1 Moce zbiorów

Wykład 8
1
Moce zbiorów
Definicja 1.1 Zbiory A i B nazywamy równolicznymi (tej samej mocy), jeśli istnieje funkcja
f przekształcająca wzajemnie jednoznacznie zbiór A na zbiór B. Piszemy wtedy: |A| = |B|
lub A ∼ B.
Zbiór A ma co najwyżej tyle elementów co zbiór B jeśli istnieje podzbiór C zbioru B równoliczny ze zbiorem A. Piszemy wtedy: |A| ¬ |B|.
Twierdzenie 1.1 Dla dowolnych zbiorów A i B następujące warunki są równoważne:
(i) |A| ¬ |B|
(ii) istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru A w zbiór B
(iii) istnieje funkcja ze zbioru B na zbiór A.
Twierdzenie 1.2 (Cantor -Bernstein) Dla dowolnych zbiorów A i B, jeśli |A| ¬ |B| i
|B| ¬ |A|, to |A| = |B|.
Definicja 1.2 Powiemy, ze zbiór A ma mniej elementów niż B, gdy zachodzi |A| ¬ |B| oraz
zbiory A i B nie są równoliczne.
Definicja 1.3 Powiemy, że zbiór A jest zbiorem skończonym jeśli jest on zbiorem pustym
lub istnieje liczba naturalna n ∈ N taka, że A ∼ {1, 2, . . . , n}. W takim przypadku mówimy,
że zbiór A ma n elementów.
Zbiór, który nie jest skończony nazywamy nieskończonym.
Zbiór nazywamy przeliczalnym jeśli jest on równoliczny ze zbiorem licz naturalnych. Piszemy
wtedy |A| = ℵ0 .
Zbiór A nazywamy co najwyżej przeliczalnym, jeśli jest on skończony lub przeliczalny. Zbiór
nazywamy nieprzeliczalnym jeśli nie jest on zbiorem co najwyżej przeliczalnym.
Przykłady: Zbiór liczb naturalnych parzystych P jest przeliczalny. Funkcją ustalającą równoliczność zbioru liczb parzystych z naturalnymi jest f (n) = n2
Podobnie zbiór liczb nieparzystych N P jest przeliczalny. Tym razem żądaną bijekcją jest np:
. Ponieważ relacja równoliczności jest relacją równoważności, zbiory licz parzyf (n) = n−1
2
stych i nieparzystych są równoliczne.
Twierdzenie 1.3 Podzbiór zbioru skończonego, suma oraz iloczyn kartezjański skończenie
wielu zbiorów skończonych jest zbiorem skończonym.
Twierdzenie 1.4 Każdy zbiór zawierający zbiór przeliczalny jest zbiorem nieskończonym.
Każdy zbiór nieskończony, zawiera zbiór przeliczalny.
Wniosek: Aby wykazać, że dany zbiór nieskończony jest przeliczalny, wystarczy ustawić jego
elementy w ciąg.
1
Twierdzenie 1.5 Zbiór wszystkich podzbiorów skończonych zbioru mocy ℵ0 jest mocy ℵ0 .
Twierdzenie 1.6 Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Dowód: Niech A, B - zbiory przeliczalne. Możemy więc ustawić ich elementy w ciągi:
(a1 , a2 , a3 , . . .), (b1 , b2 , b3 , . . .). Wobec tego elementy sumy również możemy ustawić w ciąg:
(a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , . . .). Wynika stąd, że suma jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, a ponieważ jest zbiorem nieskończonym, jest zbiorem przeliczalnym.
Wniosek: Zbiór liczb całkowitych Z jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie 1.7 Przeliczalne suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
Twierdzenie 1.8 Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym
Dowód: Niech A, B - zbiory przeliczalne. Możemy ich elementy ustawić w ciągi:
(a1 , a2 , a3 , . . .), (b1 , b2 , b3 , . . .). Rozpatrzmy tablicę:
a1
a2
a3
a4
b1 (a1 , b1 ) (a2 , b1 ) (a3 , b1 ) (a4 , b1 )
b2 (a1 , b2 ) (a2 , b2 ) (a3 , b2 ) (a4 , b2 )
b3 (a1 , b3 ) (a2 , b3 ) (a3 , b3 ) (a4 , b3 )
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
...
...
...
...
..
.
Tablica ta zawiera wszystkie elementy iloczynu kartezjańskiego. Jest ich nieskończenie wiele.
Aby wykazać przeliczalność tego zbioru wystarczy teraz ustawić jego elementy w ciąg. Czynimy to jak na poniższym rysunku:
a1
a2
b1 (a1 , b1 ) → (a2 , b1 )
.
b2 (a1 , b2 )
↓
a3
a4
(a3 , b1 ) → (a4 , b1 )
%
(a2 , b2 )
.
(a3 , b2 )
(a4 , b2 )
...
(a2 , b3 )
(a3 , b3 )
(a4 , b3 )
...
..
.
..
.
..
.
..
%
b3 (a1 , b3 )
...
...
.
.
..
.
..
.
.
Ponieważ udało nam się elementy rozważanego nieskończonego zbioru ustawić w ciąg, jest
on przeliczalny.
Wniosek: Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym (jako nieskończony podzbiór
zbioru przeliczalnego - iloczynu kartezjańskiego Z × Z).
2
Twierdzenie 1.9 Suma przeliczalnej rodziny zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym
Twierdzenie 1.10 Zbiór liczb rzeczywistych R nie jest zbiorem przeliczalnym.
Na wykładzie został podany szkic dowodu: najpierw wykazaliśmy równoliczność dwóch dowolnych przedziałów otwartych na prostej, potem równoliczność prostej i przedziału (− π2 , π2 )
a tym samym prostej i przedziału (0, 1). Następnie założyliśmy nie wprost, że przedział (0, 1)
jest mocy ℵ0 i wykazaliśmy nieprawdziwość tego założenia (pokazaliśmy, że nie istnieje funkcja ustalająca równoliczność między tymi zbiorami).
Definicja 1.4 Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb rzeczywistych nazywamy zbiorami mocy
continuum.
Twierdzenie 1.11 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest mocy continuum.
Twierdzenie 1.12 Zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wartościach w zbiorze mocy
continuum jest mocy continuum.
Wniosek: |Rn | = |R|.
Twierdzenie 1.13 Niech zbiór A będzie zbiorem mocy continuum i niech S ⊂ A. wtedy,
jeśli |S| < |R|, to |A \ S| = |R|.
Wniosek: Zbiór liczb niewymiernych jest mocy continuum.
Twierdzenie 1.14 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru mocy continuum ma moc większą niż
continuum.
3