Ćwiczenia 8 – teoria.
Transkrypt
Ćwiczenia 8 – teoria.
I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1 2014/2015 ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji) BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Badanie przebiegu zmienności funkcji 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Dziedzina i zbiór wartości funkcji. Punkty przecięcia z osiami układu, parzystość lub nieparzystość. Granice funkcji, asymptoty wykresu funkcji. Pierwsza pochodna – przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne. Druga pochodna – przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia. Tabelka Szkic wykresu. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI – PRZYKŁAD 1 f ( x) x 2 x Ad 1. Dziedzina funkcji Mianowniki muszą być różne od zera, stąd: x 0 , a zatem D f \ {0} (;0) (0; ) . Zbiór wartości funkcji Wf Ad 2. Punkty przecięcia z osiami układu Punkt leży na osi x , gdy: f ( x) 0 , stąd 1 x3 1 x 0 0 ; ułamek jest równy 0 wówczas, gdy jego licznik jest równy 0, a x x zatem: x 3 1 0 x 1 . Zatem do wykresu funkcji należy punkt (-1;0) Punkt leży na osi y , gdy f (0) istnieje dla rozważanej funkcji. Ponieważ w naszym przypadku 0 nie należy do dziedziny funkcji, stąd f (0) - punkt przecięcia z osią y nie istnieje . 2 Parzystość lub nieparzystość Warunek parzystości f ( x) f ( x) nie jest spełniony, stąd funkcja nie jest parzysta. Warunek nieparzystości f ( x) f ( x) nie jest spełniony, stąd funkcja nie jest nieparzysta. Ad 3. Granice funkcji, asymptoty wykresu funkcji Granice na końcach przedziałów określoności funkcji 1 lim x 2 0 x x 1 lim x 2 0 x x Asymptota pionowa istnieje, gdy w punktach nieokreśloności granica funkcji jest równa : 1 lim x 2 0 x 0 x -1- I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1 2014/2015 ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji) 1 0 x 0 x Czyli funkcja ma asymptotę pionową o równaniu x 0 . Asymptota pozioma : Funkcja ma asymptotę poziomą y = a, gdy istnieje granica funkcji w nieskończoności. Ponieważ lim f ( x) lim f ( x) , zatem asymptota pozioma nie istnieje. lim x 2 x x Asymptota ukośna : y mx n , gdzie m lim x f x i n lim f x mx . x x 1 x3 1 x m lim lim , stąd asymptota ukośna nie istnieje (analogicznie w x x x x2 przypadku granicy w ). Ad 4. Pierwsza pochodna – przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne Pierwsza pochodna: x2 ' ' 1 1 f ' ( x) x 2 x 2 x 1 2 x x 2 2 x 2 , x x a dziedzina pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji, czyli D f ' \ {0} (;0) (0; ) Przedziały monotoniczności: Funkcja jest rosnąca w przedziale, jeżeli f '(x) > 0 w tym przedziale: 1 2x 3 1 f ' ( x) 0 2 x 2 0 0 . Ponieważ znak ilorazu jest zawsze równy znakowi x x2 2x3 1 iloczynu, stąd 0 x 2 2 x 3 1 0 . Ponieważ wielomian x 2 2 x 3 1 ma dwa x2 miejsca zerowe: 0 i 3 0,5 (pamiętamy, że 0 nie należy do dziedziny pochodnej ani funkcji), a jego wykres wygląda następująco: 1,5 1 0,5 0 -1,5 -1 -0,5 -0,5 0 0,5 1 1,5 -1 -1,5 -2 -2,5 stąd f ' ( x) 0 x (3 0,5; ) Funkcja jest malejąca w przedziale, jeżeli f '(x) < 0 w tym przedziale: 1 2x 3 1 f ' ( x) 0 2 x 2 0 0 x 2 2 x 3 1 0 , czyli x (;0) (0, 3 0,5 ) . 