Liniowa niezależność wektorów Defincja 1. (kombinacja liniowa

Liniowa niezależność wektorów
Defincja 1. (kombinacja liniowa wektorów)
Kombinacją liniową wektorów ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn , o współczynnikach
a1 , a2 , . . . , am ∈ R nazywamy wektor
w
~ = a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm .
Definicja 2. (liniowa niezależność i zależność wektorów)
Mówimy, że wektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn są liniowo niezależne, jeżeli dla
dowolnych współczynników a1 , a2 , . . . , am ∈ R z warunku
a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~0
wynikają równości
a1 = a2 = · · · = am = 0.
W przeciwnym przypadku mówimy, że wektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn są
liniowo zależne. Dokładniej: wektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn są liniowo zależne,
jeżeli istnieją współczynniki a1 , a2 , . . . , am ∈ R, nie wszystkie równe 0 takie,
że
a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm = ~0
Uwaga. Wektory ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm ∈ Rn są liniowo zależne, gdy jeden z nich
np. ~vk zależy od pozostałych, tzn., że można go przedstawić jako
kombinację liniową pozostałych.
Fakt 1. (o liniowej niezależności wektorów w R2 i R3 )
1. Dwa wektory ~u, ~v na płaszczyźnie π są liniowo niezależne wtedy i tylko
wtedy, gdy nie są współliniowe.
2. Trzy wektory w przestrzeni są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy nie są współpłaszczyznowe.
Fakt 2. (własności wektorów liniowo niezależnych i liniowo zależnych)
1. wektor ~v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy ~v 6= ~0;
2. wektory ~0, w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m są liniowo zależne;
3. jeżeli wektory w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m ∈ Rn są liniowo zależne i ~v ∈ Rn , to
również wektory ~v , w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m są liniowo zależne;
4. jeżeli wektory w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m są liniowo niezależne, to również wektory
w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ k , k < m są liniowo niezależne;
5. wektory w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m , gdzie m ­ 2 są liniowo zależne wtedy i tylko
wtedy, gdy co najmniej jeden z nich (np. w
~ k , gdzie 1 < k < m) jest
kombinacją liniową pozostałych
w
~ k = a1 w
~ 1 + a2 w
~ 2 + · · · + ak−1 w
~ k−1 + ak+1 w
~ k+1 + · · · + am~vm ,
gdzie a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak+1 , . . . , am ∈ R.
6. jeżeli wektory w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m są liniowo niezależne, a wektory
~v , w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m są liniowo zależne, to wektor ~v jest kombinacją liniową
wektorów w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ m:
~v = a1 w
~ 1 + a2 w
~ 2 + · · · + ak−1 w
~ k−1 + ak w
~ k + ak+1 w
~ k+1 + · · · + am~vm ,
gdzie a1 , a2 , . . . , ak−1 , ak , ak+1 , . . . , am ∈ R.
Baza przestrzeni liniowej Rn
Definicja 1. (operacja generowania)
Niech ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm będą dowolnymi wektorami w przestrzeni Rn . Zbiór
wektorów będących kombinacjami liniowymi wektorów ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm
oznaczamy przez
lin{~v1 , ~v2 , . . . , ~vm }
Zatem
lin{~v1 , ~v2 , . . . , ~vm } = {a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm : ai ∈ R dla 1 ¬ i ¬ m}.
Jeżeli B = lin A, to mówimy, że zbiór B jest generowany przez zbiór A.
Elementy zbioru A nazywamy wtedy generatorami zbioru B.
Fakt 4. (własności operacji generowania)
Niech A i B będą zbiorami wektorów w Rn . Wtedy prawdziwe są
stwierdzenia:
1. jeżeli A ⊂ B, to linA ⊂ linB
2. jeżeli zbiór wektorów A jest liniowo niezleżny oraz ~v 6∈ linA, to zbiór
{~v } ∪ A jest także liniowo niezależny.
