Geometria analityczna - Edukacja Karol Suchoń

Geometria analityczna (rozszerzenie)
Przypomnienie:
~ 0 = k · SA.
~
Obrazem punktu A w jednokładności o środku S i skali k jest taki punkt A0 , że SA
0
0
Jeśli odcinek A B jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k, to jego długość jest
|k| razy większa.
Pole figury geometrycznej powstałej w wyniku jednokładności o skali k jest k 2 razy większe
od pola figury wyjściowej.
(1) Obrazem okręgu (x−3)2 +(y+7)2 = 9 w jednokładności jest okrąg (x+3)2 +(y− 7)2 = 36,
a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną. Wyznacz współrzędne środka tej jednokładności.
(2) Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych x+y−4 = 0, x−y−4 = 0 oraz x−3y+8 = 0.
Trójkąt A0 B 0 C 0 jest obrazem trójkąta ABC w jednokładności o skali k = logsin π 0, 5 i
4
środku w początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne trójkąta A0 B 0 C 0 oraz
pola obu trójkątów.
(3) Dane są wierzchołki A = (3, −5), B = (9, 1) oraz C = (5, 2) trapezu równoramiennego,
w którym AB k CD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
(4) Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x2 − 2x + y 2 + 4y = 0 równoległych
do prostej przechodzącej przez środek danego okręgu oraz punkt C = (5, 0).
(5) Dany jest trójkąt ABC, w którym A = (0, 0), B = (8, 0) i C = (3, 6). Wyznacz pole oraz
współrzędne środka koła opisanego na tym trójkącie.
(6) Wyznacz równania tych prostych przechodzących przez punkt A = (4, 2), które odcinają
od pierwszej ćwiartki układu współrzędnych trójkąt o polu 25.
(7) W trójkącie ABC wysokość opuszczona z wierzchołka C zawiera się w prostej y = 1 − x,
środkowa AD tego trójkąta zawiera się w prostej y = 0, 5x+4, a punkt B ma współrzędne
(5, 4). Wyznacz współrzędne pozostałych punktów tego trójkąta oraz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka C.
(8) Pole wypukłego czworokąta ABCD jest równe 40, punkt A(−4, −1) jest jednym z jego
wierzchołków, a prosta y = 3x + 1 jego osią symetrii. Wyznacz pozostałe współrzędne
tego czworokąta wiedząc także, że punkt B nie leży na osi OY .
Odpowiedzi:
(1) S = (1, −4)
(2) Współrzędne trójkąta A0 B 0 C 0 : (2, 6), (8, 0), (20, 16), pole ∆ABC = 18, pole ∆A0 B 0 C 0 =
72.
(3) D = (2, −1)
(4) y = 21 x oraz y = 12 x − 5
(5) S = (4, 74 ), Pole koła= 305
16 π
(6) y = −2x + 10 oraz y = − 81 x + 52
√
14
14
(7) A(10, 9), C(− 11
3 , 3 ), hC =
3
(8) C(2, −3), B(−2, −5), D(2, 7)
2
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]