2 x x Ekstremum lokalne: Funkcja ma ekstremum lokalne lub punkt przegięcia w punkcie (x0 ;y0 ) , jeżeli pochodna funkcji w tym punkcie równa się zero. Jeżeli ponadto w otoczeniu punktu (x0 ;y0 ) pochodna zmienia znak (z dodatniego na ujemny lub odwrotnie), to w punkcie (x0 ;y0 )jest ekstremum. Jeżeli znak zmienia się z dodatniego na ujemny to jest to MAXIMUM, a jeśli z ujemnego na dodatnie, to MINIMUM. -2- I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1 2014/2015 ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji) 1 2x 3 1 0 0 2 x 3 1 0 x 3 0,5 . 2 2 x x Dla rozważanej funkcji jest tylko jeden punkt w którym może być ekstremum, jest to x 3 0,5 . Ponieważ na lewo od tego punktu, czyli dla x (;0) (0, 3 0,5 ) f ' ( x) 0 , f ' ( x) 0 2 x natomiast na prawo od niego, czyli dla x (3 0,5; ) f ' ( x) 0 , czyli w otoczeniu punktu następuje zmiana znaku pochodnej z ujemnego na dodatni. Tak więc dla x0 3 0,5 mamy minimum lokalne funkcji. Dalej należy obliczyć wartość funkcji w tym punkcie, czyli: 2 1 y 0 f (3 0,5 ) 3 0,5 1,9 3 0,5 Ad 5. Druga pochodna – przedziały wklęsłości i wypukłości, punkty przegięcia Druga pochodna: ' 2 1 ' ' ' ' 2 2x3 2 f ' ' ( x) x x 2 x 1 2 x x 2 2 2 x 3 2 3 x x x3 dziedzina drugiej pochodnej pokrywa się z dziedziną funkcji i z dziedziną pierwszej pochodnej czyli D f '' \ {0} (;0) (0; ) . Przedziały wklęsłości: Funkcja jest wklęsła jeżeli f '' (x) < 0 2x 3 2 f ' ' ( x) 0 0 x 3 2 x 3 2 0 2 x 3 x 1 x 2 x 1 0 . Wielomian 3 x 2 x3 x 1 x 2 x 1 o następującym wykresie: 4 3 2 1 0 -1,5 -1 -0,5 -1 0 0,5 1 1,5 -2 -3 -4 przyjmuje wartości ujemne dla x (1;0) , czyli w tym przedziale funkcja jest wklęsła. Funkcja jest wypukła jeżeli f '' (x) > 0 2x 3 2 f ' ' ( x) 0 0 x 3 2 x 3 2 0 2 x 3 x 1 x 2 x 1 0 x (;1) (0; ). 3 x Punkty przegięcia: Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia w (x0 ;y0 ) jest istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w tym punkcie (f '' (x) = 0), oraz zmiana znaku drugiej pochodnej w otoczeniu tego punktu. 2x 3 2 f ' ' ( x) 0 0 2 x 3 2 0 2x 1x 2 x 1 0 x 1. x3 -3- I ROK GOSPODARKA PRZESTRZENNA semestr 1 2014/2015 ĆWICZENIA 8 – TEORIA (Pochodne wyższych rzędów, przebieg zmienności funkcji) A zatem jedynie w punkcie x0 =-1 może istnieć punkt przegięcia funkcji. Ponieważ dla x (;1) f ' ' ( x) 0 , natomiast dla x (1;0) f '' (x) < 0, stąd w otoczeniu x0 =-1 następuje zmiana znaku drugiej pochodnej, a więc w tym punkcie funkcja ma punkt przegięcia. Obliczamy wartość funkcji dla x0 =-1: 2 1 y 0 f (1) 3 1 3 0. 1 Ad 6. Tabela W tabeli umieszczamy wszystkie wyznaczone we wcześniej punkty i przedziały między nimi: x (;1) -1 (1;0) 0 (0; 3 0,5 ) f(x) + 0 - nie istnieje + (f. malejąca) (f. wklęsła) Malejąca i wklęsła punkt przegięcia 1,9 + + nie istnieje (f. malejąca) 0 (3 0,5; ) f ’(x) (f. malejąca) + f ’’(x) (f. wypukła) uwagi malejąca i wypukła 0,5 3 0 (f. malejąca) + + (f. wypukła) (f. wypukła) malejąca i minimum wypukła lokalne nie istnieje asymptota pionowa x=0 (f. rosnąca) + (f.wypukła) rosnąca i wypukła Ad 7. Wykres 20 15 10 5 0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -5 -10 -4- 1 2 3 4 5 6