ANALIZA SCHEMATÓW BLOKOWYCH

ANALIZA SCHEMATÓW BLOKOWYCH
OPIS UKŁADÓW ZA POMOCĄ ZMIENNYCH STANU
Zadanie 1 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)
Problem:
Wyznaczyć transmitancję od u do y układu:
Rozwiązanie:
1) Przesuwamy węzeł za blok G2:
2) Łączymy szeregowo G1 i G2 :
3) Łączymy równolegle H1 i 1/G2:
4) Przesuwamy węzeł przed blok H1+1/G2:
5) Łączymy szeregowo H2 i H1 + 1/G2:
6) Upraszczamy połączenie równoległe po prawej stronie:
7) Upraszczamy sprzężenie zwrotne:
8) Łączymy szeregowo pozostałe dwa układy:
Po podstawieniu poszczególnych transmitancji do wzoru otrzymamy transmitancje wypadkową:
G ( s) =
2s 2 + s + 1
2s 4 + 3s 3 + 2 s 2 + 1
Zadanie 2 (Zmienne stanów i schematy blokowe układów)
Problem:
Napisać równanie stanu i równania wyjścia dla zmiennych stanu z rysunku:
Rozwiązanie:
1

=
⋅
=
⋅ x4
x
G
x
1
2
4

2s

x = H ⋅ x = 1 ⋅ x
1
1
1
 2
s

x = H ⋅ ( x + x ) = 1 ⋅ ( x + x )
2
2
4
2
4
 3
s

1
 x4 = G1 ⋅ (u − x3 ) =
⋅ (u − x3 )
s+4

1

s ⋅ x1 = 2 ⋅ x 4

s ⋅ x 2 = x1
s ⋅ x3 = x 2 + x 4

s ⋅ x 4 + 4 ⋅ x 4 = u − x3 ⇒ s ⋅ x 4 = − x3 − 4 ⋅ x 4 + u
1
⋅ x 4 (t )
2
x 2 (t ) = x1 (t )
(1)
(2)
x1 (t ) =
x3 (t ) = x 2 (t ) + x 4 (t )
x 4 (t ) = − x3 (t ) − 4 ⋅ x 4 (t ) + u (t )
(3)
Równanie stanu:
 x&1 
 x& 
 2 =
 x&3 
 
 x&4 
1  x 

0
0
0
1

2  x 
1 0 0
0 *  2 +

  
1   x3 
0 1 0
 0 0 − 1 − 4   x4 
 44
1
42444
3
A
0 
0 
  *u
0 
 
1
{
(4)
B
Równanie wyjścia:
y = C ⋅ x + D ⋅ u = x1 + x 2 + x 4
(5)
 x1 
x 
y = [1 1 0 1] ⋅  2 
 x3 
 