Twierdzenie 1. (Steinitza)
Niech ~v1 , ~v2 , . . . , ~vm bedą wektorami w Rn oraz niech
w
~ 1, w
~ 2, . . . , w
~ k ∈ lin{~v1 , ~v2 , . . . , ~vm } bedą liniowo niezależne. Wówczas
k ¬ m.
Uwaga. Z twierdzenia Steinitza wynika, że liczba wektorów liniowo
niezależnych w przestrzeni Rn nie przekracza liczby jej generatorów.
Np. w R3 mamy generatory: ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1), bo
dowolny wektor w
~ = (x, y, z) = x~e1 + y~e2 + z~e3 . Wniosek, w R3 każdy zbiór
wektorów liniowo niezależnych ma co najwyżej 3 elementy. w R2 mamy
generatory: ~e1 = (1, 0), ~e2 = (0, 1). Wniosek, w R2 każdy zbiór wektorów
liniowo niezależnych ma co najwyżej 2 elementy.
Definicja 5. (baza przestrzeni liniowej)
Bazą przestrzeni liniowej Rn nazywamy zbiórB = {~v1 , ~v2 , . . . , ~vm } wektorów
z tej przestrzeni spełniający warunki:
1. zbiór wektorów B jest liniowo niezależny;
2. zbiór B generuje przestrzeń Rn , tzn. dla każdego wektora w
~ ∈ Rn istnieją
współczynniki a1 , a2 , . . . , am takie, że
w = a1~v1 + a2~v2 + · · · + am~vm
Uwaga
Na płaszczyźnie R2 dowolne dwa niewspółliniowe wektory tworzą jej bazę.
Podobnie w przestrzeni R3 dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory
tworzą jej bazę.
Fakt 6 (o uzupełnianiu bazy)
Dowolny zbiór wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni liniowej można
uzpełnić do bazy tej przestrzeni.
Fakt 7. (o równoliczności baz)
Jeżeli baza przestrzeni wektorowej składa się z n wektorów, gdzie n ∈ N , to
każda inna baza tej przestrzeni także składa się z n wektorów.
Definicja 6. (wymiar przestrzeni liniowej)
Niech V będzie przestrzenią wektorową oraz niech wektory ~b1 , ~b2 , . . . , ~bm
tworzą bazę tej przestrzeni. Wymiar przestrzeni V określamy
dim V = m.
Mówimy wtedy, że przestrzeń V jest m-wymiarowa. Ponadto przyjmujemy
dim{~0} = 0
Mówimy wtedy, że przestrzeń {~0} jest zerowymiarowa.
Współrzędne wektora w bazie
Twierdzenie 2 (o jednoznacznosci przedstawienia wektora w bazie)
Niech B = {~b1 , ~b2 , . . . , ~bm } będzie bazą przestrzeni wektorowej V oraz niech
~v bedzie dowolnym wektorem tej przestrzeni. Wtedy przedstawienie
wektora ~v w postaci kombinacji liniowej wektorów z bazy B jest
jednoznaczne, tzn. istnieją jednoznacznie określone liczby ai ∈ R takie, że
~v = a1~b1 + a2~b2 + · · · + am~bm .
Definicja 7 (współrzędne wektora w bazie)
Niech B = {~b1 , ~b2 , . . . , ~bm } będzie bazą przestrzeni wektorowej V .
Współrzędnymi wektora ~v ∈ V w bazie B nazywamy współczynniki ai ∈ R,
i = 1, 2, . . . , m kombinacji liniowej przedstawiającej ten wektor w tej bazie:
~v = a1~b1 + a2~b2 + · · · + am~bm .
Współrzędne wektora ~v w ustalonej bazie zapisujemy w postaci
(a1 , a2 , . . . , am ) lub [a1 , a2 , . . . , am ].
Fakt 4(o bazie przestrzeni skończenie wymiarowej)
Jeżeli przestrzeń liniowa V jest n-wymiarowa, to dowolny układ n liniowo
niezależnych wektorów tej przestrzeni jest jej bazą.