie pojęć.
W pytaniach klasyfikacji aby udzielić odpowiedzi dla pozycji wyświetlanej w I rzędzie naleŜy
rozwinąć menu dostępne w II rzędzie i wybrać jedną z pozycji.
Pytania przyporządkowania i porządkowania przygotowano w wersji "Przeciągnij i upuść"
(ang. drag and drop).
W kaŜdym momencie moŜna uzyskać ocenę poprawności wybranych odpowiedzi.
4.4. Zadania z lukami
Zamieszczono 5 przykładowych zadań.
1. Dystrybuanta i gęstość zmiennej losowej.
2. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej.
3. Przedział ufności i poziom ufności.
4. Zbiór krytyczny i poziom istotności.
5. Statystyczna ocena algorytmów obliczeniowych.
W kaŜdym z nich naleŜy ustawić kursor na kolejno wybierane luki i wypełniać je wpisując
stosowny tekst. W kaŜdym momencie moŜna kliknąć na przycisk "Sprawdź". Podawany jest
wtedy % prawidłowo wypełnionych luk, obliczany z wykorzystaniem ilości liter brakującego
jeszcze tekstu. MoŜna zobaczyć teŜ treść poprawnych wypełnień, napisanych czcionką pogrubioną.
4
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
4.5. Zadania opisowe
Zamieszczono 6 kluczowych tematów:
1. Zmienne losowe i ich rozkłady.
2. Pojęcia wstępne statystyki.
3. Estymacja.
4. Weryfikacja hipotez.
5. Przegląd metod statystycznych.
6. Procesy stochastyczne i zastosowania.
NaleŜy sporządzić charakterystyki zamieszczonych tematów z wykorzystaniem dostępnych
słów kluczowych w postaci haseł pochodzących z krzyŜówki i testów, wybieranych z przewijanej listy. Wybrane słowa kluczowe naleŜy uzupełnić odpowiednim tekstem (w tym objaśnieniami haseł z krzyŜówki i testów), tak aby uzyskać wyczerpujący, spójny i logiczny opis
o wymaganej objętości. Opisy wykonywane są w trybie on line, są one wyświetlane na bieŜąco na ekranie monitora. Po zakończeniu opisu wyświetlana jest "formalna" ocena opisu, bazująca na procencie wykorzystanych haseł i objętości opisu. Formalną ocenę pozytywną warunkuje wykorzystanie co najmniej 51% haseł, ocena ta nie uwzględnia "sensowności" opisu co moŜe dokonać przysłowiowy expert.
5. OCENA POSTĘPÓW STUDENTA
5.1. Ćwiczenia
Na ćwiczeniach będą rozwiązywane zadania i pytania testowe z podręcznika podstawowego
oraz udostępnionych materiałów.
Podstawą zaliczenia ćwiczeń jest:
1. Oceny z wykonanych dwóch zadań domowych.
I) Dla zmiennej losowej X ciągłej o podanej gęstości obliczyć:
a) dystrybuantę zmiennej losowej X,
b) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X,
c) Prawdopodobieństwo uzyskania wartości zmiennej losowej z podanego przedziału
[a,b].
II) Zbadano opłaty za kupno przez telefon akcji o ustalonej wartości X wylosowanych
biurach maklerskich (cecha X populacji) i otrzymano, Ŝe średnia opłata wynosi x zł,
zaś odchylenie standardowe s zł.
Zakładamy, Ŝe cecha X ma rozkład normalny.
a) Znajdź przedział ufności dla wartości oczekiwanej opłaty za kupno akcji przez telefon, na poziomie ufności 1-α1.
b) Na poziomie istotności 0,05 sprawdź hipotezy: zerową, Ŝe wartość oczekiwana
opłaty za kupno akcji przez telefon jest równa m0 i alternatywną, Ŝe jest róŜna od
m0 .
c) Znajdź przedział ufności dla wariancji opłaty za kupno akcji przez telefon, na poziomie ufności α2.
KaŜdy student otrzyma zadanie o róŜnych wartościach x , s, m0, α1 i α2.
2. Oceny z dwóch prac kontrolnych
3. Oceny cząstkowe za przygotowanie do ćwiczeń oraz obecność i aktywność na ćwiczeniach.
KaŜdą nieobecność naleŜy rozliczyć według ustaleń prowadzącego.
Zaliczenie ćwiczeń jest na ocenę, wyznaczaną w oparciu o uzyskane punkty:
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
5
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
Liczba
punktów
10
Podstawa przyznawania punktów
Zadania domowe (po 5 pkt)
Aktywność i obecność na ćwiczeniach
10
Przygotowanie do ćwiczeń
5
Dwie prace kontrolne (po 17,5 pkt)
35
Razem
60
Oceny będą wystawiane na podstawie w/w punktów zgodnie z poniŜsza tabelą:
ndst
[0,30)
Dst
[30-35)
dst½
[35-40)
db
[40,45)
db½
[45,50)
bdb
[50,55)
cel
[55,60]
5.2. Wykłady
Podczas semestru, a w szczególności podczas wykładów będzie moŜliwość zebrania punktów
P na podstawie których moŜna uzyskać szanse na uczestnictwo w egzaminie w terminie zerowym i które będą uwzględniane podczas egzaminu w terminie podstawowym – patrz poniŜej.
