6. Informacja Fishera, nierówność Cramera-Rao

Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
6. Informacja Fishera, nierówność Cramera-Rao
Ćw. 6.1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie N (µ, σ 2 ). Oblicz informację Fishera I1 (θ) w przypadku:
(a) θ = µ ∈ R,
(b) θ = σ > 0,
(c) θ = σ 2 > 0.
Ćw. 6.2 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu dwumianowego B(m, p).
(a) Wyznacz estymator największej wiarogodności parametru p i na jego podstawie
zbuduj nieobciążony estymator T (X) parametru p.
(b) Sprawdź, czy T (X) realizuje dolne ograniczenie w nierówności Cramera-Rao
i wysnuj odpowiednie wnioski.
Ćw. 6.3 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego U (0, θ). Udowodnij, że statystyka
n+1
Xn:n
T (X) =
n
jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Pokaż, że estymator ten jest superefektywny (czyli ma mniejszy BŚK niż dolne ograniczenie w nierówności CrameraRao).
Ćw. 6.4 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu N (µ, σ 2 ). Wyznacz parametr
a tak, by statystyka
n
∑
T (X) = a
|Xi − µ|
i=1
była estymatorem nieobciążonym parametru σ. Oblicz jego efektywność.
Ćw. 6.5 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu Laplace’a L(0, λ) o gęstości
1 −|x|/λ
fλ (x) = 2λ
e
, x ∈ R, gdzie λ > 0 jest nieznanym parametrem. Sprawdź, czy
n
∑
estymator T (X) = n1
|Xi | jest efektywnym estymatorem parametru λ.
i=1
1
Statystyka matematyczna (2 mie, 2014/2015)
6. Informacja Fishera, nierówność Cramera-Rao
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 6.1 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie gamma Γ(α, λ). Oblicz informację
Fishera I1 (θ) w przypadku:
(a) θ = λ > 0 (parametr α > 0 jest znany),
(b) θ = α > 0 (parametr λ > 0 jest znany).
Zad. 6.2 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu geometrycznego G(p). Oblicz informację Fishera In (p).
Zad. 6.3 Korzystając z nierówności Cramera-Rao, wyznacz dolne ograniczenie dla wariancji nieobciążonego estymatora parametru σ 2 w rozkładzie N (0, σ 2 ).
Zad. 6.4 Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu P(λ), λ > 0. Rozważmy estymator
wielkości g(λ) = P (X1 = 0) postaci
n
(
)∑
X
1 i=1 i
T (X1 , . . . , Xn ) = 1 −
.
n
Czy jest to estymator nieobciążony? Czy jest to estymator efektywny?
Zad. 6.5 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu o gęstości
fλ (x) =
λ3 2 −λx
x e 1[0,+∞) (x),
2
gdzie λ > 0 jest nieznanym parametrem. Pokaż, że X̄/3 jest nieobciążonym i
efektywnym estymatorem 1/λ.
2