5. Obciążenie i porównanie estymatorów

Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
5. Obciążenie i porównanie estymatorów
Ćw. 5.1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n, p), gdzie p ∈
(0, 1) jest nieznanym parametrem. Dla dowolnych, ustalonych a, b, c ∈ R, znaleźć
estymator nieobciążony parametru θ = ap2 + bp + c.
Ćw. 5.2 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ) oraz niech
n
)∑
(
X
1 i=1 i
ĝ(X) = 1 −
n
będzie estymatorem wartości funkcji g(λ) = e−λ . Pokaż, że:
(a) ĝ(X) jest estymatorem nieobciążonym,
(b) błąd średniokwadratowy estymatora ĝ(X) wynosi e−2λ (eλ/n − 1).
Ćw. 5.3 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu jednostajnego U (0, θ).
a) Dla jakiego α estymator
ĝ1 (X1 , . . . , Xn ) = αXn:n
parametru θ będzie estymatorem nieobciążonym?
b) Porównaj (w sensie błędu średniokwadratowego) estymator ĝ1 (X1 , . . . , Xn ) z innym estymatorem nieobciążonym parametru θ postaci
2∑
ĝ2 (X1 , . . . , Xn ) =
Xi .
n i=1
n
Ćw. 5.4 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(1/λ), λ > 0. Niech
gb1 (X1 , . . . , Xn ) = X̄,
gb2 (X1 , . . . , Xn ) = cX1:n ,
c>0
będą estymatorami parametru λ. Dobierz stałą c tak, aby gb2 był nieobciążony i
wówczas porównaj błędy średniokwadratowe obu estymatorów.
Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
5. Obciążenie i porównanie estymatorów.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu N (µ, σ 2 ). Dobierz stałą k
tak, aby estymator
n−1
∑
T (X) = k
(Xi+1 − Xi )2
i=1
był nieobciążonym estymatorem parametru σ 2 .
Zad. 5.2 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu o gęstości
f (x) =
2m−1
m
x 1−m 1(0,1) (x),
1−m
0 < m < 1.
Który z estymatorów
ĝ1 (X) = X̄,
ĝ2 (X) = X̄ − 3
należy przyjąć za oszacowanie nieznanego parametru m, jeżeli za kryterium wyboru
estymatora przyjmiemy błąd średniokwadratowy?
Zad. 5.3 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu E(λ), λ > 0. Pokaż, że estyman
∑
1
Xi2 jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu
tor ĝ(X1 , . . . , Xn ) = 2n
i=1
E(λ). Policz błąd średniokwadratowy tego estymatora.
Zad. 5.4 Niech X ma rozkład dwumianowy B(n, θ). Oblicz i porównaj błędy średniokwadratowe dwóch estymatorów parametru θ: θb1 = X/n oraz θb2 = (X + 1)/(n + 2).
Zad. 5.5 Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Poissona P(λ). Dla jakich a ∈
R \ N estymator
∑n
n
+
k=1 1{2} (Xk )
θb =
n−a
jest nieobciążonym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2)?
Zad. 5.6 Niech θb : Rn → [0, 1],
b 1 , . . . , Xn ) =
θ(X
n−
∑n
1{m} (Xi )
,
n
i=1
będzie estymatorem parametru θ = 1 − pm w rozkładzie dwumianowym B(m, p).
Pokaż, że błąd średniokwadratowy estymatora θb wynosi pm (1 − pm )/n.