Przykładowe rozwiązania zadań z klasy 4 – PIKOMAT 2012/2013

Transkrypt

Zadanie 2 (etap I)
Rozwiąż rebus arytmetyczny:
AS + AS + AS + AS + AS = BAS
Jednakowym literom odpowiadają jednakowe cyfry, różnym literom – różne cyfry.
Autor rozwiązania: Arkadiusz Dłubak, Szkoła Podstawowa Nr 29 w Częstochowie.
Rozwiązanie:
Ustawienie 1: A = 2, S = 5, B = 1
Ustawienie 2: A = 5, S = 0, B = 2
Ustawienie 3: A = 7, S = 5, B = 3
Najpierw musimy znaleźć cyfrę S, która dodana do siebie 5 razy tworzy liczbę, która ma na
końcu właśnie tę cyfrę. Takimi cyframi są 5 i 0.
+
B
A
A
A
A
A
A
0
0
0
0
0
0
+
B
A
A
A
A
A
A
5
5
5
5
5
5
W przypadku, gdy cyfra S = 0 trzeba znaleźć cyfrę A, która dodana do siebie 5 razy tworzy
liczbę, która ma na końcu właśnie tę cyfrę. Taką cyfrą jest 5.
+
2
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
W przypadku, gdy cyfra S = 5 należy znaleźć cyfrę, która dodana do siebie 5 razy i jeszcze
dodane „2” tworzy liczbę, która ma na końcu właśnie tę cyfrę. Takie warunki spełniają cyfry
2 i 7.
+
1
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
5
+
3
7
7
7
7
7
7
Odp.: Rozwiązaniem zadania są poniżej podane przypadki:
25 + 25 + 25 + 25 + 25 = 125,
50 + 50 + 50 + 50 + 50 = 250,
75 + 75 + 75 + 75 + 75 = 375.
5
5
5
5
5
5
Od Komisji
Liczba AS musi być podzielna przez 25, czyli liczba dwucyfrowa AS, to 25, 50, 75, zatem
liczba trzycyfrowa BAS to 125, 250, 375.)
Zadanie 2 (etap III)
Kasjerka ma w kasie wystarczającą liczbę monet 1, 2 i 5 zł, aby wypłacić kwotę 99 zł. W jaki
sposób ma to zrobić, jeśli ma użyć dokładnie 88 monet?
Autor rozwiązania: Natalia Sobel, Szkoła Podstawowa Nr 7 w Gliwicach.
Rozwiązanie:
Zadanie ma 3 rozwiązania.
1) 83 monety po 1 zł, 2 monety po 5 zł, 3 monety po 2 zł
83 zł + 2 · 5 zł + 3 · 2 zł = 99 zł
83 monety + 2 monety + 3 monety = 88 monet
2) 80 monet po 1 zł, 7 monet po 2 zł, 1 moneta 5 zł
80 zł + 7 · 2 zł + 5 zł = 99 zł
80 monet + 7 monet + 1 moneta = 88 monet
3) 77 monet po 1 zł, 11 monet po 2 zł
77 zł + 11 · 2 zł = 99 zł
77 monet + 11 monet = 88 monet
Odp.: Aby wypłacić kwotę 99 zł, używając wyłącznie monet 1 zł, 2 zł i 5 zł, kasjerka może
uczynić to w jeden z następujących sposobów: 99 zł = 11 · 2 zł + 77 · 1 zł lub 99 zł = 1 · 5zł
+ 7 · 2 zł + 80 · 1 zł lub 99 zł = 2 · 5 zł + 3 · 2 zł + 83 · 1 zł.
Zadanie 1 (etap I)
Turysta przejechał 703 km w ciągu trzech dni. Pierwszego dnia przejechał dwa razy więcej
1
kilometrów niż drugiego dnia, a trzeciego o mniej niż drugiego. Ile kilometrów przejechał
5
turysta trzeciego dnia?
Autor rozwiązania: Anna Kozub, Szkoła Podstawowa Nr 7 w Gliwicach.
Rozwiązanie:
3 dni: 703 km
Pierwszy dzień: 2 x
Drugi dzień: x
1
4
Trzeci dzień: x  x  x
5
5
Rozwiązujemy równanie:
4
2 x  x  x  703
5
19
x  703
5
5
x  703
19
x  185
Odp.: Trzeciego dnia turysta przejechał
4
 185 km, czyli 148 km.
5
W kółeczka poniższego diagramu wpisz liczby: 1, 2, 3, 4, 5, 6 tak, aby żadna z nich się nie
powtarzała i aby ich suma na każdym boku była taka sama.
Autor rozwiązania: Jakub Ludwig, Szkoła Podstawowa Nr 7 w Gliwicach.
Rozwiązanie:
Oznaczając liczby a, b, c, d, e, f, które należy wstawić w pola otrzymujemy równości:
a+b+c=S
c+d+e=S
e+f+a =S
Dodając te równości stronami i wiedząc, że a + b + c + d + e + f = 21 otrzymujemy warunek:
9 < S < 12. Można to zrobić na 4 sposoby.
Dla S = 9
Dla S = 10
Dla S = 11
Dla S = 12
Odp.: Zadanie posiada 4 rozwiązania wskazane powyżej.
Zadanie 1 (etap II)
Odkryj i opisz regułę oraz ją uzasadnij, a następnie wpisz brakującą liczbę.
9 16 25
12 20 ?
Autor rozwiązania: Julia Roch, Szkoła Podstawowa Nr 46 w Sosnowcu.
Rozwiązanie:
Rozwiązując to zadanie zastanawiałam się nad wszystkimi możliwościami; zależnościami na
