Ćwiczenia 5

Graf planarny – graf, który można narysowac na płaszczyźnie bez przecięć.
Taki rysunek płaski grafu planarnego nazywamy grafem płaskim.
Każdy planarny graf prosty może być narysowany za pomocą odcinków.
Grafy K3,3 i K5 są nieplanarne.
Każdy podgraf grafu planarnego jest grafem planarnym.
Każdy graf zawierający podgraf nieplanarny jest nieplanarny.
Dwa grafy są homeomorficzne jeśli oba można uzyskać z tego samego
grafu poprzez dodanie nowych wierzchołków stopnia 2 wewnątrz ich
grawędzi.
Dany graf jest planarny wttw gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z
grafem K3,3 lub z grafem K5. (Tw. Kuratowskiego)
Graf H nazywamy grafem ściągalnym do grafu K3,3 lub do grafu K5, jeśli
możemy otrzymać graf K3,3 lub graf K5 ściągając kolejno krawędzie grafu H.
Liczba przecięć cr(G) grafu G – najmniejsza liczba przecięć, które muszą
wystąpić, gdy przedstawiamy graf G na płaszczyźnie.
Dla grafu planarnego G, każdy jego rysunek płaski dzieli zbiór punków
płaszczyzny nie leżących na grafie G na obszary zwane ścianami.
Niech G będzie rysunkiem płaskim spójnego grafu płaskiego i niech n,m i f
oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian grafu G.
Wtedy n-m+f=2
(Tw. Eulera)
Graf G jest k-kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać
jeden z k kolorów tak, aby sąsiednie wierzchołki miały różne kolory.
Graf jest k-chromatyczny, jeśli k jest najmniejszą liczbą taką, że graf jest kkolorowalny.
Liczba chromatyczna χ(G)– najmniejsza liczba kolorów, których musimy
użyć do pokolorowania wierzchołków grafu G.
Jeśli dany spójny graf prosty G, nie będący grafem pełnym, i największy
stopień wierzchołka wynosi i, (i≥3), to graf G jest i-kolorowalny (Tw. Brooksa)
Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny. (Appel, Haken)
Mapa – graf planarny 3-spójny (nie zawiera rozcięć mających 1 lub 2
krawędzie).
Twierdzenie o czterech barwach dla map jest równoważne z tweirdzeniem o
czterech barwach dla grafów planarnych.