Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki

Zadania i problemy do wykładu Wstęp do biomatematyki
(Zestaw nr 3)
Zadania
Zadanie 1. Rozpatrzmy następujący model wchłaniania lekarstwa:
an+1 = an − kan + b,
gdzie an oznacza ilość lekarstwa w krwioobiegu po n dawkach aplikowanych w regularnych odstępach czasu.
• Jakie jest znaczenie parametrów k i b? Co możesz powiedzieć o ich znaku oraz
wielkości?
• Wyznacz punkty stacjonarne oraz zbadaj ich stabilność poprzez linearyzację.
• Korzystając z metody graficznej przeanalizuj model. Jaka będzie ilość lekarstwa w krwioobiegu po upływie długiego czasu? W jaki sposób zależy to od
parametrów modelu?
• Jak powinna być dobrana wielkość parametru b aby zapewnić efektywną ale
nie toksyczną ilość lekarstwa w krwioobiegu?
Zadanie 2. Rozpatrzmy następujący model mający na celu zbadanie szans na przeżycie populacji wielorybów. Zakładamy, że w sytuacji gdy liczba wielorybów spadnie
poniżej m populacja wielorybów ulegnie zagładzie. Dodatkowo zakładamy, że wielkość populacji wielorybów jest ograniczona przez pojemność środowiska M . Tak więc
gdy liczebność wielorybów jest większa niż M ich liczebność zaczyna się zmniejszać.
Niech an oznacza liczbę wielorybów po n latach. Przedyskutuj następujący model
an+1 = an − k(M − an )(an − m),
gdzie k > 0. Czy model spełnia przyjęte założenia o modelowanej populacji?
• Wyznacz punkty stacjonarne oraz zbadaj ich stabilność poprzez linearyzację.
Zakładamy, że M = 5000, m = 100 oraz k = 0, 0001.
• Korzystając z metody graficznej przeanalizuj model.
• Dla różnych wartości początkowych przestaw na wykresie wartości an jako
funkcję od n.
• Model ma dwie poważne wady. Wskazówka. Rozpacz sytuację gdy a0 < m oraz
gdy a0 M .
• Zaproponuj sposób poprawienia modelu tak aby uniknąć tych wad.
Zadanie 3. Zadanie dotyczy złożenia f 2 (x) odwzorowania logistycznego f (x) =
rx(1 − x).
• Podaj postać odwzorowania f 2 (x).
• Wyznacz punkty stacjonarne odwzorowania f 2 (x). Sprawdź, że nietrywialny
cykl rzędu 2 pojawia się tylko gdy r > 3.
d 2
• Policz dx
f (x). Sprawdź, że nietrywialny cykl rzędu 2 jest stabilny gdy 3 <
√
√
r < 1 + 6 i niestabilny gdy r > 1 + 6.
Zadanie 4. Zadanie dotyczy złożenia f 4 (x) odwzorowania logistycznego f (x) =
rx(1 − x).
• Narysuj wykres odwzorowania f 4 (x) dla różnych wartości parametru r. porównaj otrzymane wykresy z odpowiednimi wykresami odwzorowań f (x) i f 2 (x).
• Dla jakiej wartości parametru r pojawia się cykl rzędu 4?
• Dla jakich wartości parametru r cykl rzędu 4 staje się niestabilny.
Zadanie 5. Wszystkie poniższe dyskretne modele rozwoju populacji pochodzą z literatury ekologicznej i były używane do modelowania rzeczywistych populacji. Wyznacz nieujemne stany stacjonarne oraz przedyskutuj ich stabilność.
Nn
1+r 1−
K
(i) Nn+1 = Nn
(ii) Nn+1 = rNn1−b ,
Nn+1 = rNn ,
(iii) Nn+1 =
rNn
1+
Nn
K
,
gdy Nn > K,
gdy Nn < K,
b .
Krzysztof Topolski