skos, zależnościami pomiędzy liczbą obok, liczbą u góry, na dole, z lewej i z prawej, z prawej
i z lewej itp. Za każdym razem liczbą mającą być wpisaną w okienko była liczba 30.
Wymyśliłam 5 rozwiązań. Oto one (przyjmuję, że szukaną liczbą jest x):
1) Zależności: stosunek liczb wyżej – niżej.
Opis: Zależnością są różnice liczb położonych jedna pod drugą. 9 jest mniejsze o 3 od 12, 16
jest mniejsze o 4 od 20, a 25 jest o 5 mniejsze od x. W tym przypadku x = 30.
2) Zależności: stosunek liczb lewa – prawa.
Opis: Tutaj 9 jest o 7 mniejsze od 16, 12 jest o 8 mniejsze niż 20, 16 jest o 9 mniejsze od 25,
a 20 jest o 10 mniejsze od x. W tym przypadku x znowu jest równe 30.
3) Zależności: stosunek liczb na skos po lewej (na podstawie stosunków liczb z przykładu
2).
Opis: Tutaj zależności są na skos: 12 jest o 4 mniejsze od 16, 20 jest o 5 mniejsze od 25,
a bazując na poprzednich przykładach, następną liczbą w górnym wierszu po 25 będzie 36.
Zatem x jest mniejsze o 6 od 36. Znowu x = 30.
4) Zależności: stosunek liczb wyżej – niżej jako ułamków i układu od lewej do prawej.
Opis: 9 z 12 to inaczej
przyjmuje wartość 30.
5
3
4
, 16 z 20 to inaczej , 25 z x to inaczej , itd. – tutaj x ponownie
6
5
4
5) Zależności: potęgi liczb w górnym wierszu i ich kolejność.
Opis: 12 = 32 + 3 = 9 + 3, 20 = 42 + 4 = 16 + 4, x = 52 + 5, czyli x = 30. To bardzo proste – do
liczb z górnego wiersza dodaje się ich pierwiastki i wychodzą równowartości ich sąsiadów
z dołu.
Szukanie tylu rozwiązań to było nie lada wyzwanie, ale za to również bardzo ciekawa
zabawa.
Odp.: Szukaną liczbą jest liczba 30.
Od Komisji
Można również zauważyć następującą regułę: Liczby 9, 16, 25 są kwadratami liczb
odpowiednio: 3, 4, 5. Natomiast liczby 12, 20, to iloczyny kolejnych liczb 3 ∙ 4, 4 ∙ 5, … .
Następne działanie powinno wyglądać tak: 5 ∙ 6. Szukaną liczbą jest więc 30.
Zadanie 3 (etap II)
U babci Jasi jest kogut liliputek. Na śniadanie dostał mieszankę owsa z pszenicą, przy czym
pszenica stanowiła
zjadł
1
ciężaru tej mieszanki. Kogut jest wybredny i owsa nie lubi. Najpierw
4
2
wszystkich ziaren pszenicy. Po krótkiej przerwie wydzióbał 0,7 pozostałych ziaren
5
pszenicy. Potem zrobił obchód podwórka i po powrocie zjadł ostatnie 18 dag pszenicy. Ile
ważyła pszenica, a ile owies?
Autor rozwiązania: Daniel Węgorek, Szkoła Podstawowa Nr 6 w Bytomiu.
Rozwiązanie:
Sposób I
a – waga całej mieszanki
1
a – waga pszenicy
4
3
a – waga owsa
4
2
2
2 1
2
1
Kogut zjadł najpierw pszenicy, czyli:
liczby a =  a =
a.
5
5
5 4
20
4
1
5
2
2
3
Pozostało mu: a –
a =
a –
a =
a (tyle pozostało pszenicy).
20
20
20
20
4
3
7 3
21
3
Następnie zjadł 0,7 tego co zostało, czyli: 0,7 liczby
 a =
a = 0,7  a =
a
20
10 20
20
200
(tyle zjadł za drugim razem) .
3
21
30
21
9
Sprawdzam, ile zostało:
a
a
a
a
a (tyle zostało pszenicy). Wiem,
20
200
200
200
200
18
że to co zostało to 18 dag, czyli: 0,18 kg =
kg. Obliczam, jaka była waga całej
100
9
18
9
18
18 9
mieszanki. Ponieważ
kg, czyli
, stąd a =
, czyli
:
a wynosi
a=
100
100
100 200
200
200
a = 4 kg. A zatem 4 kg to waga całej mieszanki. Teraz trzeba obliczyć, ile waży owies a ile
pszenica.
1
1
Obliczam wagę pszenicy: a = a  4 kg = 1 kg
4
4
3
3
Obliczam wagę owsa: a = a  4 kg = 3 kg
4
4
Wiemy zatem, że pszenica ważyła 1 kg a owies 3 kg.
Sposób II
Dane:
mieszanka: pszenica + owies,
1
pszenica –
mieszanki,
4
3
owies –
mieszanki,
4
2
I porcja –
pszenicy,
5
II porcja – 0,7 pozostałej pszenicy,
III porcja – 18 dag,
3
czyli II i III porcja to razem pszenicy
5
Czytając treść zadania zauważyłem, że jeśli podczas I porcji kogut zjadł
2
pszenicy, to
5
3
pszenicy. Aby rozpocząć rozwiązywanie tego zadania,
5
7
najpierw muszę zamienić ułamek 0,7 na ułamek zwykły: 0,7 =
.
10
Kolejne obliczenia:
3 6
 ,
5 10
6 7
42
 
