Analiza Matematyczna I, wykład dla studentów

23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
Jacek Cichoń
Katedra Informatyki
Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej
MAP3045: Analiza
Matematyczna 1.2
Wykład przeznaczony jest dla
studentów I roku I stopnia
Inżynierii Biomedycznej na
Wydziale Podstawowych Problemów
Techniki. Odbywa się w środy w
godz. 11:15 ­ 13:00 w sali 1.28 (C­
13).
Na stronie tej znajdziesz informacje
o zasadach zaliczenia,
realizowanym materiale, literaturze
oraz listę zadań.
Obecność na wykładzie jest
obowiązkowa, ale raczej nie będzie
sprawdzana :­­). Ale uważajcie:
program kursu jest jest dość
obszerny. Musicie systematycznie
pracować. Jeśli opuścicie
jakichkolwiek zajęcia, to musicie je
natychmiast samodzielnie nadrobić.
Zasady zaliczania kursu
Ćwiczenia
Na ćwiczeniach odbędą się trzy 30 minutowe kolokwia. Na każdym z nich dostaniecie do
zrobienia 3 zadania. Za każde z nich będziecie mogli otrzymać do 5 punktów. Za
aktywność można uzyskać dodatkowo do 15 punktów. Ocena końcowa z ćwiczeń będzie
wystawiana za pomocą następującej tabelki:
Pkt. 0...14 15..20 21..26 27..32 33..39 40..45 46..60
C
2.0
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
Ćwiczenia do wykładu prowadzą: dr. K. Majcher, dr R. Rałowski, dr S. Żeberski oraz dr
hab. prof. J. Własak.
Egzamin
1. 1. Egzamin podstawowy: 28.01.2016, godz. 11:00 ­ 13:00, sala 322/A­1
2. Egzamin poprawkowy: 11.02.2016, godz. 11:00 ­ 13:00, sala 322/A­1
2. Osoby, które otrzymają z egzaminu ocenę 5.0 będa mogły poprawić ją na ocenę
5.5. W tym celu będą musiały się umówić ze mną na krótkie spotkanie.
3. Do egzminu poprawkowego przystąpić mogą tylko te osoby, które z egzaminu w
pierwszym terminie otrzymały ocenę ndst.
Sposób oceniania i ocena
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
końcowa
1/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
Sposób oceniania i ocena końcowa
Na egzaminie dostaniecie do zrobienia 6 zadań. Za każde z nich będziecie mogli
otrzymać do 5 punktów. Ocena z egzaminu będzie wystawiana za pomocą następującej
tabelki:
Pkt. 0..7 8..10 11..15 16..20 21..25 26..30
E
2.0
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
Na egzaminie możecie korzystać ze swoich notatek. Nie wolno posługiwać się internetem.
Zadania należy rozwiązywać samodzielnie: jeśli zostaniecie złapanie na ściąganiu, to
otrzymacie ocenę ndst. Przykładowe zadania na egzamin: Przykład.pdf . Obowiązujący materiał:
1. to co zostało omówione na wykładzie
2. wszystko co znajduje się na tej stronie
3. wszystko co było omówione na środowych dodatkowych zajęciach z matematyki.
Na egzamin proszę przynieść kilka kartek papieru. Będzie musieli znać swój numer
indeksu. Powodzenia.
Wyniki pierwszego egzaminu
Egzamin poszedł wam bardzo dobrze!!! Oceny wpisałem do systemu w sobotę 30.01.2016
około godziny 13:00. Zaledwie kilka osób nie zaliczyło.
Aby otrzymać ocenę celującą trzeba było otrzymać ocenę bdb (zgodnie z tabelką, która
znajduje się na tej stronie) oraz bez żadnych rachunków rozwiązać Zadanie 6 (oblicz całkę π
2
2
∫
(x + 1) sin(x)dx), gdyż wystarczyło zauważyć, że funkcja f (x) = (x + 1) sin(x) jest
−π
a
nieparzysta, więc dla dowolnego a mamy ∫−a f (x)dx
= 0
.
