Kinematyka bryły sztywnej - zadanie

Kinematyka bryły sztywnej - zadanie
Trzy koła o promieniach r1, r2 i r3 umocowane są obrotowo na wspólnym pręcie, obracającym się z prędkością
kątową ω0 i przyspieszeniem kątowym ε0 względem punktu O1. Koło pierwsze jest nieruchome, koła nr dwa i
trzy toczą się bez poślizgu.
a)
Jaki rodzaj ruchu wykonuje: pręt, koło nr 2, koło nr 3
(postępowy, obrotowy, płaski)?
b) Znajdź prędkość kątową koła nr 3.
c) Znajdź przyspieszenie punktu A (punkt kontaktu koła nr 1 z
kołem nr 2).
d) Znajdź przyspieszenie punktu B (punkt kontaktu koła nr 2 z
kołem nr 3).
Rozwiązanie
Ad.a) pręt – ruch obrotowy, koło nr2 i koło nr 3 – ruch płaski.
Pręt obraca się wokół punktu 01. Koło nr 2 obraca się wokół swojego
środka O2, środek 02 nie jest nieruchomy lecz obraca się wokół
punktu 01. Analogicznie dla koła nr 3.
Ad.b)
Punkty 01, 02 i 03 są punktami mocowania pręta z kołami (występują w
nich przeguby), punkt 01 to chwilowy środek obrotu pręta (Rys.1) Dla
pręta:
=
(
+
=
(
+2
Rys.1
)
)
+
Koło nr 1 jest nieruchome, punkt A to chwilowy środek obrotu
koła nr 2. Zwrot wektora
wskazuje kierunek obrotu koła nr 2
(Rys.2)
=
=
2
(
=2
)
+
=
=2
(
=
(
+
+
)
)
Rys.2
Prędkość punktu B można wyznaczyć też w oparciu o środek koła nr 3 – punkt 03 (należy on zarówno do pręta
jak i koła nr 3). Ze względu na brak poślizgu koła nr 2 i nr 3 muszą toczyć się w przeciwnych kierunkach (Rys.3)
=
+
=
+
2
×
wektorydziałająwzdłużjednejprostej
+2
=
=
−
+2
=
(
+
−
+
)
Rys.3
=
> 0 gdy r1>r3 -warunek poprawnej pracy układu bez poślizgu
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna”,listopad2015
Ad.c)
Pomocniczo wyznaczmy przyspieszenia punktów 02 i 03.
Punkt 01 to chwilowy środek obrotu i przyspieszeń pręta
(Rys.4).
=
+
= (
×0 0 −
)
+
(
=
=
×0 0 −
+2
(
=
Rys.4
)
+
+
= (
0 0
)
+
+2
0 0
+
)
Koło nr 1 jest nieruchome, stąd przyspieszenie punktu A należącego do koła nr 1 wynosi zero !!!
PrzyspieszeniepunktuAnależącegodokołanr2wyznaczamywoparciuoprzyspieszeniaśrodkakoła02
(Rys.5).
=
+
×0
=
= ̇
−
0
=
> 0
wartośćdodatnia,więczwrot zgodnyz
= 0
=
=
0
+
=
=
(
=
=
+
)
(
(
=
Rys.6
)
+
+
)
ℎ
ś
2,
ę
ść
ł
ℎ
ę
ś ż
Wprowadzamy osie prostopadłe x i y:
=
−
=
−
=
= −
=
(
(
=
(
+
)−
+
+
)
(
) −
ł +
(
) = 0
+
)
Rys.5
= ⋯ = −
(
+
,
) przyspieszeniepunktuAskierowanejestprzeciwniedozwrotuosiy(w
prawo)
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna”,listopad2015
‼!
Ad.d)
Punkt B należący do koła nr 2 oznaczamy jako B2, jego przyspieszenie
wyznaczamy w oparciu o przyspieszenia środka koła 02. Do punktu B
przenosimyzatemprzyspieszeniapunktu02(Rys.6).
=
+
×0
= 0
=
=
=
=
+
=
+
−
0
+
=
(
+
)
(
=
=
(
=
(
) +
+
(
)
+
+
)
Rys.6
)+
+
(
=
=
+
=
+
(
) = 2 (
)
+
[ (
+
)
= ⋯ =
(
)] +
+
(
+2
)
+
+
)
+
Punkt B należący do koła nr 3 oznaczamy jako B3, jego przyspieszenie wyznaczamy w oparciu o
przyspieszenieśrodkakoła03(Rys.7).
=
=
+
×0
−
−
= ̇
= 0
=
=
=
(
−
=
−
+
= (
=
−
=
+
−
=
=
=
0
)
=
(
=
+2
(
=
+
+2
[ (
(
−
+
(
>
)
)
−
)+ (
+
)
−
) −
)] +
(
) = 2 (
−
(
)
+
)
+
) −
Rys.7
+2
(
−
)
Oczywiście
=
. Przy toczeniu bez poślizgu punkty styku kół mają jednakowe prędkości,
podobnie składowe styczne przyspieszeń, jako pochodne prędkości, są jednakowe.
AnnaGłowacka„Mechanikaogólna–pomocdydaktyczna”,listopad2015