 42 dag – otrzymałem ilość zjedzonej pszenicy w czasie II porcji.
10 10 100
Dalsze obliczenia:
2 40

 40 dag – ilość zjedzonej pszenicy w czasie I porcji. Ponieważ w czasie III porcji
5 100
kogut zjadł 18 dag pszenicy, to dodaję teraz ilości pszenicy zjedzonej podczas każdej porcji:
40 dag + 42 dag + 18 dag = 100 dag = 1 kg. Tak więc po obliczeniach ustaliłem, że pszenica
ważyła 1 kg. Żeby obliczyć, ile ważył owies wystarczy pomnożyć wagę pszenicy przez
liczbę, która informuje, jaką częścią mieszanki jest owies, czyli po prostu 1 kg · 3 = 3 kg.
podczas II i III porcji zjadł łącznie
Odp.: Pszenica ważyła 1 kg , a owies 3 kg.
Zadanie 4 (etap II)
Na drzwiach wejściowych do sklepu owocowo-warzywnego „Zielone jabłuszko” wisiała
następująca informacja: „Dzisiaj 70 migdałów kosztuje tyle samo co 50 jadalnych kasztanów,
48 kasztanów kosztuje tyle samo co 1 owoc granatu, 18 granatów kosztuje tyle samo co
28 cytryn, 10 cytryn kosztuje tyle samo co 25 śliwek, a 108 migdałów kosztuje 90gr”. Tomek
bardzo lubi śliwki i miał przy sobie 15,12zł. Będąc dobrym matematykiem, szybko obliczył,
ile sztuk śliwek może kupić za wszystkie posiadane pieniądze. Oblicz ile śliwek może kupić
Tomek.
Autor rozwiązania: Julia Roch, Szkoła Podstawowa Nr 46 w Sosnowcu.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczyłam, ile może kosztować jeden migdał. W tym celu podzieliłam 90 groszy,
którymi można zapłacić za 108 migdałów, aby sprawdzić, ile groszy może kosztować jeden
orzech: 90 : 108 = 0,83… . Jest to działanie nieskończone. Skoro ułamki dziesiętne „nie chcą
90 15 5
współpracować”, policzę to na ułamkach zwykłych. Oto schemat obliczeń:

 .
108 18 6
5
W związku z tym 1 migdał kosztuje grosza. Może to dziwna cena, ale migdałów raczej nie
6
5
5
kupuje się na sztuki. Zatem, jeżeli 1 migdał to grosza, to 70 migdałów to · 70 gr. Po
6
6
1
wymnożeniu otrzymamy wynik 58 gr. To również dość nietypowa wartość i byłby
3
problem, aby zapłacić za coś w ten sposób. Ale skoro 70 migdałów kosztuje tyle, to
50 kasztanów także – w końcu tak jest napisane w treści zadania. Teraz, skoro znam cenę
50 jadalnych kasztanów, muszę policzyć, ile kosztuje 1 sztuka. Skoro 50 kasztanów
1
to 58 gr, to aby obliczyć, ile kosztuje 1 kasztan muszę podzielić przez 50. Aby było mi
3
350
1
łatwiej policzyć zamienię 58 na ułamek
. Mamy:
6
3
350
350 1 350 7
1
: 50 
 
