Rozdziaª 1 Schematy blokowe ukªadów automatyki

Rozdziaª 1
Schematy blokowe ukªadów automatyki
Autorzy:
Marcin Stachura
1.1
Algebra schematów blokowych
1.1.1
Zasady przeksztaªcania schematów blokowych
W celu uproszczenia wypadkowej transmitancji operatorowej regulatora, obiektu regulacji
lub caªego ukªadu regulacji w przypadku, gdy skªada si¦ on z kilku elementów ró»nie
poª¡czonych, nale»y wyprowadzi¢ zale»no±ci na transmitancj¦ wypadkow¡. Ka»dy ukªad
regulacji, niezale»nie od tego czy jest bardziej lub niej zªo»ony, mo»na rozªo»y¢ na cz¦±ci
skªadaj¡ce si¦ z elementów poª¡czonych szeregowo, równolegle, w ukªadzie ze sprz¦»eniem
zwrotnym i równolegle z oddzielnymi wej±ciami lub wyj±ciami.
Zasady przeksztaªcania schematów blokowych w celu ich uproszczenia i okre±lenia transmitancji ukªadu nazywane s¡ algebr¡ schematów blokowych. W tablicy 1.1 , 1.2
przedstawiono zestawienie zasadniczych przykªadów takich przeksztaªce«. Ich znajomo±¢
wystarcza do okre±lenia transmitancji dowolnie zªo»onego ukªadu.
Transmitancj¦ wypadkow¡ du»ej liczby elementów ró»nie poª¡czonych znajduje si¦, w
prostszych przypadkach, drog¡ rozªo»enia ukªadu na cz¦±ci proste. Jednak»e ta metoda
wymaga du»ej przejrzysto±ci schematu blokowego, co przy bardziej zªo»onych ukªadach
regulacji mo»e powodowa¢ pewne trudno±ci. Dlatego w takich przypadkach najlepiej jest
post¦powa¢ nast¦puj¡co:
1. Dla ka»dego punktu w¦zªowego , do którego dochodzi kilka sygnaªów
zestawia
si¦, zgodnie z zasad¡ superpozycji, równanie i z otrzymanego w ten sposób ukªadu
równa« wyznacza si¦ szukan¡ transmitancj¦.
2. W ka»dym punkcie w¦zªowym wszystkie sygnaªy odchodz¡ce s¡ wzajemnie sobie
równe i jednocze±nie ka»dy z tych sygnaªów odchodz¡cych równa si¦ sumie wszystkich sygnaªów przychodz¡cych.
1
Rysunek 1.1 Tablica podstawowych przeksztaªce« schematów blokowych, cze±¢ a.
2
Rysunek 1.2 Tablica podstawowych przeksztaªce« schematów blokowych, cze±¢ b.
W przypadkach zªo»onych, gdy transmitancj¦ ukªadu wyra»a si¦ jako funkcj¦ transmitancji jego elementów wprowadza si¦ uproszczone oznaczenie transmitancji, np. zamiast
Gx (s)
1.1.2
piszemy po prostu
Gx .
Przykªady zada«
Przykªad 1.1
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.1 .
Rysunek 1.3 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.1
Rozwi¡zanie:
Šatwo zauwa»y¢, korzystaj¡c z tablicy 1.1 , »e w prosty sposób mo»na wyznaczy¢ dwie
transmitancje zast¦pcze
G4 , G5
Z1 , Z2
transmitancji
G2 , G3
(poz. 3. sprz¦»enie zwrotne) (rys 1.4 ):
3
(poz. 2. poª¡czenie równolegªe) oraz
Rysunek 1.4 Wyznaczanie transmitancji zast¦pczych dla elementów o
transmitancjach
Przy czym
G2 , G3
oraz
Z1 = G2 + G3
G4 , G5 .
