Logika i teoria mnogości – Wykład 1 ]

1
Logika i teoria mnogości – Wykład 1
Logika klasyczna to nauka, która ustala reguły badania prawdziwości
stwierdzeń oraz reguły dowodzenia twierdzeń.
Rachunek zdań
Def.1. Podstawowe pojęcie to zdanie, czyli stwierdzenie, które ma jednoznacznie
określoną wartość logiczną: jest albo prawdziwe albo fałszywe.
Stosujemy wartościowanie – czyli przypisanie wartości logicznej zdaniu p:
w(p) = 1 gdy p jest zdaniem prawdziwym, w(p) = 0 gdy p jest zdaniem fałszywym.
W klasycznym rachunku zdań innych możliwości nie ma.
Ze zdań prostych tworzymy zdania złożone przy użyciu spójników logicznych
(funktorów). Najbardziej znane funktory:  (~) negacja (jednoargumentowy),
dwuargumentowe:  - koniunkcja,  - alternatywa,  - implikacja,  równoważność.
Def.2. Zdanie logiczne nazywamy tautologią, jeśli jest zawsze prawdziwe,
niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych (zdań składowych) w
nim występujących.
Def.3. Zdania logiczne Φ i Ψ są równoważne, jeśli zdanie Φ  Ψ jest tautologią.
Ważniejsze prawa rachunku zdań
•
p ⇔ ¬¬p
(prawo podwójnego przeczenia)
•
p ∨ ¬p
(prawo wyłączonego środka)
•
¬( p ∧ ¬p )
(prawo sprzeczności)
•
¬( p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
¬( p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
(prawa de Morgana)
• łączność alternatywy i łączność koniunkcji
• przemienność alternatywy oraz koniunkcji
•
( p ∨ q) ∧ r ⇔ ( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r )
(rozdzielność koniunkcji względem
alternatywy)
•
( p ∧ q) ∨ r ⇔ ( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )
( rozdzielność alternatywy względem
koniunkcji)
•
[( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
( prawo przechodniości implikacji)
•
( p ⇔ q) ⇔ (( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p))
(prawo eliminacji równoważności)
Logika i teoria mnogości – Wykład 1
2
Powyższe prawa są wykorzystywane przy dowodzeniu twierdzeń.
W matematyce często spotykamy twierdzenia postaci: p ⇒ q .
Def.4. Jeśli prawdziwa jest implikacja: p ⇒ q , to zdanie q nazywamy warunkiem
koniecznym zdania p, zaś zdanie p nazywamy warunkiem wystarczającym zdania q.
Funkcje zdaniowe
Def.5. Funkcja zdaniowa jednej zmiennej, to wyrażenie ϕ ( x), x ∈ X ≠ ∅ , które
staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy za zmienną x wstawimy
elementy zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem zmienności funkcji φ. Mówimy, że
x0X spełnia funkcję zdaniową ϕ (x ) , jeśli ϕ ( x0 ) jest zdaniem prawdziwym. Zbiór
elementów spełniających funkcję zdaniową oznaczamy
{x ∈ X : ϕ ( x )} = {x ∈ X : ϕ ( x) jest zdaniem prawdziwym}.
Kwantyfikatory
Niech ϕ (x ) będzie funkcją zdaniową zmiennej xX, zakładamy, że X.
Def.6. Kwantyfikator ogólny (uniwersalny) jest oznaczany symbolem .
Napis (∀x ∈ X ) ϕ ( x ) - czytamy: dla każdego x należącego do X zachodzi ϕ (x ) .
Uwaga: (∀x ∈ X ) ϕ ( x )  {x ∈ X : ϕ ( x )} = X.
Def.7. Kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny) jest oznaczany symbolem .
Napis (∃x ∈ X ) ϕ ( x) - czytamy: istnieje x ze zbioru X spełniający formułę ϕ (x ) .
Uwaga: (∃x ∈ X ) ϕ ( x)  {x ∈ X : ϕ ( x)} ≠ ∅ .
Uwaga: Kwantyfikator  () jest uogólnieniem spójnika koniunkcji, zaś
kwantyfikator  () jest uogólnieniem spójnika alternatywy.
