Lista 6

Lista 6
Zadania ze skryptu: H.Jasiulewicz / W.Kordecki ”Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna”
1. Niech X1 , X2 i X3 będą niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z rozkładu
o nieznanej średniej θ i wariancji 1. Definiujemy statystyki:
1
1
2
T1 = X1 + X2 + X3 ,
6
6
3
1
2
2
T2 = X1 + X2 + X3 ,
5
5
5
1
1
1
T3 = X1 + X2 + X3 .
3
3
3
Oblicz obciążenie estymatorów oraz wariancje. Który z nich jest najlepszy?
2. Niech T1 oraz T2 będą nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru θ
oraz V arTi = σi2 , i = 1, 2. (a) Pokaż, że statystyka T = aT1 + (1 − a)T2 jest
estymatorem nieobciążonym dla każdego a. (b) Wyznacz taką wartość a, dla której
wariancja estymatora jest najmniejsza.
3. Niech X1 , . . . , Xn będzie p.p.l. z rozkładu Poissona P(λ). Do oszacowania λ użyto
estymatorów X̄ oraz S 2 (patrz definicja na wykładzie). Który z nich jest estymatorem nieobciążonym?
4. Niech X1 , . . . , Xn będzie p.p.l. z rozkładu U (0, θ) i niech T =
obciążenie estymatora oraz wariancję.
2
n
Pn
i=1
Xi . Oblicz
5. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n, θ). (a) Czy statystyka Xn jest estymatorem nieobiążonym parametru θ? (b) Dla jakiej wartości a
statystyka T = a Xn (1− Xn ) jest estymatorem nieobciążonym parametru θ̃ = θ(1−θ)?
6. Niech X1 , . . . , Xn będzie p.p.l. z rozkładu N (µ, θ2 ). Sprawdzić, że statystyka
T =
n−1
X
1
(Xi+1 − Xi )2
2(n − 1) i=1
jest estymatorem nieobciążonym wariancji θ2 .
AJ