n - SGGW

1. Określić, który ze zbiorów jest ograniczony. Jeśli to możliwe, wyznaczyć max, min, sup, inf tych zbiorów.
n
x
n
Zbiory: {n : n ∈ N }, { n−1
n : n ∈ N }, {(−1) : n ∈ N }, {e : x ∈ R, x > 0}, {(1 − 1/n) : n ∈ N }
2. Wyznaczyć√granice:
p
√
√
lim (n + 3 − n2 − n + 1), lim (1 + 34/n)n , lim n ln(5), lim n 0.5, lim n 5n + 123n
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
3. Niech α ∈ R, n ∈ N . Mamy funkcje: sin x, cos x, tgx, , ex , arcsin x, arccos x, arctgx, ln x, logp x, xα , x−n
a) Podać dziedzinę naturalną tych funkcji.
b) Która funkcja jest okresowa i jaki ma okres?
c) Która funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie naturalnej?
d) Podać wzór na prostą styczną w punkcie x = 1 dla każdej funkcji.
e) Która funkcja jest parzysta/nieparzysta?
f) Która funkcja ma asymptoty pionowe i w których punktach?
g) Która funkcja jest w swojej dziedzinie wklęsła/wypukła? Jak to pokazać za pomocą dugiej pochodnej?
h) Która funkcja jest różnowartościowa?
4. Podać wartości funkcji trygonometrycznych w punktach 0,
π π π π
6, 4, 3, 2
(tam gdzie to możliwe).
5. Wyznaczyć pochodne następujących funkcji: sin x, cos x, tgx, ctgx, arcsin x, arccos x, arctgx, arcctgx,
x6
sin x
sin(ln x)
ex , ln x+sin
, sin2 x, sin x2 , sin(ln(x3 + 3) + e−1/x )
x , ex+2 , e
6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f (x) = x1 arctg(x − 1).
1 5
1 4
x − 12
x + 20.
7. Wyznaczyć ekstrema oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 20
R
R 1
R 1
R x
R x
R
R
R
R 1
R
1
8. Wyznaczyć: dx, √x dx, x2 dx, x dx, e dx, 5 dx, cos x dx, sin x dx, sin12 x dx, √1−x
2
R
R
R f 0 (x)
R 1/x+1
R
R
R 1
R x+3
1
x ln x dx,
x cos x dx,
(x + 1) dx,
e
dx,
f (x) Rdx,
x+ln x dx,
(x−2)2 dx,
x+3 dx,
R
R
1
sin(x + π/2) dx, √ dx 2 ,
dx,
2
1−(x−2)
(x+3) +1
9. Wyznacz granice. Tam gdzie można, zastosuj regułę de l’Hospitala: lim sin(x)/x, lim
lim
x→−∞
x→0+
tgx
1/x
x2 +3x
x−3
lim ln(1/x
lim x−π/2 , lim 5+1/x
2) ,
e−x , x→∞
x→−∞
x→π/2+
10. Wyznaczyć całki:
π/2
R
(x2 + 3x − sin x + arctgx + ln(x + 1)) dx,
0
R3
(x − 2)2 dx,
2
R∞
−∞
R∞
−∞
R∞
0
π/2
R
ln(x − 1) dx,
1
x I(−1,1) (x) dx, gdzie IA =
1
x2
dx,
R∞
−∞
1
(x+2)2

sin(x + π/2) dx,
R3
x ln x dx,
2
−π/2
2
R1
R∞
x→0+
1
x−1
dx,
R∞ 1
0
x
2
ln x
lim x e+3x
,
x
x , x→∞
dx,
R3
2
1
x−2
dx,
(1 − e−x ) dx,
0
1 dla x ∈ A
,
0 dla x ∈
/A
dx

2 1
1 1
 oraz
1 1
1 1
detB, R(A),

3
1
12. Sprawdzić, czy macierz A = 
2
1
0 0
1 0
11. Niech A = 
6 0
4 5
Wyznaczyć AB, detA,

3 1 2 1
2 0 1 1
B=
.
5 3 1 1
7 5 1 1
R(B), 6A, −3A + 2B, det(5A), det((−3)A), det(AB), AT , det(AT B)

1 2
1
0 1
1 
 jest dodatnio określona.
1 1 −1
1 −1 3

13. Zapisać układ równań za pomocą macierzy. Rozwiązać układ metodą wyznaczników.


 x + 2y + 3z = 14
3x − 3y + 3z = 6


2x + 5y − 5z = −3
1
14. Wyznaczyć pole obszaru D = {(x, y) : 0.5x < y <
√
3
x, y > 0}
15. Wyznaczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji: f (x, y) =
p
f (x, y, z) = x + y 2 + 2, f (x, y, z) = sin(xtg(y cos z)), f (x, y, z) = 3 arctg(x + eyz )
ex
ln(x+y) ,
16. Niech F (t) = f (x(t), y(t)). Wtedy przy pewnych warunkach zachodzi
d
∂
dx(t)
∂
dy(t)
F (t) =
f (x(t), y(t))
+
f (x(t), y(t))
dt
∂x
dt
∂y
dt
Korzystając z tej reguły różniczkowania wyznacz pochodną
d
dt F (t),
gdzie
F (t) = f (sin t, ln t), przy f (x, y) = xy 2
17. Wyznaczyć dziedzinę naturlną funkcji f (x, y) = ln(xy) − 0.5(x + y) oraz jej maksimum.
18. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:
f (x, y) = e−x
19. Wyznacz całki:
R2R3
1
0
2
−y 2
, f (x, y) = xy ln(x2 + y 2 ), f (x, y) = (x − y)2 + (y + 2)3
(x + y 2 x) dxdy,
R1 R4
−1 2
(x2 + y 2 x) dxdy,
R5R4
3
2
20. Wyznaczyć
R
całkę D (x2 − xy) dxdy dla D = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ x, y ≤ 3x − x2 },
R
całkę D (3x − 2y) dxdy dla D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1},
R
√
całkę D (xy) dxdy dla D = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ 6 − x, y ≥ x, x ≥ 0}
2
ln(x + y) dxdy
f (x, y) = xy ,