Punkty te będą określane w sposób następujący:
Liczba punktów (max)
Podstawa przyznawania punktów
Obecność na wykładach i powtórzeniach/seminariach
20
Aktywność na wykładach i powtórzeniach/seminariach
20
Zgłoszenie nowych pytań testowych i uwag do podręcznika podstawowego
15
Oddanie ankiety dotyczącej przedmiotu podczas III seminarium
5
Razem
60
5.3. Egzaminy
5.3.1. Egzamin w terminie zerowym
Egzamin wyłącznie dla studentów zaproszonych przez prowadzącego na podstawie punktów zgromadzonych podczas wykładów oraz tych którzy uzyskali z zaliczenia ćwiczeń
oceny 5 lub 6. Z reguły moŜliwe na egzaminie tylko oceny 5 i 6 lub uznanie egzaminu za
niebyły.
Warunkiem przystąpienia/uznania pozytywnych wyników w terminie zerowym jest zaliczenie ćwiczeń najpóźniej do dnia egzaminu w terminie podstawowym.
Program egzaminu:
a. wykazanie się znajomością podstawowych pojęć w zakresie określonym krzyŜówką –
punkt 4.1, jest to warunek kontynuacji egzaminu
b. ustna odpowiedź na 2 tematy wylosowane spośród podanych poniŜej:
TEMAT 1
1. Określenie zmiennej losowej, rodzaje zmiennych losowych, określanie rozkładu
zmiennych losowych
2. Parametry rozkładu zmiennej losowej
6
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Przykłady rozkładów ciągłych zmiennych losowych
Przykłady rozkładów skokowych zmiennych losowych
Istota twierdzeń granicznych
Określenie procesu losowego, rodzaje procesów losowych, określanie rozkładu procesów losowych
TEMAT 2
Estymacja parametryczna punktowa
Estymacja parametryczna przedziałowa
Weryfikacja hipotez parametrycznych, przykłady testów
Weryfikacja hipotez nieparametrycznych, przykłady testów
Korelacja zmiennych losowych
Ocena algorytmów pod względem średniego zachowania, ocena niezawodności i wydajności oprogramowania i sprzętu komputerowego
Niezgłoszenie nie ma Ŝadnych konsekwencji. Dla poprawy uzyskanej oceny moŜliwość
zdawania egzaminu w terminie podstawowym.
5.3.2. Egzamin w terminie podstawowym
Warunkiem przystąpienia /uznania pozytywnych wyników jest zaliczenie ćwiczeń najpóźniej do dnia egzaminu w terminie podstawowym.
Program egzaminu:
a. Pisemne scharakteryzowanie 5 podstawowych pojęć – za charakterystykę pojęcia max
4 punkty
Lista podstawowych pojęć:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Zdarzenia losowe
Definicje prawdopodobieństwa
Zmienna losowa
Dystrybuanta zmiennej losowej
Gęstość zmiennej losowej
Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Odchylenie standardowe zmiennej losowej
Wariancja zmiennej losowej
Korelacja zmiennych losowych
ZaleŜność zmiennych losowych
Rozkłady łączne, warunkowe i brzegowe
Rozkład dwumianowy zmiennej losowej
Rozkład Poissona zmiennej losowej
Rozkład wykładniczy zmiennej losowej
Rozkład normalny zmiennej losowej
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
Przedmiot rozwaŜań statystyki matematycznej
Podstawowe statystyki i ich rozkład
Przedział ufności i poziom ufności
Zbiór krytyczny i poziom istotności
Ocena estymatorów
Przykłady testów parametrycznych
Przykłady testów nieparametrycznych
Rodzaje współczynników korelacji
Proces losowy
Rodzaje procesów losowych
Próbkowanie procesów losowych
Statystyczna ocena algorytmów obliczeniowych
28. Niezawodność oprogramowania
29. Niezawodność sprzętu komputerowego
30. Wydajność oprogramowania
b. Egzamin testowy składający się z pytań jednokrotnego i wielokrotnego wyboru oraz
pytań klasyfikacji, przyporządkowania i uporządkowania. Za kaŜdą prawidłową odpowiedź będą przyznawane punkty w wysokości zaleŜnej od trudności pytania i liczby
podawanych odpowiedzi. Nie będzie oceniany brak odpowiedzi, ani odpowiedź błędna. Z testu moŜna będzie uzyskać maksymalnie 100 punktów.
Podczas tej części egzaminu moŜliwość korzystania z JEDNEGO podręcznika.
Pytania poza nielicznymi wyjątkami pytania zostaną wybrane z dodatkowych materiałów elektronicznych scharakteryzowanych w rozdziale 5 i przedstawionych poniŜej.
c. Obliczenie punktów z egzaminu X = X1 + X2; 0 ≤ X ≤ 120
gdzie: X1 – liczba punktów za charakterystyki pojęć; X2 – liczba punktów z testu.
