Ćwiczenia 8
Transkrypt
Ćwiczenia 8
Graf planarny – graf, który można narysowac na płaszczyźnie bez przecięć. Taki rysunek płaski grafu planarnego nazywamy grafem płaskim. Każdy planarny graf prosty może być narysowany za pomocą odcinków. Grafy K3,3 i K5 są nieplanarne. Każdy podgraf grafu planarnego jest grafem planarnym. Każdy graf zawierający podgraf nieplanarny jest nieplanarny. Dwa grafy są homeomorficzne jeśli oba można uzyskać z tego samego grafu poprzez dodanie nowych wierzchołków stopnia 2 wewnątrz ich grawędzi. Dany graf jest planarny wttw gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K3,3 lub z grafem K5. (Tw. Kuratowskiego) Graf H nazywamy grafem ściągalnym do grafu K3,3 lub do grafu K5, jeśli możemy otrzymać graf K3,3 lub graf K5 ściągając kolejno krawędzie grafu H. Liczba przecięć cr(G) grafu G – najmniejsza liczba przecięć, które muszą wystąpić, gdy przedstawiamy graf G na płaszczyźnie. Dla grafu planarnego G, każdy jego rysunek płaski dzieli zbiór punktów płaszczyzny nie leżących na grafie G na obszary zwane ścianami. Aby skonstruować graf G* dualny (geometrycznie) do grafu planarnego G, dla danego rysunku płaskiego grafu G należy: - wewnątrz każdej ściany grafu G wyznaczyć punkt v* (wierzchołki grafu G*) - dla każdej krawędzi e grafu G prowadzimy linię e* przecinającą e (i nie przecinającą żadnej innej krawędzi grafu G) i łączącą wierzchołki v* ścian oddzielonych od siebie krawędzią e (powstaną w ten sposób krawędzie grafu G*). Niech G będzie spójnym grafem płaskim o n wierzchołkach, m krawędziach i f ścianach. Wtedy w grafie G* dualnym do grafu G jest n*=f wierzchołków, m*=m krawędzi i f*=n ścian. Niech G będzie rysunkiem płaskim spójnego grafu płaskiego i niech n,m i f oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian grafu G. Wtedy n-m+f=2 (Tw. Eulera) Graf G jest k-kolorowalnym / (k-kolorowalnym(v)), jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów tak, aby sąsiednie wierzchołki miały różne kolory. Graf jest k-chromatyczny, jeśli k jest najmniejszą liczbą taką, że graf jest kkolorowalny. Liczba chromatyczna χ(G)– najmniejsza liczba kolorów, których musimy użyć do pokolorowania wierzchołków grafu G. Jeśli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem wierzchołka jest i, to graf G jest (i+1)-kolorowalny. Jeśli dany jest spójny graf prosty G, nie będący grafem pełnym, oraz największy stopień wierzchołka wynosi i, (i≥3), to graf G jest i-kolorowalny (Tw. Brooksa). Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny. Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny. (Tw. o pięciu barwach) Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny. (Appel, Haken) Mapa – graf planarny 3-spójny (nie zawiera rozcięć mających 1 lub 2 krawędzie). Mapa jest k-kolorowalna(f), jeśli jej ściany można pokolorować k kolorami w taki sposób, by żadne dwie ściany ograniczone wspólną krawędzią nie były pokolorowane tym samym kolorem. Twierdzenie o czterech barwach dla map jest równoważne z twierdzeniem o czterech barwach dla grafów planarnych. Mapa jest 2-kolorowalna wttw gdy graf G jest grafem eulerowskim (tzn. posiadającym cykl Eulera)