Tematy do egzaminu ustnego z matematyki dla IV semestru liceum

Tematy do egzaminu ustnego z matematyki dla IV semestru liceum
uzupełniającego dla dorosłych (2012/2013)
I. Stereometria
1. Klasyfikacja brył: (definicje, opis)
- graniastosłupy,
- ostrosłupy,
- bryły obrotowe,
2. Kąty w bryłach:
a) kąty między prostą i płaszczyzną,
b) kąty dwuścienne.
3. Pola powierzchni brył: siatka bryły, wzory na pola powierzchni.
4. Objętość brył: wzory na objętość graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli.
5. Zastosowanie funkcji trygonometrycznych do obliczania pola powierzchni i objętości brył.
Zadania.
1. Wśród modeli brył wskaż poniższą bryłę, omów jej własności, wykonaj rysunek rzutu tej
bryły:
a) graniastosłup prawidłowy czworokątny,
b) ostrosłup prawidłowy trójkątny,
c) graniastosłup prawidłowy trójkątny,
d) czworościan foremny.
2. Kąty w bryłach – wylosuj kartę opisującą kąt w wybranej bryle. Dopasuj rysunek, na którym
zaznaczono opisany kąt.
3. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu wiedząc, że:
a) krawędź podstawy a=6 cm.
b) przekątna ściany bocznej c=3√2 cm
c) przekątna sześcianu d= 2√3cm
d) przekątna sześcianu d= 4 cm
4. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równych 8. Oblicz
powierzchnię boczną tego ostrosłupa.
5. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 5 cm. Oblicz pole powierzchni
całkowitej tego stożka.
6. Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie krawędzie mają jednakową
długość. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 8(√3 + 6). Wyznacz
długość krawędzi tego graniastosłupa.
7. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o bokach 2cm i 6 cm. Oblicz stosunek pola
powierzchni bocznej tego walca do pola jego podstawy (rozważ dwa przypadki).
8. Wysokość ostrosłupa jest równa 8. Podstawą ostrosłupa jest romb o przekątnych d1=6, d2= 4.
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
9. Podstawa prostopadłościanu jest kwadratem o polu 9. Objętość prostopadłościanu jest
równa 45. Oblicz kąt, jaki tworzy przekątna ściany bocznej prostopadłościanu z podstawą.
10. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Przekątna podstawy tego ostrosłupa jest
równa 4, a wysokość 6. Oblicz objętość ostrosłupa.
11. Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod takim kątem, że
2
tgα=3 . Promień walca ma długość 24. Oblicz objętość walca.
12. Objętość kuli jest równa 216π. Oblicz pole powierzchni tej kuli.
13. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 50π, tworząca jest nachylona do podstawy pod
kątem 60o. Oblicz promień podstawy tego stożka.
II.
Rachunek prawdopodobieństwa
1. Reguła mnożenia.
2. Elementy kombinatoryki:
a) permutacja,
b) kombinacja,
c) wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń.
3. Doświadczenie losowe i zdarzenie losowe:
- rodzaje zdarzeń losowych,
- różne sposoby opisu doświadczenia losowego:
a) wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych
b) drzewo doświadczenia
c) opisanie warunku, jakie spełniają wyniki doświadczenia
- wyznaczenie liczebności zbioru zdarzeń elementarnych i doświadczenia losowego.
4. Działania na zdarzeniach:
A∪B,
A∩B,
A \ B,
A’
- zdarzenia wykluczające się
- zdarzenia przeciwne
5. Pojęcie prawdopodobieństwa
a) klasycznego
- obliczenie prawdopodobieństwa zdarzeń, dla których zdarzenia elementarne są jednakowo
prawdopodobne
b) obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie drzewa doświadczenia wieloetapowego
c) własności prawdopodobieństwa.
Zadanie:
1. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 dziewczynki i dwóch chłopców. Ile jest
możliwości, jeśli dziewczęta mają stać przed chłopcami?
2. Ile może być maksymalnie różnych 4-cyfrowych numerów PIN?
3. Na ile sposobów można wybrać 3 karty z talii liczącej 24 karty?
4. Ile można uformować różnych trójkolorowych chorągiewek, mając do dyspozycji 6 kolorów?
5. Ile jest możliwych składów trzy osobowego samorządu klasowego klasy liczącej 21 uczniów?
6. 5 osób wsiadło do windy 7 piętrowego budynku. Na ile sposobów mogą wysiąść z tej windy?
7. Ile można utworzyć liczb parzystych trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach?
8. W jadłospisie pewnej restauracji umieszczono 5 rodzajów zup, 6 dań głównych, 3 desery, 6
napojów. Ile różnych zestawów obiadowych składających się z zupy, dania głównego, deseru
i napoju można skomponować w tego jadłospisu?
9. Określ zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia.
A. Rzut monetą i kostką do gry,
B. Rzut dwukrotny kostką do gry,
C. Rzut trzykrotny monetą,
D. Losowanie dwóch kul z urny, w której są 3 kule białe, 2 czarne i 4 zielona.
Dla wylosowanego doświadczenia określ moc zdarzenia losowego:
a) Na kostce wypadła liczba oczek podzielna przez 3,
b) Suma oczek uzyskanych w obu rzutach jest większa od 8,
c) W pierwszym rzucie wypadła reszka,
d) Wylosowano kule tego samego koloru.
10. Zapisz, jako zbiory wyników w dwukrotnym rzucie kostką, następujące zdarzenia:
A: w każdym rzucie wypadła parzysta liczba oczek.
B: suma oczek wyrzuconych w obu rzutach jest równa 5
Zapisz jako zbiory:
A∪B,
A∩B,
A \ B,
A’ i B’.
11. Rzucono dwa razy kostką sześcianu do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, ze dwa razy
wypadła parzysta liczba oczek.
12. Rzucano kostką do gry i monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wyrzucono reszkę i co
najwyżej 5.
13. Z talii 52 kart wylosowano jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowano
kartę koloru czerwonego lub figurę.
3
14. Zdarzenia A i B zawarte w zbiorze Ω spełniają warunek P(A) = 5 i A С B. Wyznacz P (A∩B).
15. Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma
wyrzucanych oczek jest równa 8 lub iloczyn wyrzucanych oczek jest równy 12.
16. Ze zbioru liczb dwucyfrowych wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że
wybierzemy liczbę podzielną przez 11.
17. W urnie jest 10 kul białych i 2 czarne. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania obu kul w
tym samym kolorze?