, natomiast
Z2 =
G4
. Wyj±ciowy ukªad mo»na wi¦c przed1+G4 G5
stawi¢ nast¦puj¡co:
Rysunek 1.5 Zmodykowany ukªad poª¡cze« dla przykªadu 1.1
Nast¦pnie wyznaczana jest transmitancja zast¦pcza caªego ukªadu wyj±ciowego
Z (z
ta-
blicy 1.1 . poz. 1, poª¡czenie szeregowe, rys. 1.1 ), która wynosi¢ b¦dzie:
Z = G1 Z1 Z2 =
G1 G4 (G2 + G3 )
1 + G4 G5
4
(1.1)
Przykªad 1.2
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.6 .
Rysunek 1.6 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.2 .
Rozwi¡zanie:
Podobnie jak w poprzednim przykªadzie (przykªad 1.1 ) wyznaczamy dwie transmitancje
zast¦pcze
Z1 , Z2
transmitancji
G1 , G2
(poz. 1. poª¡czenie szeregowe) oraz
G3 , G4
(poz. 3.
poª¡czenie równolegªe) (rys. 1.7 ):
Rysunek 1.7 Wyznaczanie transmitancji zast¦pczych dla elementów o
transmitancjach
Przy czym
G1 , G2
oraz
G3 , G4 .
Z1 = G2 G3 , natomiast Z2 = G3 +G4 . Wyj±ciowy ukªad mo»na wi¦c przedstawi¢
5
nast¦puj¡co:
Rysunek 1.8 Zmodykowany ukªad poª¡cze« dla przykªadu 1.2 .
Nast¦pnie wyznaczana jest transmitancja zast¦pcza caªego ukªadu wyj±ciowego
Z (z
ta-
blicy 1.1 . poz. 3, sprz¦»enie zwrotne, rys. 1.8 ), która wynosi¢ b¦dzie:
(1.2)
Przykªad 1.3
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.9 .
Rysunek 1.9 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.3 .
Rozwi¡zanie:
W pierwszej kolejno±ci nale»y przenie±¢ w¦zeª sumacyjny (1) za czªon o transmitancji
G1
(zgodnie z tablic¡ 1.1 . poz. 8, przesuni¦cie w¦zªa sumacyjnego za blok),
schemat jak na rys.1.10 :
6
otrzymuj¡c
Rysunek 1.10 Zmodykowany ukªad poª¡cze« dla przykªadu 1.3 .
Nast¦pnie nale»y przestawi¢ kolejno±¢ w¦zªów sumacyjnych (1) oraz (2) (zgodnie z tablic¡
1.1 . poz. 4, zmiana kolejno±ci w¦zªów sumacyjnych), otrzymuj¡c schemat jak na rys.1.11
:
Rysunek 1.11 Zmodykowany ukªad poª¡cze« dla przykªadu 1.3 .
Dzi¦ki zamianie w¦zªów sumacyjnych mo»na upro±ci¢ uzyskany schemat do dwóch transmitancji zast¦pczych
Z1, Z2 ,
a nast¦pnie wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu (rys.
1.12 )
Rysunek 1.12 Zmodykowany ukªad poª¡cze« dla przykªadu 1.3 .
7
Transmitancja zast¦pcza b¦dzie miaªa posta¢:
Z = Z1 Z2 = (G1 + 1)
1 + G1
1
=
(1 − G1 )
1 − G1
(1.3)
Przykªad 1.4
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.4 .
Rysunek 1.13 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.4
W zadaniu tym, na pocz¡tek nale»y przesun¡¢ w¦zeª informacyjny przy transmitancji
za blok o transmitancji
G2
G3
(zgodnie z tablic¡ 1.1 poz. 10, przesuni¦cie w¦zªa informacyj-
nego za blok) rys. 1.4 A. Nast¦pnie wyznaczane s¡ dwie transmitancje zast¦pcze
Z1, Z2
dla elementów zaznaczonych na rys. 1.4 B. Wynosz¡ one odpowiednio (sprz¦»enie zwrotne
oraz poª¡czenie szeregowe patrz j.w.):
G3
1
G3 + 1 =
+1
Z1 =
G2
G2
Z2 =
G2
1 + G2
Uzyskano w ten sposób ukªad poª¡cze« jak na rys.