Osoby, które nie mają wpisanej oceny do systemu Edukacja.CE muszą pojawić na drugim
egzaminie w dniu 11.02.2016.
W poniedziałek 01.02.2016 umówiony byłem z paroma osobami na ewentualne poprawienie
oceny z 5.0 na 5.5. Ale nikt się nie pojawił. Tak na wszelki wypadek: ja urzęduję w pokoju
214B/D­1.
Na tej "poprawce" dostaniecie jedno nieco trudniejsze zadanie niż te, które były na egzaminie
i będziecie mieli 15 minut czasu na jego rozwiązanie.
Literatura
Podstawowa
1. F. Leja, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2012
2. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w Zadaniach, Cz. I, PWN, Warszawa 2006
Pomocnicza
1. K. Kuratowski, Rachunek Różniczkowy i Całkowy. Funkcje Jednej Zmiennej, Wydawnictwo
Naukowe PWN, 2012
2. G. M. Fichtenholz, Rachunek Różniczkowy i Całkowy, T. I­II, PWN, Warszawa 2007
3. M. Zakrzewski, "Markowe Wyklady z Matematyki, analiza", wydanie I, Wroclaw 2013,
Oficyna Wydawnicza GiS
Lista zadań: Analiza1_20015_IB.pdf .
Przykładowa lista zadań na pierwsze kolokwium: Analiza1_20015_IB_K1.pdf
Pytania do mnie związane z kursem: QandA
Zagadnienia omówione na wykładzie
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
2/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
[07-10-2015] Logika i zbiory
1. Spójniki logiczne i pojęcie tautologii.
2. Najważniejsze tautologie
1. ¬¬p
↔ p
2. p ∨ ¬p, ¬(p ∧ ¬p)
3. (p ∨ q)
4. (p
↔ (q ∨ p)
, (p ∧ q)
↔ (q ∧ p)
→ q) ↔ (¬p ∨ q)
5. ¬(p ∨ q)
↔ (¬p ∧ ¬q)
, ¬(p ∧ q)
↔ (¬p ∨ ¬q)
[prawa de Morgana]
3. Zasada Ekstensjonalności: Zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnego x mamy (x ∈ A ↔ x ∈ B).
4. Def. (x
∈ A ∪ B) ↔ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ B))
5. Def. (x
∈ A ∩ B) ↔ ((x ∈ A) ∧ (x ∈ B))
6. Def. (x
∈ A ∖ B) ↔ ((x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B))
7. Def. Dla A
⊆ Ω
określamy Ac
= Ω ∖ A
8. Podstawowe prawa:
1. A ∪ B
= B ∪ A
2. (A ∪ B)
c
= A
c
, A ∩ B
∩ B
c
= B ∩ A
, (A ∩ B)c
= A
c
∪ B
c
[prawa de Morgana]
9. Formuła zdaniowa o dziedzinie Ω: przyporządkowanie ϕ elementom zbioru Ω
wartości logicznych
10. Przekład: {x
∈ R : (0 < x) ∧ (x ≤ 1)} = (0, 1]
Materiały pomocnicze: rozdziały I, II z książki Wykłady ze Wstępu do Matematyki
[14-10-2015] Liczby rzeczywiste
1. Kwantyfikatory: jeśli ϕ jest formułą zdaniową o dziedzinie Ω, to
1. (∀x)ϕ(x)
≡
dla wszystkich x
2. (∃x)ϕ(x)
≡
istnieje x
2. Wzory: (x + y)
(x + y)
3
= x
3
2
= x
2
∈ Ω
+ 2xy + y
2
n
n!
+ 3x y + 3xy
=
mamy ϕ(x)
takie, że ϕ(x)
2
3. Symbol Newtona: ( k )
∈ Ω
2
+ y
k1(n−k)!
