Zadania z geometrii B

Zadania z geometrii B
Zestaw 5: środek masy i ciężkości; współrzędne barycentryczne i afiniczne
Trochę fizyki:
1. Znaleźć środek masy układu złożonego z punktów P0 = (1, 3, 2), P1 = (2, 3, 1), P2 = (0, 1, 0) o masach
odpowiednio m0 = 2, m1 = 7, m2 = 3.
2. Pokazać, że środek masy układu dwupunktowego leży miedzy punktami układu i dzieli odcinke łączący
te punkty w stosunku odwrotnym do ich mas.
3. Pokazać, że środek masy układu punktów nie zmieni się, jeśli część układu zastąpimy punktem materialnym o masie równej masie tej części i umieszczonym w środku masy zastępowanej części układu.
4. Pokazać następujące własności środka masy:
(a) Pęd (ogólny) układu równa się pędowi masy całkowitej umieszczonej w środku masy.
(b) Suma sił bezwładności punktów układu równa się sile bezwładności masy całkowitej układu umieszczonej w środku masy.
(c) Środek masy porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona całkowita masa układu, poddana
działaniu sumy wszystkich sił działających na punkty układu.
(d) Jeżeli suma sił, działających na układ punktów jest stale równa zeru, to środek masy albo jest w
spoczynku, albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, a pęd ogólny układu jest wektorem
stałym.
Następne zadania mają charakter czysto geometryczny. W zadaniach tych utożsamiamy środek ciężkości
ze środdkiem masy jak się to czyni w geometrii.
5.
6.
7.
8.
Wyznaczyć środek odcinka AB jeśli A = (1, 4) oraz B = (−5, 2).
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości trójkąta o wierzchołkach A = (2, 5), B = (−4, 1), C = (−1, 0).
Dane są środki boków trójkąta P = (−2, −1),Q = (−2, −4),R = (3, 0).
Wyznaczyć punkty A i B jeśli wiadomo że punkt C = (−5, 4) dzieli AB w stosunku 3 : 4, zaś punkt
D = (6, −5) w stosunku 2 : 3.
9. Dane są dwa wirzchołki trójkąta A = (2, 1) oraz B = (3, −2). Wyznacz współrzędne trzeciego wierzchołka
C tak, aby środek ciężkości trójkąta leżał na osi 0x a jego pole wynosiło 3.
10. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby punkt Q był środkiem ciężkośći trójkąta ABC jest
−→ −−→ −−→ ~
QA + QB + QC = 0.
Udowodnij to.
11. Niech dany będzie trójkąt ABC i jego środek ciężkości. Pokaż, że
AB 2 + BC 2 + CA2 = 3(M A2 + M B 2 + M C 2 ).
−−→
−−→
12. Dany jest czworościan ABCD. Niech K będzie jego środkiem ciężkości. Wyznacz wektor AK jeśli AB = ~v,
−→
−−→
~ oraz AD = ~u.
AC = w
13. Czy punkt (0, 1, 1) leży na płaszczyźnie H wyznaczonej przez punkty:
(a) (0, 1, 2); (0, 1, 0); (0, 0, 0);
(b) (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1);
14. Znaleźć współrzędne barycentryczne punktu (1, 1, 1) w bazie złożonej z punktów
(0, 0, 0); (1, 1, 1); (1, 0, 1); (0, 1, 0).
15. Punkt M ma w bazie ((0, 0, 0); (1, 1, 1); (1, 0, 1); (0, 1, 0)) współrzędne barycentryczne (0, 31 , 13 , 31 ). Znaleźć
jego współrzędne barycentryczne w bazie
(a) ((0, 0, 0); (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1));
(b) ((0, 0, 0); (2, 0, 0); (0, 2, 0); (0, 0, 2));
16. Znaleźć współrzędne afiniczne punktu (3, 4, 3) w bazie
(a) ((0, 0, 0); [1, 1, 1], [1, 0, 1], [0, 2, 0])
(b) ((2, 2, 2); [1, 1, 1], [1, 0, 1], [0, 2, 0])
1