(1.4)
(1.5)
1.15 A, transmitancja zast¦pcza
Z3
wynosi:
G3
G2
G3 G2
G2
Z3 = Z1 Z2 =
+1
= 2
+
G2
1 + G2
G2 + G2 1 + G2
8
(1.6)
Rysunek 1.14 Zmodykowany ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.4
Rysunek 1.15 Zmodykowany ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.4 . Krok
drugi.
Nast¦pnie dzielimy w¦zeª informacyjny transmitancji
Z3
na dwie cz¦±ci (rys. 1.15 B).
W kolejnym kroku przesuwamy w¦zeª sumacyjny oraz wyznaczamy dwie transmitancje
zast¦pcze
Z4 , Z5 (rys.
1.16 A), które wynosz¡ odpowiednio:
Z4 =
G1
G1
=
G3 G2
1 + G1 Z3
1 + G1 G2 +G2 +
2
Z5 =
G3 G2
G2
+
+1
2
G2 + G2 1 + G2
9
G2
1+G2
(1.7)
(1.8)
Rysunek 1.16 Zmodykowany ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.4 . Krok
trzeci.
Ostatecznie transmitancja zast¦pcza
Z
caªego ukªadu wynosi (rys. 1.16 B):
Z = (Z4 Z5 ) + 1
Przykªad 1.5
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.17 .
Rysunek 1.17 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.5 .
10
(1.9)
Wskazówka: W podanym przykªadzie pro±ciej jest wyznaczy¢ równania dla w¦zªów
sumacyjnych A i B i analitycznie wyznaczy¢ poszukiwan¡ transmitancj¦ zast¦pcz¡.
W odniesieniu do w¦zªa sumacyjnego A sªuszne jest równanie:
v = vG1 + xG6 + yG4
(1.10)
a w odniesieniu do w¦zªa sumacyjnego B równanie:
y = yG2 + xG5 + vG3
(1.11)
Ruguj¡c z powy»szych równa« zmienn¡ v otrzymuje si¦:
G6 (1 − G2 ) + G4 G5
y
=
x
(1 − G1 ) (1 − G2 ) − G3 G4
Co jest szukan¡ transmitancj¡ zast¦pcz¡.
11
(1.12)
1.1.3
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Przykªad 1.6
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.6
Rysunek 1.18 Ukªad poª¡cze« elementów do przykªadu 1.6
Przykªad 1.7
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.19 .
Rysunek 1.19 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.7 .
12
Przykªad 1.8
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.20
Rysunek 1.20 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.8 .
Przykªad 1.9
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys.1.9
Rysunek 1.21 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.9
13
Przykªad 1.10
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.10
Rysunek 1.22 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.10
Przykªad 1.11
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.11
Rysunek 1.23 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.11
14
Przykªad 1.12
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.12
Rysunek 1.24 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.12
Przykªad 1.13
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.13
Rysunek 1.25 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.13
15
Przykªad 1.14
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.14
Rysunek 1.26 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.14
Przykªad 1.15
Wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu przedstawionego na rys. 1.15
Rysunek 1.27 Schemat poª¡cze« elementów do przykªadu 1.15
16
1.2
Schematy blokowe ukªadów automatyki
Analizuj¡c ukªady automatyki pro±ciej jest wykorzystywa¢ schematy blokowe ni» schematy
technologiczne. Utworzenie schematu blokowego, skªadaj¡cego si¦ z szeregu transmitancji
operatorowych wymaga opisania poszczególnych zespoªów technologicznych odpowiednimi
równaniami, a nast¦pnie wyznaczenia na tej podstawie transmitancji operatorowych. Wyznaczone transmitancje ukªadane s¡ nast¦pnie w schemat blokowy, na podstawie, którego
mo»na wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ caªego ukªadu.
1.2.1
Przykªady zada«
Przykªad 1.16
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu elektrycznego przedstawionego na rys. 1.16 . Wymuszeniem jest napi¦cie x, natomiast wyj±ciem obiektu napi¦cie oznaczone jako y.