= (1)
= (1)
.
, (x + y)(x − y)
3
,
= x
2
− y
2
, .
.
4. Wzór dwumianowy Newona:
n
5. (x + y)
n
n
= ∑(
k=0
)x
n−k
y
k
k
6. Trójkąt Pascala.
7. Funkcja kwadratowa: f (x)
= ax
2
+ bx + c
; wyróżnik Δ
= b
2
− 4ac
.
8. Nierówność Cauchy'ego:
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php




3/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
9.  n
 n


2
2
+ … + xn y n | ≤ ∑ x ⋅ ∑ y
k
k
⎷
⎷
|x1 y1
k=0
k=0
10. Pojęcie ograniczenia dolnego i górnego podzbioru liczb rzeczywistych.
11. Def. α
= sup(A)
jeśli (∀x
∈ A)(x ≤ α)
oraz (∀β
< α)(∃x ∈ A)(β < x)
.
12. Zasada zupełności: Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór liczb
rzeczywistych ma supremum.
13. Tw. Zbiór liczb naturalnych N nie jest ograniczony z góry.
Materiały pomocnicze: rozdział III z książki Wykłady ze Wstępu do Matematyki
[21-10-2015] Ciągi
1. Nierówność trojkąta: |x + y|
≤ |x| + |y|
2. Nierówność Bernouliego: jeśli x
n
(1 + x)
≥ 1 + nx.
> −1
.
to dla dowolnego n
∈ N
mamy 3. Pojęcie ciągu rosnącego, niemalejącego, malejącego i nierosnącego.
4. Metody sprawdzania monotoniczności ciągu (an ): (1) zbadaj an+1
an+1
an
− an
; (2) zbadaj
.
5. Definicja (granica ciągu):
6. ( lim an = g) ≡ (∀ϵ > 0)(∃N )(∀n > N )(|an − q| < ϵ)
n→∞
7. Fakt: limn→∞ c
8. Tw. limn→∞
1
n
= c
= 0
9. Tw. Jeśli ciągi (an ) oraz (bn ) są zbieżne, to
1. limn→∞ (an
+ bn ) = limn→∞ an + limn→∞ bn
2. limn→∞ (an
⋅ bn ) = (limn→∞ an ) ⋅ (limn→∞ bn )
3. jeśli limn→∞ bn
10. Przykład: limn→∞
≠ 0
, to limn→∞
bn
= limn→∞
2
2n +n
= α
12. Tw. Jeśli limn→∞ an
= g
limn→∞ bn
1
n2
2+
1
1
= … =
2
.
n
oraz limn→∞ bn
= β
to α
= β
.
oraz (bn ) jest podciągiem ciągu (an ) to limn→∞ bn
= (−1)
limn→∞ a2n+1 = −1
limn→∞ an
=
1+
2
n +1
11. Tw. Jeśli limn→∞ an
13. Przykład: ciąg an
an
n
nie jest zbieżny, gdyż limn→∞ a2n
= 1
= g
.
oraz .
[28-10-2015] Ciągi: II
1. Definicja:
2. ( lim an = ∞) ≡ (∀C)(∃N )(∀n > N )(an > C)
n→∞
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
( lim
= −∞) ≡ (∀
)(∃
)(∀
>
)(
<
)
4/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
( lim an = −∞) ≡ (∀C)(∃N )(∀n > N )(an < C)
n→∞
3. Fakt: limn→∞ n
= ∞
, limn→∞ n2
4. Fakt: Jeśli (limn→∞ an
= ∞)
= ∞
oraz (∀n)(an
≤ bn )
, to (limn→∞ bn
= ∞)
5. [Reguły postepowania z nieskończonościami]
∞ ⋅ ∞ = ∞
Jeśli a
a
∞
> 0
nie jest określone
∞ − ∞
∞
= ∞
= 0
∞ ⋅ 0
∞
, to a ⋅ ∞
nie jest określone
nie jest określone
6. Przykład:
1 +
n + 1
lim
n→∞
n
2
=
lim
n→∞
+ 2
n +
1
n
2
limn→∞ (1 +
=
limn→∞ (n +
n
1
)
n
2
n
1
=
= 0 .