 1 .
6
6 50 300 6
6
Ponieważ w tekście napisano, że 48 kasztanów to 1 granat, muszę obliczyć, ile będzie
7
336
kosztowało 48 kasztanów. To proste, 48 kasztanów kosztuje:  48 
 56 gr.
6
6
W związku z powyższym 48 kasztanów kosztuje 56 groszy, a z treści zadania wynika, że tyle
kosztuje także 1 granat. Kolejnym porównaniem jest 18 granatów = 28 cytryn, czyli
zaczynamy od 56 · 18 = 1008. Zatem 18 granatów jest warte 1008 gr (10 zł i 8 gr). 28 cytryn
– także. Jeśli 28 cytryn kosztuje 1008 gr, to trzeba obliczyć, ile kosztować będzie 10 cytryn,
pozwoli to obliczyć, ile kosztuje 25 śliwek. Trzeba podzielić 1008 na 28. Jeśli podzieli się
wartość przez liczbę, wyjdzie wartość jednej rzeczy (tutaj cytryny). Wynik dzielenia to 36,
więc jedna cytryna kosztuje 36 gr. A 10 cytryn kosztuje 36 gr · 10 = 360 gr (3 zł i 60 gr) – 25
śliwek także. Jeśli Tomek bardzo lubi śliwki i chciał je sobie kupić, a miał przy sobie
15,12 zł, to pozostaje obliczyć, ile kosztowała 1 śliwka i ile śliwek może kupić Tomek.
Dzielimy więc 360 przez 25 i otrzymamy 14,4 gr. Znów dziwna cena za owoc. Teraz należy
sprawdzić, ile groszy mieści się w 15,12 zł. Jest to 1512 gr. Następnie podzieliłam 1512 przez
14,4. Najpierw jednak przesunęłam przecinki, aby było mi łatwiej podzielić. Wynik dzielenia
to 105. W związku z tym Tomek może sobie kupić w sklepie „Zielone Jabłuszko” aż 105
śliwek.
Odp.: Tomek może kupić 105 śliwek.
Znajdź liczbę trzycyfrową, której żadna cyfra nie jest zerem, o następującej własności: jeśli
liczbę dwucyfrową otrzymaną z liczby trzycyfrowej przez opuszczenie cyfry setek
pomnożymy przez pewną liczbę naturalną, to otrzymamy daną liczbę trzycyfrową.
Przykładowe rozwiązanie:
Liczba
trzycyfrowa
125
225
312
315
325
375
416
425
525
612
615
624
625
675
714
725
728
735
816
825
832
912
915
918
925
936
945
975
Liczba
naturalna
5
9
26
21
13
5
26
17
21
51
41
26
25
9
51
29
26
21
51
33
26
76
61
51
37
26
21
13
Przykładowe rozwiązania zadań z klasy I – PIKOMAT 2012/2013
Zadanie 2 (etap I)
Na każdej z trzech kartek leżących na stole była napisana jedna cyfra. Kasia, układając kartki
obok siebie, utworzyła dwie liczby trzycyfrowe: największą i drugą co do wielkości. Okazało
się, że ich suma wynosi 1266. Jakie cyfry były napisane na kartkach? Odpowiedź uzasadnij.
Z warunków zadania wynika, że na kartkach były zapisane różne cyfry. Niech a, b, c będą
szukanymi cyframi i a > b > c, stąd: (100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) = 1266,
czyli 200a + 11b + 11c = 1200 + 66. Mamy zatem 200a = 1200 i 11(b + c) = 66. Stąd wynika,
że a = 6 i b + c = 6. Zatem istnieją dwa rozwiązania zadania 6, 5, 1 lub 6, 4, 2.)
Odp.: Na kartkach były napisane cyfry: 6, 5, 1 lub 6, 4, 2.
Zadanie 3 (etap II)
Pani Leokadia ma przy swoim gospodarstwie dużą łąkę w kształcie koła o średnicy 90 m, na
której pasie swoje kozy. Każda jej koza jest uwiązana do kołka wbitego w ziemię na lince
o długości 15 m. Pani Leokadia powbijała kołki tak, że kozy nie mogą sobie nawzajem
przeszkadzać. Jaki jest minimalny stosunek pola trawy, której kozy nie mogą wyjeść, do pola
całej łąki?
Dane:
– łąka pani Leokadii jest w kształcie koła o średnicy 90 m,
– na tej łące pani Leokadia pasie swoje kozy, a każda z kóz jest uwiązana do kołka
wbitego w ziemię na lince o długości 15 m. Kołki są powbijane tak, że kozy nie mogą
sobie nawzajem przeszkadzać.
Szukane:
Jaki jest minimalny stosunek pola trawy, której kozy nie mogą wyjeść, do pola całej łąki?
Pole łąki = Pl
Pl = ?
Pl  r 2
ll  90m
rl  45m
Pl  r 2    45m  2025 m 2
2
Pole łąki dostępnej dla jednej kozy = Pk
Pk  r 2
rk  15m
Pk  r 2    15m  225 m 2
2
Maksymalna dostępna liczba części łąki, do których dostęp mają kozy: 7
Pole trawy dostępnej dla kóz = 7 Pk
7 Pk = 7  225 m 2  1575 m 2
7 Pk = 1575 m 2
Pole części łąki, do której kozy nie mają dostępu = Pn
Pn  Pl  7 Pk
Pn  2025 m2  1575 m2  450 m2
Pn  450 m2
Minimalny stosunek pola trawy, której kozy nie mogą wyjeść, do pola całej łąki:
450 m 2
2

