Metody matematyczne fizyki, egzamin, 1. termin, 3 lutego 2013 1

zadania 1–4 – po dwa punkty; zadanie 5 – cztery punkty i zadanie 6 – trzy punkty. W sumie 15 punktów.
Odrzucamy 3 punkty; zostaje 12 punktów:Zaliczenie egzaminu:
5-6 – dst; 7-8 – pdst; 9-10 – db; 11-12 – pdb; powyżej 12 – bd.
Metody matematyczne fizyki, egzamin, 1. termin, 3 lutego 2013
1. Wykaż, że zarówno część rzeczywista jak i urojona funkcji analitycznej spełnia
równanie Laplace’a. →( pkt.2)
2. Znajdź wszystkie punkty osobliwe i oblicz w niech residua funkcji
π
. →( pkt.2)
sin πz
Punkty osobliwe – bieguny 1. rzędu w z = 0, ±1, . . . , ±n. Residua (−1)n .
3. Rozwiąż równanie
x2 y 00 (x) − xy 0 (x) − 3y(x) = 0.
→( pkt.2)
Równanie Eulera. x−1 i x3
4. Rodzinę wielomianów Legendre’a zróżniczkowano czterokrotnie. Przez co (jaki wielomian) należy pomnożyć te pochodne, aby otrzymane wielomiany były
ortogonalne – w jakim przedziale ? – z wagą równą 1? →( pkt.2)
stara waga 1. Nowa waga (zgodnie z twierdz.) w(x) = 1 · α4 = (1 − x2 )4 . Tak
więc czwarte pochodne mnożymy przez (1 − x2 )2
5. Mamy równanie
1
1
y (x) +
− 1 y 0 (x) + y(x) = 0.
x
x
Sklasyfikuj to równanie i znajdź wartości liczbowe jego parametrów. Znajdź jedno rozwiązanie tego równania. Czy jest szansa znalezienie drugiego rozwiązania
w postaci analogicznej do postaci pierwszego rozwiązania? Oblicz Wrońskian
tego równania. Zapisz równanie w postaci samosprzężonej. →4 pkt.
!
00
równanie konfluentne; a = −1; c = 1; y1 = 1 − x. Ze względu na całkowite c
drugie rozw. nie będzie wielomianem – można go znaleźć m. Wrońskianu.
Wrońskian : ex /x. Jego odwrotność to czynnik, przez który trzeba mnożyć aby
równanie, aby zapisać go w postaci samosprzężonej.
6. „Pierwsza” funkcja Bessela 1. rodzaju o wskaźniku połówkowym to:
(−1)k
x
J1/2 (x) =
k=0 k! (k + 1/2)! 2
∞
X
!2k+1/2
.
=⇒ wykład
Egzamin z mmf-u – luty 2014
Drodzy Państwo. Wydaje mi się, że właśnie te pytania, „zagadnienia do powtórki” dla egzaminu inżynierskiego – po niewielkim uzupełnieniu – będą stanowić dla Was istotne wskazówki
na temat: jak przygotować się do egzaminu pisemnego z MMF w sesji zimowej 2013/14.
Powodzenia.
Dołączam egzamin A.D.2012. Egzamin będzie zawierał „pytania”; do odpowiedzi na niektóre mogą być jednak potrzebne proste rechunki.Pan Starosta ustalił ze mną terminy i miejsca:
•
I termin — 3.II.2014 (poniedziałek) godzina 16–18 sale C i D
•
II termin — 14.II.2014 (piątek) godzina 13–15 sala D
• III termin — 21.II.2014 (piątek) godzina 13–15 sala D
na czerwono: dopisane zagadnienia (pytania)
Pytanie 1: Szereg Taylora funkcji zmiennej zespolonej.
Pytanie 2: Szereg Laurenta funkcji zmiennej zespolonej.
Pytanie 3: Sklasyfikuj rodzaje osobliwości funkcji zmiennej zespolonej: usuwalną, biegunową i istotną. Podaj przykłady każdej takiej osobliwości.
Pytanie 4: Czemu jest równe residuum funkcji zmiennej zespolonej w punkcie będącym osobliwością usuwalną tej funkcji?
Pytanie 5: Czemu jest równe residuum funkcji zmiennej zespolonej w punkcie będącym osobliwością biegunową tej funkcji?
Pytanie 6: Twierdzenie o residuach.