∞
)
7. Przykład:
n
2
lim
=
n + 2
n→∞
8. Tw. limn→∞ √n
n
n +
+ 1
lim
n→∞
1 +
1
n
1
n
limn→∞ (n +
=
limn→∞ (1 +
1
n
2
n
)
∞
=
)
= ∞ .
1
= 1
9. Tw. Jeśli ciąg (an ) jest niemalejący i ograniczony to jest zbieżny.
10. Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli (∀n)(an ≤ bn
limn→∞ an = limn→∞ cn = g to limn→∞ bn = g. 11. Przykład: limn→∞ √5
n
n
+ 3
n
≤ cn )
oraz
= 5
12. Tw.
lim q
n→∞
n
⎧∞
⎪
⎪
⎪
1
= ⎨
0
⎪
⎪
⎩
⎪
rozbie ny
ż
:
q > 1
:
q = 1
:
|q| < 1
:
q < −1
[28-10-2015] Ciągi: III
1. Przykład: limn
sin(n)
n
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
= 0
1
5/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
2. Przykład: limN
3. Tw: Jeśli q
≠ 1
∑
n
1
k=1
= 1
√n2 +1
to 1 + q + q 2
4. Przykład: limn ∑k=0
n
1
n
+ … + q
n
=
1−q
n+1
1−q
= 2
k
5. Tw.
⎧∞
lim n
a
n→∞
6. Tw. Ciąg an
1
= (1 +
)
n
n
= ⎨1
⎩
0
:
a > 0
:
a = 0
:
a < 0
jest rosnący i ograniczonyz góry przez liczbę 3
7. Def.
n
1
8. lim (1 +
)
= e
n
n→∞
e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369 …
9. Tw. (∀a)(limn (1 +
a
n
n
)
a
= e )
Granica funkcji
Niech f : A → R oraz x ∈ R. Mówimy,
że lim
f (x) = g, jeśli dla dowolnego
ciągu (a ) takiego, że
0
x→x0
n
1. (∀n)(a
n
∈ A)
2. (∀n)(a
n
≠ x0 )
3. lim
n
an = x 0
mamy
lim f (an ) = g .
n→∞
Przykład: lim
2
x −1
x→1
x−1
= 2
.
[28-10-2015] Ciągłość
1. Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie a jeśli limx→a f (x)
2. Def. Funkcja f
: A → R
3. Przykład: Funkcje f (x)
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
= a
.
jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie zbioru A.
= x
i g(x)
= c
są ciągłe.
6/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
4. Tw: :limx→a (f (x) + g(x))
5. Tw: :limx→a (f (x) ⋅ g(x))
6. Tw: :limx→a
f (x)
= limx→a f (x) ⋅ limx→a g(x)
limx→a f (x)
=
g(x)
= limx→a f (x) + limx→a g(x)
limx→a g(x)
, o ile limx→a g(x)
7. Wniosek: Jeśli funkcje f i g są ciągłe, to f
+ g
≠ 0
, f
.
.
.
f
⋅ g
i g są ciągłe.
8. Wniosek: Wszystkie wielomiany są ciągłe.
9. Wniosek: Wszystkie funkcje wymierne są ciągłe.
10. Tw (Własność Darboux fukcji ciągłej). Jeśli f
f (b) > 0
to istnieje c
11. Def. limx→a+ f (x)
oraz limn an
= a
∈ (a, b)
= g
takie, że f (c)
: [a, b] → R
jest ciągła, f (a)
= g
oraz
= 0
jest dla dowolnego ciągu (an ) takiego, że (∀n)(an
mamy limn f (an )
< 0
> a)
.