2
9
2025 m
Odp.: Minimalny stosunek pola trawy, której kozy nie mogą wyjeść, do pola całej łąki
2
wynosi .
9
Zbuduj kwadrat magiczny wykorzystując 8 różnych kamieni, używanych do tradycyjnej gry
w domino. Suma oczek we wszystkich kolumnach, rzędach i na obu przekątnych kwadratu
ma być jednakowa i wynosić 12. Dodatkowo na każdym wewnętrznym kwadracie
utworzonym z czterech pól suma oczek też ma wynosić 12.
Przykładowe rozwiązania:
Przykładowe rozwiązania zadań z klasy II – PIKOMAT 2012/2013
Zadanie 2 (etap II)
Pan Władysław, człowiek dowcipny i szalony w swoich pomysłach, jest zegarmistrzem, który
jest mistrzem w swoim fachu. Pewnego razu postanowił, że skonstruowany przez siebie
normalny zegar wyposaży w takie wskazówki, by ich końce poruszały się z taką samą
szybkością. Wykonana przez niego wskazówka wskazująca godziny miała długość 24 cm.
Jak długą winien on wykonać wskazówkę wskazującą minuty?
Autor rozwiązania: Andrzej Kasianiuk, Prywatne Gimnazjum i Liceum w Lublinie.
Rozwiązanie:
Dane:
– pan Władysław jest zegarmistrzem, który jest mistrzem w swoim fachu,
– postanowił, że skonstruowany przez siebie normalny zegar wyposaży w takie
wskazówki, by ich końce poruszały się z taką samą prędkością,
– wskazówka wskazująca godziny miała długość 24 cm
Szukane:
Jaką długość powinna mieć wskazówka minutowa?
Sposób I
Jeżeli prędkość wskazówki minutowej jest większa od wskazówki godzinowej, to długość
wskazówki minutowej musi być mniejsza od długości godzinowej, ponieważ tylko wtedy
prędkość końcówek wskazówek będzie taka sama.
Oznaczam przez x długość wskazówki minutowej. Układam zależność:
24 cm – 1 obrót/12 h
x cm – 1 obrót/1 h
Z proporcjonalności odwrotnej mamy równanie:
24 cm · 1 obrót/ 12 h = x · 1 obrót/ 1 h,
stąd x = 2 cm. Zatem wskazówka minutowa powinna mieć długość 2 cm
Sposób II (opisowy)
Wiem, że wskazówka godzinowa wykonuje jeden pełny obrót w ciągu 12 godzin. Obróci się
wtedy o kąt 30 stopni. Wskazówka minutowa wykonuje jeden pełny obrót w ciągu jednej
godziny. Obróci się wtedy o kąt 360 stopni. To oznacza, że wskazówka minutowa 12 razy
szybciej „obiega” jedno okrążenie tarczy zegara.
Według zaleceń zegarmistrza wskazówki mają poruszać się z tą samą prędkością. To oznacza,
że wskazówka minutowa musi wykonać jedno okrążenie 12 razy wolniej niż w przypadku
wskazówki godzinowej. Zatem wskazówka minutowa musi być 12 razy krótsza od
godzinowej.
Obliczam długość wskazówki minutowej 24 cm : 12 = 2 cm.
Sposób III
Wskazówka minutowa w ciągu 1 godziny pokona drogę równą obwodowi tarczy zegara
(koła). Niech
s – droga wskazówki minutowej,
l – długość wskazówki minutowej.
s = 2πl
2πl/1 h – prędkość wskazówki minutowej/godzinowej
s1 – droga wskazówki godzinowej przebyta w ciągu 12 godzin
s1 = 2π · 24 cm = 48π cm
48π/12 h – prędkość wskazówki minutowej/godzinowej. Możemy zapisać proporcję:
2πl/1 h = 48π/12 h,
a po przekształceniu mamy: l = 2 cm. Jeszcze tylko sprawdzam poprawność obliczeń:
2π · 2/1 h = 4 π/1 h
4π/1 h = 4π/1 h
L=P
Odp.: Pan Władysław powinien wykonać wskazówkę minutową o długości 2 cm.
Zadanie 4 (etap II)
W wiosce leśnych elfów z okazji święta każdy chłopiec wręcza stokrotkę Królowej Elfów
i każdej z dziewcząt, a każdemu z chłopców pyszną jagodę. Podobnie każda dziewczynka
wręcza stokrotkę Królowej i każdemu z chłopców, a każdej z dziewcząt jagodę. Królowa nie
wręcza upominków, ale składa wszystkim elfom życzenia. W ten sposób wręczono 160000
stokrotek i jagód. Ile elfów mieszka w wiosce? Ile jest elfów-chłopców, jeżeli wiadomo, że
jest ich 3 razy więcej niż elfów-dziewczynek?