 x4 
(6)
Przykłady przekształcania transmitancji na zmienne stanu
Metoda bezpośrednia
Przykład 1
G ( s) =
s
s +1
1
s s
1
Y ( s)
⋅ =
=
1 U ( s)
s +1 1
1+
s
s
U ( s) Y ( s)
=
= E ( s)
1
1
1+
s
Y (s) = E (s)
U ( s)
= E ( s)
1
1+
s
1
 1
U ( s ) = E ( s ) ⋅ 1 +  = E ( s ) + ⋅ E ( s )
s
 s
1
E ( s) = U ( s) − ⋅ E ( s)
s
Równanie zmiennych stanu
•
x = − x1 + u
•
 x  = [− 1]⋅ [x1 ] + [1]⋅ [u ]
•
y = x = − x1 + u
[ y ] = [− 1]⋅ [x1 ] + [1]⋅ [u ]
Mnożąc licznik i mianownik transmitancji przez s-n
otrzymamy
G ( s) =
bn −1 s −1 + ... + b1 s 1− n + b0 s − n
Y (s)
prz
=
U ( s ) 1 + a n −1 s −1 + ... + a1 s 1− n + a0 s − n
y czym Y(s) i U(s) są odpowiednio transformatą
Laplace’a odpowiedzi i wymuszenia.
W zależności mamy:
Y ( s ) = (bn −1 s −1 + ... + b1 s 1−n + b0 s − n ) E ( s )
przy czym
E ( s) =
U ( s)
1 + a n −1 s + ... + a1 s 1− n + a0 s − n
−1
Zależność możemy również zapisać w postaci:
E ( s ) = U ( s ) − (a n −1 s −1 + ... + a1 s 1− n + a 0 s − n ) E ( s )
Y(s)
E(s) s-1
E(s)
U(s)
∫
x1
•
x
-1
Przykład 2
G (s) =
Równanie zmiennych stanu –
W następnych przykładach nie
będzie one wyprowadzone.
Y ( s)
2s + 3
=
s + s + 1 U ( s)
2
Y ( s)
2s + 3 s −2
2s −1 + 3s − 2
⋅
=
=
2
−2
−1
−2
U ( s)
s + s +1 s
1+ s + s
U ( s)
Y (s)
= −1
= E (s)
−1
−2
1+ s + s
2 s + 3s −2
Y ( s)
= E ( s)
−1
2s + 3s − 2
Y ( s ) = E ( s ) ⋅ 2s −1 + 3s − 2 = 2 ⋅ E ( s ) ⋅ s −1 + 3E ⋅ ( s ) ⋅ s − 2
U ( s)
= E ( s ) ⇒ U ( s ) = E ( s ) ⋅ 1 + s −1 + s − 2
−1
−2
1+ s + s
E ( s ) = U ( s ) − E ( s ) ⋅ s −1 − E ( s ) ⋅ s − 2
[
]
[
]
•
x = x2
y = 2 x2 + 3x1 =
•
x = − x1 − x 2 + u
= 3x1 + 2 x 2
•  0 1  x 
0
x = 
⋅  1  +   ⋅ [u ]