A to jest jeden z wykresów, który macie do wygenerowania (lista zadań):
.
[18-11-2015] Wykresy funkcji
1. Tw. limx→a f (x)
2. Przykład: f (x)
= limh→0 f (x + h)
=
.
1
1 −x
2
3. Def: Funkcja f : (a, b) → R jest rosnąca na odcinku (a, b) jeśli dla dowolnych x, y
takich, że a < x < y < b mamy f (x) < f (y).
4. Def: Funkcja f
x, y
: (a, b) → R
takich, że a
jest malejąca na odcinku (a, b) jeśli dla dowolnych < x < y < b
mamy f (x)
> f (y)
.
5. Def: Funkcja f : R → R ma lokalne minimum w punkcie a jeśli istnieje ϵ
takie, że dla dowolnego x takiego, że 0 < |x − a| < ϵ mamy f (x) > f (a).
> 0
6. Def: Funkcja f : R → R ma lokalne maksimium w punkcie a jeśli istnieje ϵ
takie, że dla dowolnego x takiego, że 0 < |x − a| < ϵ mamy f (x) < f (a).
7. Przykład: f (x)
=
x
> 0
2
(x−1)(x−2)
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
7/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
Funkcja ta ma asymptotę poziomą o równaniu y
punktach x = 1 oraz x = 2.
8. Przykład: f (x)
= sin(x) sin(400x)
9. Przykład: f (x)
= sin(
1
x
dla x
= 1
∈ [0, 1.1π]
oraz asymptoty pionowe w
)
Funkcja ta ma nieciągłość nieusuwalną w punkcie x
= 0
.
10. Funkcja zadana wzorem
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
Q
8/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
f (x) = {
1
:
x ∈ Q
0
:
x ∈ R ∖ Q
jest nieciągła w każdym punkcie.
[25-11-2015] Ciągłość i różniczkowanie
1. Tw.Jeśli f jest ciągła w punkcie a oraz g jest ciągła w punkcie f (a), to złożenie g ∘ f
jest ciągłe w punkcie a.
2. Wniosek: złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe.
3. Pojęcie funkcji odwrotnej.
4. Jeśli f
: [a, b] → R
jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja f −1 też jest ciągła
5. Przykład: Funkcja f (x)
= √x
6. Tw. [Weierstrass] Jeśli F
2
+ 1
jest ciągła.
: [a, b] → R
(∀x ∈ [a, b])(f (x) ≤ f (x0 ))
jest ciągła, to istnieje x0
∈ [a, b]
taki, że .
7. Pochodna:
8. f (x + h) − f (x)
′
f (x) = lim
h
h→0
9. Interpretacja: aplet
10. Przykłady: (c)
11. Tw. (x
α
)
′
= αx
12. Tw. (a ⋅ f )
13. Tw. (f
′
′
= 0
′
′
= 1
, (x
2
)
′
= 2x
, (x
n
)
′
= nx
n−1
α−1
= af
+ g)
, (x)
= f
′
′
+ g
′
14. Przykład: Jeśli s(t) oznacza odległość w czasie t, to s
prędkość w chwili t, oraz s
15. Przykład ­ cd: Jeśli s(t)
′′
=
(t)
1
2
′
(t)
interpretujemy jako
jako przyśpieszenie w chwili t.
gt
2
+ v0 t + s 0
, to s
′
(t) = gt + v0
oraz s
′′
(t) = g
(jest
to ruch jednostajnie przyśpieszony).
[02-12-2015] Pochodne
1. Tw.Jeśli f jest rózniczkowalna w punkcie A to jest ciągła w punkcie a
2. różniczkowalność → ciągłość
3. Przykład: Funkcja f (x)
= |x|
jest ciągła w każdym punkcie, ale nie jest
różniczkowalna w punkcie 0.