Autor rozwiązania: Andrzej Kasianiuk, Prywatne Gimnazjum i Liceum w Lublinie.
Rozwiązanie:
Sposób I
Dane:
– wioska leśnych elfów, w której z okazji święta każdy chłopiec:
 wręcza stokrotkę Królowej Elfów i każdej z dziewcząt
 każdemu z chłopców pyszną jagodę
Podobnie każda dziewczynka:
 wręcza stokrótkę Królowej i każdemu z chłopców
 każdej z dziewcząt jagodę
– królowa nie wręcza upominków
– wręczono 160000 stokrotek i jagód
Szukane:
Ile elfów mieszka w wiosce?
Ile jest elfów chłopców, jeżeli wiadomo, że jest ich 3 razy więcej niż elfów dziewczynek?
Wprowadzam oznaczenia:
x – liczba elfów dziewczynek
3x – liczba elfów chłopców
4x + 1 liczba wszystkich elfów (razem z Królową Elfów)
Analizuję warunki podane w zadaniu:
Ponieważ każdy chłopiec daje dziewczynce i Królowej stokrotki, to liczba rozdanych
stokrotek wyniesie: x + 1. Każdy chłopiec daje innym chłopcom jagody. Chłopców jest 3x,
więc liczba rozdanych jagód wyniesie: 3x – 1 (chłopiec nie daje sobie jagód). Jeden chłopiec
wręcza razem: x + 1 + 3x – 1 = 4x upominków. Ponieważ chłopców jest razem 3x, to wręczą
oni 3x · 4x = 12x2 upominków.
Każda dziewczynka daje w prezencie: (x – 1) jagód dla innej dziewczynki (sobie nie daje)
oraz (3x + 1) stokrotek (dla każdego chłopca i Królowej).
Każda dziewczynka rozdaje zatem: x – 1 + 3x + 1 = 4x upominków. A ponieważ wszystkich
dziewczynek jest x, to rozdadzą w sumie 4x · x = 4x2 upominków.
Zatem dziewczynki i chłopcy wręczą 12x2 + 4x2 = 16x2 upominków. Razem było 160000
upominków, czyli należy rozwiązać równanie:
16x2 = 160 000
x2 = 10000
2
x – 10000 = 0
(x – 100)(x + 100) = 0,
stąd x – 100 = 0 lub x + 100 = 0,
czyli x = 100 lub x = – 100 (to rozwiązanie nie spełnia warunków zadania, gdyż x powinno
być większe od 0). Ostatecznie x = 100
Ponieważ x to liczba dziewczynek, więc jest ich 100. Natomiast 3x to liczba chłopców. Jest
ich zatem 300. Razem wszystkich elfów jest 400 oraz Królowa.
Sposób II
Liczba wszystkich elfów to: 4x + 1
Każdy każdemu wręcza upominek (jagoda lub stokrotka)
Układam równanie:
(4x + 1) · 4x – 4x = 160000
4x(4x + 1 – 1) = 160000
16x2 = 160000,
2
czyli x = 10000
a rozwiązując to równanie (patrz sposób I) otrzymamy, że x = 100.
Sposób III
– liczba stokrotek wręczonych przez elfy (chłopców): 3x(x + 1),
– liczba jagód wręczonych przez elfy (chłopców): 3x(3x – 1),
– liczba stokrotek wręczonych przez dziewczynki: x(3x + 1),
– liczba jagód wręczonych przez dziewczynki: x(x – 1).
Układam równanie:
3x(x +1) + 3x(3x – 1) + x(x – 1) + x(x – 1) = 160000,
a po przekształceniu i redukcji wyrazów podobnych otrzymamy znane już równanie:
16x2 = 160000, którego rozwiązaniem jest x = 100.
Odp.: W wiosce mieszka 400 elfów oraz Królowa. Elfów chłopców jest 300.
Smerfy Lis i Wilk zbierali na łące biedronki. Liczba kropek na biedronkach zebranych przez
smerfa Lisa była 13 razy większa niż na biedronkach smerfa Wilka. Przesądny smerf Lis
ukradkiem podrzucił smerfowi Wilkowi jedną swoją biedronkę z najmniejszą ilością kropek
i wówczas smerf Wilk miał 8 razy mniej kropek niż smerf Lis. Ile co najmniej biedronek
zebrał smerf Lis?
Autor rozwiązania: Marta Owczarek, Gimnazjum Nr 1 w Zespole Szkół Ogólnokształcących
w Zabrzu.
Rozwiązanie:
Dane:
13 – tyle razy na początku była większa liczba kropek na biedronkach zebranych przez smerfa
Lisa od liczby kropek zebranych przez smerfa Wilka,
8 – tyle razy była większa liczba kropek na biedronkach zebranych przez smerfa Lisa od
liczby kropek zebranych przez smerfa Wilka po dodaniu smerfowi Wilkowi jednej biedronki
z najmniejszą liczba kropek przez smerfa Lisa.
Szukane:
Ile co najmniej biedronek zebrał Smerf Lis?