•
 x  − 1 − 1  x 2   1 
 
A
B
x 
y = [3 2] ⋅  1  + [0] ⋅ [u ]
 x2 
C
D
2
E(s) s-1
E(s)
U(s)
E(s) s-2
∫
∫
•
•
Y(s)
3
x2
x1
-1
-1
Przykład 3
G(s) =
=
4 s 2 + 5s + 1
4 s 2 + 5s + 1
= 2
=
( s + 3)( s + 4)( s + 5) ( s + 3s + 4s + 12)( s + 5)
Y ( s)
4 s 2 + 5s + 1
4 s 2 + 5s + 1
=
=
3
2
2
3
2
s + 7 s + 12s + 5s + 35s + 60 s + 12s + 47 + 60 U ( s )
s −3
Y ( s)
4 s + 5s + 1
4s −1 + 5s − 2 + s −3
⋅
=
=
3
2
−3
−1
−2
−3
U (s)
s + 12s + 47 s + 60 s
1 + 12 s + 47 s + 60s
U ( s)
Y ( s)
= −1
= E ( s)
−1
−2
−3
1 + 12s + 47 s + 60s
4 s + 5s − 2 + s − 3
Y ( s ) = E ( s ) ⋅ 4s −1 + 5s − 2 + s −3
[
U ( s ) = E ( s ) ⋅ [1 + 12s
]
−1
+ 47 s
−2
+ 60s −3
]
−1
E ( s ) = U ( s ) − 12 ⋅ E ( s ) ⋅ s − 47 ⋅ E ( s ) ⋅ s − 2 − 60 ⋅ E ( s ) ⋅ s −3
-47
5
-12
E(s) s-3
E(s) s-1
E(s)
∫
∫
U(s)
E(s) s-2
4
-60
∫
Y(s)
Przykład 4
Problem:
Układ jednowymiarowy o schemacie ogólnym przedstawionym na rysunku 1., o transmitancji G(s) opisać
równaniami stanu i równaniami wyjścia. Narysować schemat blokowy wynikający z obliczeń zmiennych
stanów.
u(t)
•
x
B
∫
x
C
Schemat układu jednowymiarowego
o wejściach r=1 , wyjściach m=1 i
o n=3 równaniach stanu
y(t)
t)
A
Rys.1Schemat ogólny układu
(1)
Transmitancja G(s) to stosunek
transmitancji sygnału wyjściowego
Y(s) do transmitancji sygnału
sterującego U(s).
1
s3
1
s3
(2)
Mnożymy licznik i mianownik
transmitancji G(s) przez
odwrotność najwyższej potęgi w
mianowniku
1
1
1
3 +1 2 + 2 3
Y (s )
s
s
= s
G (s ) =
1
1
1
U (s )
2+ +2 2 + 3
s
s
s
(3)
Rozwiązanie:
G (s ) =
Y (s )
3s 2 + 1s + 2
= 3
U (s ) 2 s + s 2 + 2 s + 1
3s 2 + 1s + 2
G (s ) = 3
2s + s 2 + 2s + 1
E (s ) =
U (s )
Y (s )
=
1
1
1
1
1
1
2 + + 2 2 + 3 3 +1 2 + 2 3
s
s
s
s
s
s
1
1
1
U (s ) = 2 E (s ) + E (s ) + 2 E (s ) 2 + E (s ) 3
s
s
s
1
1
1
Y (s ) = 3E (s ) + E (s ) 2 + 2 E (s ) 3
s
s
s
(4)
Równania (5) i (6) otrzymujemy
przez wymnożenie stronami
równania (4)
(5)
(6)
Przekształcając równanie (5) otrzymujemy:
1
1
1
2 E (s ) = U (s ) − E (s ) − 2 E (s ) 2 − E (s ) 3
s
s
s
E (s ) = U (s ) −
1
1
1 1
1
E (s ) − E (s ) 2 − E (s ) 3
2
s
2
s
s
:2
Wprowadzamy zmienną E(s) i
przekształcając równanie (3)
otrzymujemy poniższą zależność
(7)
(8)
Na podstawie równania (8) wyznaczamy równania stanu w postaci wektorowej:
•
x 1 = 1x 2
(9)
•
x 2 = 1x 3
(10)
•
E (s ) = x 3
•
E (s ) 1s = x 2 = x 3
•
1
1
1
x 3 = U (s ) − x 3 − x 2 − x1
2
2
2
•
1
1
1
x 3 = − x1 − x 2 − x 3 + U (s )
2
2
2
W równaniach (9),(10),(11)
występują poniższe
podstawienia:
•
(11)
E (s ) 1s 1s = x 1 = x 2
E (s ) 1s
1 1
s s
= x1
Równanie stanu w postaci wektorowo-macierzowej:
• 
 x• 1   0
x 2  =  0
•   1
 x 3  − 2
 
0

A= 0
− 12
0 
 
B = 0 
 12 
0   x1  0
 

0
1  ⋅  x 2  + 0 ⋅ U (s )
− 1 − 12   x 3   12 
1
0

0
1
− 1 − 12 
(12)
Macierz stanu o wymiarach
n x n (13)
1
(13)
Macierz sterowania o
wymiarach n x r (14)
(14)
Równanie stanu w uproszczonej postaci:
•
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t )
(15)
Równanie wyjścia powstało po przekształceniu równania (6):
y = 2 x1 + x 2 + 3x 3
(16)
Równanie wyjścia w postaci macierzowej:
 x1 
y = [2 1 3]⋅  x 2  + 0 ⋅ U (s )
 x 3 
(17)
C = [2 1 3]
(18)
D=0
(19)
Równanie wyjścia w uproszczonej postaci:
y(t)=Cx(t)
(20)
Równanie wyjścia (16)
powstało po podstawieniu do
równania (6) następujących
wyrażeń:
E (s ) 1s = x 3
E (s ) 1s 1s = x 2
E (s ) 1s 1s 1s = x1
Macierz wyjścia o wymiarach
mxn
Stała macierz transformacji o
wymiarach m x r
3
1
u(t)
•
•
1
−
2
x3
∫
−
x3 = x 2
•
∫
x 2 = x1
∫
x1
y(t)
2
1
2
−2
−
1
2
Rys.2 Schemat blokowy układu regulacji spełniający równania stanu i wyjścia dla transmitancji G(s).