Rysunek 1.28 Schemat prostego ukªadu elektrycznego do przykªadu 1.16
Napi¦cie x mo»na okre±li¢ jako:
x (t) = Ri (t) + y (t)
(1.13)
przy czym:
i (t) = C
dy (t)
dt
(1.14)
Z zale»no±ci (1.13 ), (1.14 ) mo»na wyznaczy¢ równanie ró»niczkowe ukªadu:
T
dy (t)
+ y (t) = x (t)
dt
(1.15)
gdzie:
T = RC
(1.16)
Dziaªaj¡c na równanie (1.15 ) transformat¡ Laplace'a otrzymujemy:
T sy (s) + y (s) = x (s) ⇒ y (s) (Ts + 1) = x (s)
17
(1.17)
Transmitancja ukªadu wynosi wi¦c:
G (s) =
y (s)
1
=
x (s)
Ts + 1
(1.18)
A jego schemat blokowy mo»na przedstawi¢ nast¦puj¡co:
Rysunek 1.29 Schemat blokowy ukªadu z rys. 1.16 .
Przykªad 1.17
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys.1.30 . Wymuszeniem jest moment obrotowy M przyªo»ony do waªu
wyj±ciem pr¦dko±¢ k¡towa
ω.
Rysunek 1.30 Schemat prostego ukªadu mechanicznego do przykªadu 1.17 .
Gdzie:
ω
M
- moment obrotowy,
φ - wspóªczynnik tarcia lepkiego, I - moment bezwªadno±ci,
- pr¦dko±¢ k¡towa.
Z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego mo»na napisa¢, »e:
M (t) = I
dω (t)
+ φω (t)
dt
(1.19)
A nast¦pnie, »e:
I dω (t)
1
dω (t)
+ ω (t) = M (t) ⇒ T
+ ω (t) = kM (t)
φ dt
φ
dt
Gdzie :T
=
I
,
φ
k=
(1.20)
1
.
φ
Dziaªaj¡c na równanie (1.20 ) transformat¡ Laplace'a otrzymujemy:
T sω (s) + ω (s) = kM (s) ⇒ ω (s) (Ts + 1) = kM (s)
18
(1.21)
Transmitancja ukªadu wynosi wi¦c:
G (s) =
ω (s)
k
=
M (s)
Ts + 1
(1.22)
A jego schemat blokowy mo»na przedstawi¢ nast¦puj¡co:
Rysunek 1.31 Schemat blokowy ukªadu z rys. 1.30 .
Przykªad 1.18
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys. 1.32 . Wymuszeniem jest przesuni¦cie x natomiast wyj±ciem przesuni¦cie y.
Rysunek 1.32 Schemat prostego ukªadu mechanicznego do przykªadu 1.19 .
Gdzie:
cs -
staªa spr¦»ysto±ci spr¦»yny,
ct
- staªa tªumienia tªumika pneumatycznego.
Równanie siª przedstawionego ukªadu wygl¡da nast¦puj¡co:
(x (t) − y (t)) cs = ct
dy (t)
dt
(1.23)
Z równania (1.23 ) mamy:
ct dy (t)
dy (t)
+ y (t) = x (t) ⇒ T
+ y (t) = x (t)
cs dt
dt
Gdzie:
T =
ct
.
cs
19
(1.24)
Dziaªaj¡c na równanie (1.24 ) transformat¡ Laplace'a otrzymujemy:
Tsy (s) + y (s) = x (s) ⇒ y (s) (Ts + 1) = x (s)
(1.25)
Transmitancja ukªadu wynosi wi¦c:
G (s) =
y (s)
1
=
x (s)
Ts + 1
(1.26)
A jego schemat blokowy mo»na przedstawi¢ nast¦puj¡co:
Rysunek 1.33 Schemat blokowy ukªadu z rys. 1.32
Przykªad 1.19
Przykªad ten zostaª zaczerpni¦ty z [?] .
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢
transmitancj¦ ukªadu przedstawionego na rys.1.34 . Wymuszeniem jest nat¦»enie przepªywu cieczy
Q1
a wyj±ciem poziom cieczy w zbiorniku
h.
Rysunek 1.34 Schemat ukªadu regulacji automatycznej dla przykªadu 1.48 .
Charakterystyka przetwornika pomiarowego (element oznaczony jako PP , na rys.1.34 )
wygl¡da nast¦puj¡co:
20
Rysunek 1.35 Charakterystyka przetwornika pomiarowego dla przykªadu 1.19 .