4. Tw. (f
f
′
′
′
⋅ g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x)
5. Tw. ( g )
′
′
′
f (x)g(x)−f (x)g (x)
(x) =
2
g (x)
6. Tw. Jeśli f ma ekstremum lokalne w punkcie c oraz jest różniczkowala w punkcie c,
to f ′ (c) = 0
7. Tw. Jeśli f
(a, b)
: [a, b] → R
to istnieje c
8. Jeśli f
∈ (a, b)]
: [a, b] → R
c ∈ (a, b)]
jest ciągła, f (a)
takie, że f
′
= f (b) = 0
(c) = 0
oraz jest różniczkowalna na .
jest ciągła oraz jest różniczkowalna na (a, b) to istnieje takie , że
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
9/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
f (b) − f (a)
9. ′
= f (c)
b − a
10. Wniosek: Jeśli (∀x
11. Wniosek: Jeśli (∀x
f (x) = 0
, to f jest rosnąca na odcinku (a, b)
′
, to f jest malejąca na odcinku (a, b)
∈ (a, b))(f (x) < 0)
12. Przykład. Niech f (x)
′
′
∈ (a, b))(f (x) > 0)
= ax
2
+ bx + c
wtedy i tylko wtedy, gdy x
i a
=
minimum.
13. Przykład.f (x)
=
1
3
x
3
−
1
2
x
2
x
′
f (x)
=
−b
2a
. Wtedy f ′ (x)
…
0
= 2ax + b
, więc . W tym punkcie funkcja f osiąga
. Wtedy f ′ (x)
−∞
f (x)
14. Wykres funkcji f (x)
+ 1
> 0
= x
…
−∞
↗
1
↘
×
+
0
−
2
1
5
6
0
− x = x(x − 1)
…
∞
↗
∞
+
×
.
x
(x−1)(x−1)
15. Link: Badanie wykresu funkcji . Zapoznajcie się dobrze z umieszcznym tam
apletem. Na następnym kolokwium będzie zadanie polegające na zbadaniu
przebiegu zmienności funkcji zadanej wzorem postaci f (x)
takiej, której analiza przestawiona jest na tamtej stronie.
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
2
=
b⋅x +a⋅x+1
1−x
2
, a więc
10/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
[09-12-2015] Pochodne
1. Równanie stycznej do funkcji f w punkcie a: y
′
= f (a)(x − a) + f (a)
2. Rozważania o paraboloidzie
3. Tw. (f
′
′
′
∘ g) (x) = f (g(x)) ⋅ g (x)
4. Wniosek: f ′ (ax + b)
′
= af (ax + b)
5. Przykłady: (√(1 + x2 ))′
6. Tw. (ex )′
= e
=
x
√1+x2
8. Tw. (Bez dowodu) (sin
9. Tw. (f −1 (x))
′
100
2
= 100(1 + x )
99
⋅ 2 ⋅ x
, ...
=
=
1
x
′
= xe
(x) = cos(x)
−x
, cos′ (x)
= − sin(x)
.
1
′
f (f
10. Oznaczenie: ln(x)
11. Tw. (ln(x))
+ 1)
x
7. Przebieg zmienności funkcji f (x)
′
, (x2
−1
(x))
= log (x)
e
.
[16-12-2015] Pochodne - c.d.
1. Tw. arcsin
′
1
(x) =
2. Tw. arctan′ (x)
3. Tw. Jeśli (∀x
√1−x2
=
1
1+x
2
′
∈ (a, b))(f (x) = 0)
, to istnieje stała C taka, że
(∀x ∈ (a, b))(f (x) = C)
4. Tw. Jeśli (∀x
′
′
∈ (a, b))(f (x) = g (x))
, to istnieje stała C taka, że
(∀x ∈ (a, b))(f (x) = g(x) + C)
Całka
1. Definicja: Jeśli (∀x
∈ [a, b])(f (x) ≥ 0)
, to całką oznaczoną z funkcji f na
przedziale [a, b] nazywamy pole powierzchni obszaru
{(x, y) ∈ R
2
: a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f (x)} .
b
Powierzchnię tę oznaczamy symbolem ∫a
3. 2. f (t) dt
.