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
7
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA – PROPOZYCJE DYDAKTYCZNE
d. Do punktów z egzaminu X będą doliczane punkty Y wyznaczane na podstawie punktów zebranych P zgodnie z poniŜszą zasadą:
P


Y = P * (5 / 3 − 60 / X)

P/3

X ≤ 40
40 < X < 80
X ≥ 80
Y
P
P/3
X
40
80
120
Rysunek 1. Wyznaczanie premii przyznanej na podstawie premii uzyskanej
Taka postać zaleŜności wynika z poniŜszego podejścia:
Premia uzyskana powinna być w całości uwzględniana przy niskich wynikach testu dla
zwiększenia szansy na zaliczenie
• Stopnie najwyŜsze powinny być przede wszystkim skutkiem wysokich wyników testu
Oceny będą wystawiane na podstawie Z = X + Y zgodnie z poniŜsza tabelą:
•
ndst
[0,70)
dst
[70-85)
dst½
[85-95)
db
[95,105)
db½
bdb
cel
[105,115) [115,125) [125,140]
Dla „zatwierdzenia” oceny 5 i 6 nie jest wykluczone obowiązkowe kontynuowanie
egzaminu w formie ustnej – przy nieobecności ocena 4½.
Nomogram do wyznaczania stopni dla wybranych wyników z testu i uzyskanej premii
zamieszczono na rys. 2 – występują na nim literowe oznaczenia stopni.
5.3.3. Egzamin w I terminie poprawkowym
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń.
Na egzaminie będą podobne pytania jak w terminie podstawowym (część 1 i część 2) +
dodatkowe pytania testowe.
Do wyników z testu nie będą doliczane punkty zdobyte podczas semestru. Wynik pozytywny – jeŜeli liczba uzyskanych punktów będzie co najmniej równa 50% moŜliwych do
uzyskania punktów.
5.3.4. Egzamin w II terminie poprawkowym
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń.
Na egzaminie będą podobne pytania jak w I terminie poprawkowym (część 1 i część 2) +
dodatkowe pytania testowe.
Do wyników z testu nie będą doliczane punkty zdobyte podczas semestru. Wynik pozytywny – jeŜeli liczba uzyskanych punktów będzie co najmniej równa 50% moŜliwych do
uzyskania punktów. Przy uzyskaniu oceny 2½ - moŜliwe dla poprawy na 3 kontynuowanie egzaminu w formie ustnej.
8
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
Oznaczenia stopni
Stopnie
Oznaczenia
P
60.
55.
50.
45.
40.
35.
30.
25.
20.
15.
10.
5.
0.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
0
0
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
0
5
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
1
0
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
1
5
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
2
0
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
A
0
2
5
2
A
C
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
A
0
3
0
D
C
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
0
3
5
3
B
D
D
C
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
0
4
0
D
D
C
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
0
4
5
3½
C
D
D
C
C
B
B
B
B
A
A
A
A
A
0
5
0
D
D
C
C
C
B
B
B
B
A
A
A
A
0
5
5
4
D
D
D
C
C
C
B
B
B
B
B
A
A
A
0
6
0
D
D
C
C
C
C
B
B
B
B
B
A
A
0
6
5
4½
E
D
D
D
C
C
C
C
B
B
B
B
B
B
0
7
0
D
D
D
C
C
C
C
C
B
B
B
B
B
0
7
5
5
F
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
B
B
B
0
8
0
E
D
D
D
D
D
D
C
C
C
C
C
C
0
8
5
6
G
E
E
E
E
D
D
D
D
D
D
C
C
C
0
9
0
F
E
E
E
E
E
E
D
D
D
D
D
D
0
9
5
F
F
F
F
E
E
E
E
E
E
D
D
D
1
O
0
G
F
F
F
F
F
F
E
E
E
E
E
E
1
O
5
G
G
G
G
F
F
F
F
F
F
E
E
E
1
1
0
G
G
G
G
G
G
G
F
F
F
F
F
F
1
1
5
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
F
F
F
1
2
0
X
Rysunek 2. Nomogram do wyznaczania stopni dla wybranych wyników z testu x i uzyskanej premii p
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11
9
6. LITERATURA
6.1. Podstawowa
• Marek Cieciura, Janusz Zacharski: Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, Vizja
Press&IT, Warszawa 2009.
6.2. Dodatkowa
• Witold Konecki: Statystyka dla inŜynierów, PWN, Warszawa 1999.
• Janusz Sosnowski: Testowanie i niezawodność systemów komputerowych, Exit, Warszawa 2005.
• Oleg Tikhonenko: Metody probabilistyczne analizy systemów informacyjnych, Exit, Warszawa 2006.
• Herman Kopetz: Niezawodność oprogramowania, WNT, Warszawa 1980
• Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Wydawnictwa Politechniki Białostockiej, Białystok 1995.
Portal „Studia informatyczne” http://wazniak.mimuw.edu.pl – „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka”.
10
Ostatnia aktualizacja: poniedziałek, 20 września 2010 13:11