W pierwszej kolejno±ci wyznaczona zostanie transmitancja obiektu regulacji. W stanach
nieustalonych zmiany poziomu cieczy w zbiorniku mo»na opisa¢ za pomoc¡ zale»no±ci:
A
Nat¦»enie przepªywu
Q2
dh (t)
= Q1 − Q2
dt
(1.27)
mo»na obliczy¢ z równania Bernoulli'ego dla poziomu lustra
cieczy (1) oraz wypªywu ze zbiornika (2) mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:
v 2 p2
v12 p1
+
+h= 2 +
+0
2g
γ
2g
γ
Przyjmuj¡c
v1 = 0
oraz
p1 = p 2
(1.28)
otrzymuje si¦:
v2 =
Na podstawie równania ci¡gªo±ci
q
2gh
(1.29)
przepªywu tzn.:
Q2 = f v2
gdzie
f
(1.30)
- pole przekroju kanaªu zaworu.
Nast¦pnie nale»y zlinearyzowa¢ przedstawione równanie w wybranym punkcie pracy, oznaczonym
hn , Q1n , fn . W otoczeniu wybranego punktu pracy przyrosty zmiennych h oraz Q2
zast¦puje si¦ ich liniowymi aproksymacjami. Dla odró»nienia zapisu wszystkie przyrosty
oznaczane s¡ wi¦c poprzez dodanie symbolu ∆:
A
Przyrost
∆Q2 zast¡piony
∆Q2 =
d∆h (t)
= ∆Q1 − ∆Q2
dt
(1.31)
zostaje ró»niczk¡ zupeªn¡:
∂Q2
∂f
!
∂Q2
∆f +
∂h
n
!
∆h =
n
21
q
s
2gh∆f + fn
g
∆h
2hn
(1.32)
Zale»no±¢ (1.31 ) mo»na wi¦c zapisa¢ jako:
T
Gdzie:T
=
fn
√A
g
2hn
,
k1 =
d∆h (t)
+ ∆h (t) = k1 ∆Q1 (t) − k2 ∆f (t)
dt
fn
√1
g
2hn
,
k2 =
(1.33)
2hn
fn
Znak ∆ mo»e by¢ pomini¦ty, przy jednoczesnym uwzgl¦dnieniu »e w zale»no±ci (1.31 )
wyst¦puj¡ przyrosty poszczególnych warto±ci.
T
dh (t)
+ h (t) = k1 Q1 (t) − k2 f (t)
dt
(1.34)
Dziaªaj¡c na zale»no±¢ (1.34 ) transformat¡ Laplace'a otrzymujemy:
T sh (s) + h (s) = k1 Q1 (s) − k2 f (s) ⇒ h (s) (T s + 1) = k1 Q1 (s) − k2 f (s)
(1.35)
Oznaczaj¡c
v (s) = k1 Q1 (s) − k2 f (s)
(1.36)
Mo»na wyznaczy¢ transmitancj¦ obiektu regulacji:
GOB (s) =
1
h (s)
=
v (s)
Ts + 1
(1.37)
Przetwornik pomiarowy mo»na opisa¢ jako obiekt bezinercyjny ze wzmocnieniem. Wzmocnienie przetwornika mo»na odczyta¢ z jego charakterystyki (rys. 1.35 ).
kPP =
16mA
mA
wymax − wymin
=
= 5.33
wemax − wemin
3m
m
(1.38)
Jako regulator przyjmijmy regulator typu PI o transmitancji:
GR (s) = kp
1
1+
Ti s
(1.39)
Wyj±ciem z regulatora jest sygnaª pr¡dowy o zakresie 4 20 mA, który podawany jest na
ustawnik pozycyjny, który mo»na zamodelowa¢ jako element bezinercyjny o wzmocnieniu
kf Wynikowe
pole przekroju otwarcia zaworu wynosi¢ wi¦c b¦dzie:
f = kf x
(1.40)
Wykorzystuj¡c zale»no±ci (1.36 ) (1.37 ) (1.38 ) (1.39 ) (1.40 ) mo»na narysowa¢ schemat
blokowy ukªadu regulacji automatycznej, przedstawionego na rys. 1.34
22
Rysunek 1.36 [Tu wpisz Podpis rysunku. Uwaga: (1) Jedynie dla rysunków
osadzonych w rozdziaªach. W pozostaªych dokumentach element ten mo»na usun¡¢ zostanie on zignorowany.]