Def. 8. Zakresem kwantyfikatora nazywamy zakres zmiennej funkcji zdaniowej,
której on dotyczy. Mówimy, że kwantyfikatory (∀x ∈ X ) i (∃x ∈ X ) wiążą zmienną
x. Zmienną x w wyrażeniu nazywamy związaną, jeśli wiąże ją jakiś kwantyfikator.
Zmienną, która nie jest związana, nazywamy zmienną wolną.
Logika i teoria mnogości – Wykład 1
3
Często zdarza się, że wybieramy zmienne tylko z pewnego podzbioru zakresu
kwantyfikatora. W takiej sytuacji wygodnie jest korzystać z kwantyfikatorów
ograniczonych (zrelatywizowanych).
Def.9. Niech ϕ (x ) będzie funkcją zdaniową zmiennej xX i niech AX.
Kwantyfikatory ograniczone do zbioru A definiujemy następująco:
•
(∀x ∈ A) ϕ ( x) ⇔ ∀x ( x ∈ A ⇒ ϕ ( x ))
•
(∃x ∈ A) ϕ ( x) ⇔ ∃x ( x ∈ A ∧ ϕ ( x )) .
Prawa rachunku kwantyfikatorów
Def.10. Zdanie (zapisane z użyciem kwantyfikatorów) nazywamy prawem rachunku
kwantyfikatorów, gdy jest prawdziwe dla dowolnej interpretacji występujących w
nim symboli funkcji zdaniowych.
Tw. 1. Niech ϕ ( x ),ψ ( x) - funkcje zdaniowe o zakresie zmiennej xX≠Ø. Wtedy:
1. ∀x ϕ ( x) ⇒ ∃x ϕ ( x ),
2.
¬ (∀x ) ϕ ( x ) ⇔ ∃x (¬ ϕ ( x ))
¬ (∃x ) ϕ ( x ) ⇔ ∀x (¬ ϕ ( x ))
prawa de Morgana
3. ∀x (ϕ ( x ) ∧ψ ( x)) ⇔ ∀x ϕ ( x ) ∧ ∀x ψ ( x) rozdzielność kwantyfikatora ogólnego
względem koniunkcji
4. ∃x (ϕ ( x ) ∨ ψ ( x)) ⇔ ∃x ϕ ( x ) ∨ ∃x ψ ( x)
rozdzielność kwantyfikatora
szczególnego względem alternatywy
5. ∃x (ϕ ( x) ∧ ψ ( x)) ⇒ ∃x ϕ ( x ) ∧ ∃x ψ ( x )
6. ∀x ϕ ( x) ∨ ∀x ψ ( x )) ⇒ ∀x (ϕ ( x) ∨ ψ ( x ))
Uwaga: Dla kwantyfikatorów ograniczonych zachodzą te same prawa.
Przykład: ¬ (∀x : ϕ ( x)) α ( x ) ⇔ (∃x : ϕ ( x )) ¬α ( x )
Logika i teoria mnogości – Wykład 1
4
Prawa włączania i wyłączania kwantyfikatorów
Tw. 2. Niech ϕ (x) - dowolna funkcja zdaniowa o zakresie zmiennej xX i niech zdanie, zaś oznacza wybrany spójnik logiczny ∧, ∨ , ⇒ . Wtedy:
1. ∀x ( β ◊ ϕ ( x )) ⇔ β ◊ ∀x ϕ ( x ) ,
2. ∃x ( β ◊ ϕ ( x )) ⇔ β ◊ ∃x ϕ ( x) .
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
Tw. 3. Niech ϕ ( x, y ) będzie dowolną funkcją zdaniową o zakresie zmiennych xX,
yY. Wtedy:
1. ∀x ∀y ϕ ( x, y ) ⇔ ∀y ∀x ϕ ( x, y ) przemienność kwantyfikatorów ogólnych
2. ∃x ∃y ϕ ( x, y ) ⇔ ∃y ∃x ϕ ( x, y ) przemienność kwantyfikatorów szczegółowych
3. ∃x ∀y ϕ ( x, y ) ⇒ ∀y ∃x ϕ ( x, y ) .