Konspekt wykładu ELiTM 8 Moce zbiorów K.Junosza

Konspekt wykładu ELiTM 8 Moce zbiorów
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
Zbiory równoliczne.
Definicja 1 Zbiory X i Y są równoliczne (są równej mocy lub mają taką samą moc), jeśli istnieje
funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór X na zbiór Y (czyli bijekcja f : X → Y ). Jeżeli
zbiory X i Y są równoliczne, to ozn. X ∼ Y .
1. {x1 , . . . , xk } ∼ {y1 , . . . , yk }, f (xi ) = yi dla i ∈ {1, . . . , k}
Przykład 2
2. N ∼ N \ {0, . . . , k}, f (n) = n + k + 1
3. N ∼ {2n : n ∈ N}, f (n) = 2n
4. dowolne odcinki domknięte są równoliczne: dla a < b, c < d ∈ R
[a, b] ∼ [c, d], f (x) =
(
d−c
(x
b−a
− a) + c
)
5. − π2 , π2 ∼ R, f (x) = tg(x)
6. (0, 1) ∼ (0, ∞), f (x) =
x
1−x
7. [0, ∞) ∼ (0, ∞), f (x) =
8. (0, 1] ∼ (0, 1), f (x) =
9. [0, 1) ∼ (0, 1), f (x) =





x + 1,
x∈N

x,
wpp.
1
,
n+1
x = n1 , n ∈ N+

x,
wpp.


1

,



2
x=0
1
,
n+2





x,
x=
1
,
n+1
n ∈ N+
wpp.
10. [0, 1] ∼ (0, 1)
Twierdzenie 3 Relacja równoliczności jest relacją równoważności.
Przykład 4 Metoda przekątniowa.
NN := {g : N → N} - zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach naturalnych
{0, 1}N := {g : N → {0, 1}} - zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w zbiorze {0, 1}
Zbiór NN nie jest równoliczny ze zbiorem N.
Zbiór {0, 1}N nie jest równoliczny ze zbiorem N.
Porównywanie liczności zbiorów.
Definicja 5 Zbiór X jest nie większej liczności niż zbiór Y (ma co najwyżej tyle elementów, co
zbiór Y ), jeśli istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru X w zbiór Y , co oznaczamy X ≼ Y .
1
Konspekt wykładu ELiTM 8 Moce zbiorów
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
Definicja 6 Zbiór X jest mniejszej liczności niż zbiór Y (ma mniej elementów niż zbiór Y ), jeśli
X ≼ Y oraz zbiory X i Y nie są równoliczne (istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru X w
zbiór Y , ale nie na zbiór Y ), co oznaczamy X ≺ Y .
Własności:
1. X ≼ X
2. X ≼ Y ∧ Y ≼ Z ⇒ X ≼ Z
3. Twierdzenie Cantora-Bersteina: X ≼ Y ∧ Y ≼ X ⇒ X ∼ Y
4. X ∼ Y ⇒ X ≼ Y
5. X ≼ Y ∧ Z ∼ X ⇒ Z ≼ Y
6. X ≼ Y ∧ Z ∼ Y ⇒ X ≼ Z
7. X ≺ Y ∧ Y ≺ Z ⇒ X ≺ Z
8. X ≺ Y ⇒∼ (Y ≺ X)
Twierdzenie 7 (Cantora) Dla dowolnego zbioru X zachodzi X ≺ 2X , czyli dowolny zbiór jest
mniej liczny niż jego zbiór potęgowy.
Uwaga 8 Dla dowolnego zbioru X mamy nieskończony ciąg nierówności:
X
2X
X < 2X < 22 < 22
< ...
Twierdzenie 9 Dla dowolnych zbiorów X, Y zachodzi X ∼ Y ⇒ 2X ∼ 2Y .
Twierdzenie 10 Jeśli istnieje funkcja ze zbioru X na zbiór Y , to Y ≼ X.
Zbiory przeliczalne.
Moc zbioru liczb naturalnych N będziemy oznaczać symbolem ℵ0 (alef zero).
Definicja 11 Zbiór nazywamy przeliczalnym, jeśli jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych,
nieprzeliczalnym jeśli nie jest skończony ani przeliczalny.
Twierdzenie 12 Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym lub skończonym.
Twierdzenie 13 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 14 Suma skończnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 15 Zbiór liczb całkowitych Z = N ∪ {−n | n ∈ N} jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 16 Iloczyn kartezjański zbioru przeliczalnego i skończonego jest zbiorem przeliczalnym.
2
Konspekt wykładu ELiTM 8 Moce zbiorów
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
Twierdzenie 17 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 18 Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek 19 Iloczyn kartezjański skończnie wielu zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie 20 Niech I będzie zbiorem przeliczalnym oraz dla każdego i ∈ I, Xi też będzie
zbiorem przeliczalnym. Wtedy
∪
Xi jest zbiorem przeliczalnym. (Suma przeliczalnej rodziny zbiorów
i∈I
przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.)
X ∗ :=
∪
X n - zbiór wszystkich skończonych ciągów o wyrazach w zbiorze X
n∈N
Wniosek 21 Jeżeli zbiór X jest przeliczalny, to zbiór X ∗ też jest przeliczalny.
Wniosek 22 Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
Wniosek 23 Zbiór wielomianów o współczynnikach całkowitych (wymiernych) jest zbiorem przeliczalnym.
Definicja 24 Liczbę x ∈ R nazywamy algebraiczną, jeśli jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
wymiernych.
Twierdzenie 25 Zbiór liczb algebraicznych jest zbiorem przeliczalnym.
Zbiory mocy continuum.
Moc zbioru liczb rzeczywistych R będziemy oznaczać symbolem C (continuum).
Definicja 26 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy continuum.
Przykład 27 Każdy niepusty przedział otwarty jest zbiorem mocy continuum.
Przykład 28 Dowolny podzbiór A ⊆ R, zawierający przedział otwarty jest zbiorem mocy continuum.
Twierdzenie 29 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest zbiorem mocy continuum.
Twierdzenie 30 1. Iloczyn kartezjański skończnie wielu zbiorów mocy continuum jest zbiorem
mocy continuum. W szczególności, R ∼ R2 .
2. Zbiór wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych jest zbiorem mocy continuum.
3. Niech X będzie zbiorem mocy continuum. Jeżeli A ⊂ X jest podzbiorem przeliczalnym, to zbiór
X \ A jest zbiorem mocy continuum.
4. Jezeli X jest zbiorem mocy continuum, zbiór A jest zbiorem przeliczalnym, to X ∪A jest zbiorem
mocy continuum.
Wniosek 31 1. Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem mocy continuum.
2. Zbiór liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum.
3
Konspekt wykładu ELiTM 8 Moce zbiorów
K.Junosza-Szaniawski, A.Pilitowska
Twierdzenie 32 Niech I będzie zbiorem mocy co najwyżej continuum oraz dla każdego i ∈ I,
Xi też będzie zbiorem mocy co najwyżej continuum. Wtedy
∪
Xi jest zbiorem mocy co najwyżej
i∈I
continuum.
Istnieją zbiory, których moc jest większa od mocy zbioru R.
Twierdzenie 33 Zbiór RR wszystkich funkcji rzeczywistych jest równoliczny ze zbiorem 2R wszystkich
pozdzbiorów zbioru R.
4