gdzie: 1 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.36 ), 2 graczna reprezentacja zale»no±ci
(1.37 ) , 3 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.38 ), 4 graczna reprezentacja zale»no±ci
(1.39 ), 5 -
graczna reprezentacja zale»no±ci (1.40 ).
Transmitancja zast¦pcza ukªadu wynosi zatem:
G (s) =
h (s)
= k1
Q1 (s)
1+
1
T s+1
1
k k kk
T s+1 PP f 2 p
Ti s+1
Ti s
=
k1 Ti s
(T s + 1) Ti s + kPP kf k2 kp (Ti s + 1)
(1.41)
Przykªad 1.20
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys. 1.37 . Wymuszeniem jest przesuni¦cie x, natomiast wyj±ciem przesuni¦cie y. Ci±nienia
p1 , p2
s¡ staªe.
23
Rysunek 1.37 Schemat ukªadu mechanicznego do przykªadu 1.20 .
Zauwa»my »e przesuni¦cie
u
mo»na zapisa¢ jako sum¦ przesuni¦¢
u1
oraz
u2 :
u = u1 − u2
Przesuni¦cie
u1
(1.42)
mo»na wyznaczy¢, unieruchamiaj¡c punkt d¹wigni dla przesuni¦cia
Rysunek 1.38 Sposób wyznaczenia przesuni¦cia
y:
u1 :
Šatwo mo»na zauwa»y¢ (rys. 1.38 ), »e:
x
u1
b
=
⇒ u1 = x
a+b
b
a+b
Podobnie,
u2
mo»na wyznaczy¢, unieruchamiaj¡c punkt d¹wigni dla przesuni¦cia
24
(1.43)
x:
Rysunek 1.39 Sposób wyznaczenia przesuni¦cia
y
u2
a
=
⇒ u2 = y
a+b
a
a+b
Nast¦pnie, zauwa»my, »e dla staªych ci±nie«
u2 :
(1.44)
p1 , p2 , element zaznaczony na rys. 1.40 mo»na
opisa¢ nast¦puj¡ca zale»no±ci¡:
T
dy (t)
+ y (t) = ku (t)
dt
(1.45)
Dziaªaj¡c na zale»no±¢ (1.45 ) transformat¡ Laplace'a otrzymujemy:
T sy (s) + y (s) = ku (s) ⇒ y (s) (Ts + 1) = ku (s)
St¡d transmitancja
G (s) =
y(s)
wynosi:
u(s)
G (s) =
Gdzie dla staªych ci±nie«
(1.46)
y (s)
k
=
u (s)
Ts + 1
p1 , p2 , T, k˜ (p1 , p2, A)
25
(1.47)
Rysunek 1.40 Wyznaczanie transmitancji zast¦pczej ukªadu elementów dla
przykªadu 1.20 .
Schemat blokowy ukªadu elementów z rys. 1.37
mo»na wi¦c przedstawi¢ nast¦puj¡co:
Rysunek 1.41 Schemat blokowy elementów z rys. 1.37 .
gdzie: 1 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.43 ), 2 graczna reprezentacja zale»no±ci
(1.44 ) , 3 graczna reprezentacja zale»no±ci (1.42 ), 4 graczna reprezentacja zale»no±ci
(1.46 ).
Transmitancja zast¦pcza ukªadu przedstawionego na rys. 1.41 wynosi:
Gz (s) =
b
(Ts + 1) (a + b) + u · a
k
·
·
Ts + 1 a + b
(Ts + 1) (a + b)
Oznaczenia j.w.
26
(1.48)
1.2.2
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Przykªad 1.21
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys. 1.42 . Wymuszeniem jest siªa F, natomiast wyj±ciem przesuni¦cie y.