Przez w oznaczamy liczbę kropek zebranych przez smerfa Wilka. Wówczas smerf Lis będzie
miał 13w kropek na swoich biedronkach, gdzie w jest liczbą naturalną różną od 0. Przez
k oznaczam liczbę kropek, które posiadają biedronki smerfa Lisa z najmniejszą liczbą kropek
(co najmniej jedna biedronka), gdzie k jest liczbą naturalną różną od 0. Po odrzuceniu takiej
biedronki smerf Lis miał 13w – k kropek, a Wilk w + k kropek.
Z treści zadania wynika, że:
13w – k = 8w + 8k
5w = 9k,
gdzie k i w spełniają podane założenia.
Liczby 5 i 9 są względnie pierwsze, zatem 5 musi być dzielnikiem k, a 9 musi być dzielnikiem
w. Zatem liczba 5w jest wielokrotnością 45, a najmniejsza liczba kropek jest wielokrotnością
5. Ponieważ szukamy najmniejszej liczby biedronek, które mógł zebrać smerf Lis, czyli liczba
13w musi być jak najmniejsza. Zatem w też musi być jak najmniejsze. Powyższe warunki
spełniają liczby w = 9 i k = 5. Wówczas 13w = 13 · 9 = 117. Smerf Lis mógł zebrać zatem co
najmniej 117 kropek na biedronkach, przy czym co najmniej jedna biedronka ma 5 kropek.
Należy teraz ustalić, ile co najmniej biedronek zebrał smerf Lis. W treści zadania nie podano,
ile maksymalnie kropek może mieć jedna biedronka. Mogę więc przyjąć, że może to być
dowolna liczba naturalna. Ponieważ szukamy najmniejszej liczby biedronek, to będzie ona
tym mniejsza, im większą liczbę kropek może mieć biedronka. Przy moim założeniu smerf
Lis zebrał co najmniej dwie biedronki: jedną z 5 kropkami, a drugą z 112 kropkami.
Jeżeli przyjmiemy, że smerf Lis i smerf Wilk zbierali biedronki, które występują najczęściej
(od 2 do 7 kropek), to smerf Lis zebrał co najmniej 17 biedronek (16 biedronek z 7 kropkami
i jedną biedronkę z 5 kropkami).
Jeśli przyjmiemy, że smerf Lis i smerf Wilk zbierali biedronki azjatyckie (od 0 do 23 kropek),
to smerf Lis zebrał co najmniej 6 biedronek (4 z 23 kropkami, 1 z 12 kropkami i 1 z 5
kropkami)
Odp.: Smerf Lis zebrał co najmniej 2 biedronki, przy założeniu, że biedronka może mieć
dowolną liczbę kropek lub smerf Lis zebrał co najmniej 17 biedronek, przy założeniu, że
biedronka może mieć liczbę kropek od 2 do 7 lub smerf Lis zebrał co najmniej 6 biedronek,
przy założeniu, że biedronka może mieć liczbę kropek od 0 do 23.
Przykładowe rozwiązania zadań z klasy III – PIKOMAT 2012/2013
Zadanie 1 (etap II)
Dwa promy wyruszają jednocześnie z dwóch przeciwległych brzegów rzeki, płynąc na drugą
stronę prostopadle do jej brzegów. Każdy płynie ze stałą prędkością, ale jeden szybciej niż
drugi. Mijają się w odległości 780 m od bliższego brzegu. Po przybyciu do celu każdy prom
czeka przez 10 minut przy nabrzeżu, zanim zacznie kurs powrotny. W czasie drogi powrotnej
spotykają się w odległości 460 m od drugiego brzegu. Jak szeroka jest rzeka?
Przykładowe rozwiązania:
Sposób I
780
460
d
Od wypłynięcia do pierwszego spotkania wolniejszy prom przepłynął 780 m, a szybszy
(d – 780) m. Razem przebyły drogę d. Od wypłynięcia do drugiego spotkania promy przebyły
razem drogę 3d (wolniejszy prom: d + 460, a szybszy: 2d – 460). Ponieważ płynęły ze stałymi
prędkościami, to każdy z promów musiał pokonać w tym czasie drogę 3 razy dłuższą niż do
momentu pierwszego spotkania (10-minutowy postój nie wpływa na przebytą drogę).
Droga wolniejszego promu wnosiła: (d + 460) = 3 ∙ 780  d = 1880 m.
Sposób II
Oznaczamy:
d – szerokość rzeki,
v1 – prędkość wolniejszego promu,
v2 – prędkość szybszego promu,
t’ – czas, jaki upłynął od wypłynięcia promów do pierwszego spotkania,
t” – czas, jaki upłynął od pierwszego do drugiego spotkania promów.
v1 ∙ t’ = 780