Zasadnicze Twierdzenie Rachunku Różniczkowego i Całkowego: Jeśli f jest funkcją ciągłą, to dla każdego x mamy
x
d
4. ∫
dx
5. Tw. Załóżmy, że F ′ (x)
6. Przykład: ∫
1
0
x
2
dx =
= f (x)
f (t) dt = f (x)
a
b
. Wtedy ∫a
f (t) dt = F (b) − F (a)
.
1
3
Prezent świąteczny
Oto prezent śiąteczny, który otrzymałem od Pani Katarzyny Fojcik:
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
11/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
Całka - II
1. Jeśli a
< b < c
c
to ∫a
b
2. ∫a
f (x)dx = − ∫
a
b
f (x)dx = ∫
a
f (x)dx + ∫
c
b
f (x)dx
.
f (x)dx
b
3. Definicja: Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na odcinku (a, b) jeśli dla
każdego x
∈ (a, b)
mamyF
′
(x) = f (x)
.
4. Tw. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f to
b
∫
f (x)dx = [F (x)]
b
(= F (b) − F (a)) .
a
a
5. Def. Całką nieoznaczoną fukcji f nazywamy rodzinę ∫
f (x)dx
wszystkich funkcji
pierwotnych funkcji f
6. Tw. ∫ (αf (x) + βg(x))dx
= α ∫ f (x)dx + β ∫ g(x)dx
.
7. Lista podstawowych całek nieoznaczonych:
jeśli a
∫
1
x
≠ −1
to ∫
1
a
x dx =
a+1
x
a+1
+ C
dx = ln(|x|) + C
x
∫ e dx = e
x
+ C
∫ sin(x)dx = − cos(x) + C
∫ cos(x)dx = sin(x) + C
∫
∫
1
√1−x2
1
1+x
2
dx = arcsin(x) + C
dx = arctan(x) + C
8. Całkowanie przez części: ∫
′
′
f gdx = f ⋅ g − ∫ f g dx
9. Przykład:
∫
x
xe dx = ∫
x
′
x(e ) dx = xe
x
− ∫
′
x
x e dx = xe
x
− ∫
x
e dx = xe
x
− e
x
+ C = (x − 1)e
x
+ C
10. Całkowanie przez podstawienie: YouTube , YouTube from MIT
11. Przykład: chcemy obliczyć ∫
du
Mamy dx
= 2
sin(2x + 1)dx
, co odczytujemy jako du
1
∫
sin(2x + 1)dx = ∫
sin(u)
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
, czyli dx
1
du =
2
. Stosujemy podstawienie u
= 2dx
1
2
du
= 2x + 1
sin(u)du =
.
. Zatem
1
∫
2
=
1
⋅ (− cos(u)) + C = −
2
cos(2x + 1) + C 2
12/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
[13.01.2016] Całka - III
R
1. ∫0
1
√R2 − x2 dx = … =
4
πR
2
.
2. Wniosek: koło o promieniu R ma pole πR2 .
2
3. Rozkład na ułamki proste: chcemy obliczyć całkę ∫1
1. Szukamy takie A i B, że 1
A
=
x(3−x)
dx
.