Mas¦ elementów oznaczono jako m, staª¡ spr¦»ysto±ci spr¦»yny jako
czynnik tªumienia jako
cs ,
natomiast wspóª-
ct .
Rysunek 1.42 Schemat mechaniczny do przykªadu 1.21 .
Przykªad 1.22
Narysowa¢ schemat blokowy ukªadu elektrycznego przedstawionego na rys. 1.43 . Wymuszeniami s¡ napi¦cia ¹ródªowe
e1
oraz
e2 ,
natomiast wyj±ciem napi¦cie u na rezystancji
R3 .
Rysunek 1.43 Schemat elektryczny do przykªadu 1.22 .
27
Przykªad 1.23
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys. 1.44 . Wymuszeniem jest ci±nienie p, natomiast wyj±ciem przesuni¦cie
y.
Rysunek 1.44 Schemat mechaniczny do przykªadu 1.23 .
Przykªad 1.24
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu mechanicznego przedstawionego na rys. 1.45 . Wymuszeniem jest siªa
F, natomiast wyj±ciem przesuni¦cie
y.
Rysunek 1.45 Schemat mechaniczny do przykªadu 1.24 .
28
Przykªad 1.25
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu przedstawionego na
rys.1.46 . Wymuszeniem jest nat¦»enie przepªywu
Q1 ,
natomiast wyj±ciem poziom cieczy
h2 .
Rysunek 1.46 Schemat ukªadu elementów do przykªadu 1.25 .
Przykªad 1.26
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu regulacji przedstawionego na rys.1.47 . Wyj±ciem ukªadu jest k¡t obrotu waªu
α.
Regulator PID dziaªa
(poprzez pomini¦ty element wykonawczy) na waª momentem obrotowym M. Na ukªad
dziaªaj¡ zakªócenia pod postaci¡ momentu obci¡»enia
Mobc .
Charakterystyka przetwor-
nika pomiarowego (PP) zostaªa przedstawiona na rys. 1.48 .
Rysunek 1.47 Schemat ukªadu regulacji do przykªadu 1.26 .
29
Rysunek 1.48 Charakterystyka przetwornika pomiarowego do przykªadu 1.26 .
Przykªad 1.27
Narysowa¢ achemat blokowy, oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcza ukªadu elementów
przedstawionych na rys. 1.49 . Wymuszeniem jest przesuni¦cie x, natomiast wyj±ciem
przesuni¦cie y.
Rysunek 1.49 Schemat ukªadu do przykªadu 1.27 .
30
Przykªad 1.28
Narysowa¢ achemat blokowy, oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcza ukªadu elementów przedstawionych na rys.1.50 . Wymuszeniem jest przesuni¦cie x, natomiast wyj±ciem
przesuni¦cie y.
Rysunek 1.50 Schemat ukªadu do przykªadu 1.28 .
Wskazówka: Ci±nienie
ˆ
pk = k x
31
Przykªad 1.29
Narysowa¢ schemat blokowy oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ pneumatycznego regulatora
PID, przedstawionego na rys. 1.51 . Wymuszeniem jest odchyªka regulacji e, wyj±ciem
ci±nienie
pk .
Rysunek 1.51 Schemat pneumatycznego regulatora PID, do przykªadu 1.29 .
Wskazówka: W przedstawionym regulatorze wyró»ni¢ mo»na nast¦puj¡ce podze-
spoªy:
•
kaskada steruj¡ca o staªej czasowej
•
dwie kaskady elastyczne zamkni¦te o staªych czasowych
•
ukªad d¹wigni o ramionach a, b, d, h
T
i
wspóªczynniku wzmocnienia
Td
oraz
k1
Ti
Równianie kaskady steruj¡cej ma posta¢:
T
d∆pk (t)
+ ∆pk (t) = k1 φ (t)
dt
32
(1.49)
Przykªad 1.30
Narysowa¢ achemat blokowy, oraz wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcza ukªadu elementów
przedstawionych na rys. 1.52 . Wymuszeniem jest przesuni¦cie x, natomiast wyj±ciem
przesuni¦cie y.
Rysunek 1.52 Schemat ukªadu do przykªadu 1.30 .
33