Pytanie 7: Jakie są konsekwencje warunków Cauchy’ego-Riemanna? W szczególności: co wiesz
o wzajemnym usytuowaniu izolinii u(x, y) = const i v(x, y) = const, (gdzie u i v
to odpowiednio część rzeczywista i urojona analitycznej funkcji zmiennej zespolonej
f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) na płaszczyźnie zespolonej? Jakie równanie muszą spełniać
u i v, jeżeli f jest funkcją analityczną?
Pytanie 8: O czym mówi twierdzenie Liouville’a?
Pytanie 9: O czym mówi lemat Jordana?
Pytanie 10: Co to jest punkt będący osobliwością regularną, a co – osobliwością nieregularną dla
równania różniczkowego?
Pytanie 11: Jakie znasz podstawowe równania różniczkowe, drugiego rzędu, liniowe? Jakie są ich
punkty osobliwe? W szczególności: które równanie jest formą kanoniczną równania o
trzech punktach osobliwych regularnych (jakie to punkty – chodzi o równanie Gaussa)? A jakie równanie jest formą kanoniczną równania o jednym punkcie osobliwym
regularnym i jednym – nieregularnym – chodzi o równanie konfluentne? Jak wyglądają szeregi, reprezentujące rozwiązania tych równań? Czy to zawsze muszą być szeregi
(sumy nieskończone)?
1
Pytanie 12: Metoda Wrońskianu dla znajdywania 2. rozwiązania. Obowiązuje znajomość (albo możesz zawsze je wyprowadzić z postaci samosprzężonej) Wrońskianu dla równ. Bessela
i Legendre’a.
Pytanie 13: Co wiesz o obu rozwiązaniach równania Legendre’a:
(1 − x2 )y 00 (x) − 2xy 0 (x) + l(l + 1)y(x) = 0, l = 0, 1, 2, . . .?
Obowiązuje znajomość tego równania!!!
Pytanie 14: Do jakich równań separuje się równanie Schroedingera dla atomu wodoru? W szczególności – jak wygląda równanie radialne? Jego rozwiązania? Dlaczego muszą być wielomianami zmiennej radialnej? (Bo dla rozwiązania w postaci szeregu nie da się znormalizować funkcji falowej.) Jakie są tego konsekwencje? (Kwantyzacja energii.)
Pytanie 15: Równanie Schroedingera dla oscylatora harmonicznego ma rozwiązanie, w którym występują pewne wielomiany ortogonalne? Jakie? A jak kwantują się poziomy energatyczne?
Pytanie 16: Jaką postać ma funkcja konfluentna F (a, b; x) w przypadku ogólnym? A jaką, gdy parametry a i/lub b przybierają pewne specyficzne wartości (jakie)?. Dlaczego to jest tak
istotne z punktu widzenia fizyki?
Pytanie 17: Jaką (przybliżoną) postać ma funkcja konfluentna F (a, b; x) dla dużych wartości argumentu x?
Pytanie 18: Równanie Bessela (obowiązuje znajomość tego równania) i jego podstawowe rozwiązanie
– funkcja Bessela 1. rodzaju Jn (kx). Dlaczego mamy argument kx a nie po prostu x?
Pytanie 19: Zdefiniuj pojęcie iloczynu wewnętrznego („skalarnego”) dwóch funkcji w przestrzeni
funkcyjnej. Kiedy funkcje nazywamy ortogonalnymi?
Pytanie 20: Co to znaczy, że operator występujący w równaniu różniczkowym jest samosprzężony?
Podaj definicję zarówno poprzez równość odpowiednich iloczynów skalarnych, jak i własności funkcji występujących w określeniu operatora, a także funkcji na które operator
działa.
Pytanie 21: Jakie własności posiadają rozwiązania równania różniczkowego, którego operator posiada własność samosprzężoności (przypadek niezdegenerowanych wartości własnych)?
Pytanie 22: Określ z jakimi jakościowo różnymi typami przedziałów zmiennej x (tj. skończony, domknięty jednostronnie, otwarty obustronnie) możemy mieć do czynienia „w praktyce”.
Jakie znasz funkcje, które mogą być stanowić bazę w tych przedziałów? Jakie są funkcje
wagowe (w określeniu iloczynu wewnętrznego) dla tych przedziałów?
Pytanie 23: Czy oprócz wielomianów Legendre’a znasz jeszcze inne funkcje, które mogą być bazą w
przedziale zmiennej x o skończonej długości (np. [0, 1]? Jakie są wagi takich funkcji?
(Chodzi o szeregi Fouriera, ale i o odpowiednio skalowane funkcje Bessela).
Pytanie 24: Funkcja gamma Eulera; jej definicja całkowa i podstawowe własności.
2