B
+
x
1
x(3−x)
3−x
2. Po kilku krokach stwierdzamy, że takimi liczbami są A
1
= B =
3
3. Liczymy
2
2
1
∫
1
1
dx = ∫
x(3 − x)
1
3
1
2
1
(
+
1
dx = ∫
x
3 − x
1
(
3
1
1
−
) dx = …
x
x − 1
4. Mamy funkcję ciągłą f na odcinku [a, b]. Ustalamy n. Rozbijamy [a, b] na n
odcinków długości (b − a)/n): definiujemy xk
1. Definiujemy sumę dolną: sn (f ; a, b)
= ∑
2. Definiujemy sumę górną: Sn (f ; a, b)
n−1
k=0
= ∑
3. Tw (bez dowodu): limn→∞ sn (f , a, b)
.
k
= a + (b − a)
n
inf{f (x) : xk ≤ x ≤ xk+1 }
n−1
k=0
b−a
n
sup{f (x) : xk ≤ x ≤ xk+1 }
b−a
n
= limn→∞ Sn (f , a, b)
4. Granicę limn→∞ sn (f , a, b) nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale [a, b]
5. Przykład: dla funkcji f (x)
n−1
sn (f , 0, 1) = ∑
k=0
więc limn→∞ sn (f , 0, 1)
6. Tw. Jesli f (x)
≥ 0
{(x, y, z) ∈ R
3
dla x
2
: √y
k
= x
mamy
1
1
=
n n
n
1
= … =
∈ [a, b]
+ z
2
2
(n − 1)n
1
2
(0 + 1 + … + (n − 1)) =
n
,
2
2
.
to objętość bryły b
≤ f (x)}
wyraża się wzorem π ∫a
f
2
(x)dx
.
7. Objętość kuli:
R
R
2
(√ R
π∫
2
2
− x ) dx = π ∫
−R
(R
2
2
R
1
2
− x )dx = π[R x −
3
x ]
3
−R
4
= … =
πR
3
3
−R
8. Objętość stożka:
h
π∫
0
2
r
(
h
h
2
r
x) dx = π(
)
h
2
r
2
∫
x dx = π(
h
0
1
) [
h
3
x ]
3
1
=
2
πr h .
3
0
[20.01.2016] Całka - IV
1. Wzór na długość łuku: L
b
= ∫
a
′
2
√1 + (f (x)) dx
2. Liczmy długość krzywej zadanej wzorem y
1. L
= ∫
1
0
√1 + (2x)2 dx
= 1
2
∫
2
0
= x
2
dla x
∈ [0, 1]
:
√1 + t2 dt
2. Teraz się bierzymy za wyliczenie całki ∫
√1 + x2 dx
3. Stosujemy podstawienie Eulera; √1 + x2
= t − x
4. Po kilkunastu krokach otrzymujemy
2
∫ √1 + x dx =
1
2
(x√1 + x
2
2
+ ln(|x + √1 + x |))
5. Po podstawieniu przymujemy L
=
√5
2
+
3. Wzór na powierzchnię bryły obrotowej: P
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
1
4
log(2 + √5) ≈ 1.47894
b
= 2π ∫
a
′
2
f (x)√1 + (f (x)) dx
√
13/14
23.08.2016
JCI­Analiza matematyczna 1
4. Powierzchnia kuli o promieniu R: 2π ∫
R
−R
√R2 − x2 √1 +
x
2
2
R −x
2
2
dx = … = 4πR .
5. Przykłady całek, które nie wyrażają się przez funkcje elementarne: ∫
∫
1
ln(x)
dx
, ∫
e
−x
2
dx
sin(x)
x
dx
, .
6. Całkowanie numeryczne
7. Funkcja, która nie jest całkowalna w sensie Riemana:
f (x) = {
1
: x ∈ Q
0
: x ∉ Q
.
Funkcja ta jest całkowalna w sensie Lebesque'a .
[27.01.2016] Ostatni wykład
Ostatni wykład będziecie mieli z prof. Michałem Morayne. Dowiecie się na nim o bardzo
pożytecznej regule d'Hospitala (bardzo ułatwiającej liczenie granic) oraz o zastosowaniu
drugich pochodnych do badania funkcji.
http://cs.pwr.edu.pl/cichon/2015_16_a/Analiza01.php
14/14