(1)
v1
780

v2 d  780
v2 ∙ t’ = d – 780
v1 ∙ (t” – 10) = (d – 780) + 460

(2)
v2 ∙ (t” – 10) = 780 + (d – 460)
Z (1) i (2) wynika że:
v1 d  320

v2 d  320
780
d  320

d  780 d  320

780d + 780 ∙ 320 = d² – 320d – 780d + 780 ∙ 320

d² = (2 ∙ 780 + 320)d i d ≠ 0

d = 1880
Odp.: Szerokość rzeki wynosi 1880 m.
W Pikolandii miasta Pi, Fi, Ro i Ni leżą w wierzchołkach czworokąta. Stolica Pikolandii –
Piko znajduje się w środku czworokąta, na przecięciu jego przekątnych. Każde miasto jest
połączone z innym prostoliniową autostradą o całkowitej liczbie kilopików i każda autostrada
ma inną długość. Co roku organizowany jest w Pikolandii wyścig kwadratów. Trasa wyścigu
liczy 100 kilopików i przebiega na dwóch autostradach łączących trzy miasta. Jakie są
długości wszystkich autostrad w Pikolandii?
Autor rozwiązania: Piotr Pawlak, Ogólnokształcąca Szkoła Muzyczna I i II Stopnia
w Gdańsku.
Rozwiązanie:
Oto jedno z możliwych rozwiązań:
Podaj wymiary trójkątów o długościach boków wyrażających się liczbami całkowitymi, dla
których zachodzi równość pola i obwodu co do wartości liczbowej. Odpowiedź uzasadnij.
Autor rozwiązania: Marcel Rychlewski, Gimnazjum Nr 16 w Sosnowcu.
Rozwiązanie:
Niech a, b, c będą długościami boków szukanego trójkąta. Zakładamy, że a  b  c . Do
znalezienia ich wartości posłużę się wzorem Herona na pole trójkąta:
1
1
P  p p  a  p  b p  c  , gdzie p  a  b  c  . Z treści zadania wynika, że p  P ,
2
2
czyli P  2 p . Niech p  a  x, p  b  y, p  c  z .Wtedy:
2p 
pxyz ,
4 p  pxyz ,
4 p  xyz .
Ponadto obliczmy: x  y  z   p  a   p  b   p  c  3 p  a  b  c  3 p  2 p  p .
2
Mamy zatem układ równań, który musimy rozwiązać w liczbach naturalnych:
 xyz  4 p

x  y  z  p
Rozwiązaniami tego układu są:
x2
y4


 z6
 p  12
x2
 y3


 z  10
 p  15
 x 1
 y 8


 z9
 p  18
 x 1
 y6


 z  14
 p  21
 x 1
 y5


 z  24
 p  30
Zatem dla znalezionych rozwiązań układu równań znajdujemy wszystkie rozwiązania tego
zadania:
a  12  2  10 a  15  2  13  a  18  1  17 a  21  1  20  a  30  1  29





 b  12  4  8 b  15  3  12 b  18  6  10 b  21  6  15 b  30  5  25
 c  12  6  6 c  15  10  5  c  18  9  9 c  21  14  7 c  30  24  6





Zatem trójkąty, które mają taki sam obwód i pole, a ich boki mają całkowite długości, to
trójkąty o bokach: 10, 8, 6 lub 13, 12, 5 lub 17, 10, 9 lub 20, 15, 7 lub 29, 25, 6.
Odp.: Istnieje 5 takich trójkątów, o bokach: 6, 8, 10; 5, 12, 13; 9, 10, 17; 7, 15, 20; 6, 25, 29.
Opracowanie: Komisja Konkursowa

Przykładowe rozwiązania zadań z klasy 4 – PIKOMAT 2012/2013

Transkrypt

Podobne dokumenty

Lukullus - Grupa Rolnik

PIKOMAT

rolety - Sieradzka TV Media

ROZWIĄZNIA ETAPU SZKOLNEGO

Żurnal z Lothlórien