1 Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy

Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia.
Grupa 1. Kinematyka
1. W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53 m w pionie.
Wyznacz składowe prędkości początkowej pocisku: (a) poziomą, (b) pionową. (c) W jakiej odległości w poziomie od punktu
jego wystrzelenia znajdzie się pocisk w chwili, gdy osiągnie maksymalną wysokość nad ziemią?
2. Tor kolejki dziecięcej przedstawiono na rysunku poniżej. Fragment między punktami 1 i 3 jest łukiem
okręgu o promieniu 1 m i długości 3,14 m. Prostoliniowe odcinki mają taką długość jak łuk. Lokomotywa
rusza z punktu 1 (patrz rysunek), z przyspieszeniem stycznym do toru o wartości 1m/s2.
s
1
2
3
4
Zaznacz poprawne dokończenie zdania. Po upływie czasu 1 s lokomotywa znajdzie się w punkcie oznaczonym cyfrą
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
s
Oceń poprawność poniższych zdań. Wpisz znak X w odpowiedniej kolumnie tabeli.
PRAWDA
1.
2.
3.
FAŁSZ
Ponieważ lokomotywa porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym,
2
wartość przyspieszenia dośrodkowego w punkcie 4 wynosi 1m/s
Gdyby lokomotywa pokonywała łuk między punktami 1 i 3 ruchem
jednostajnym z prędkością o wartości 2 m/s to czas potrzebny na jego
pokonanie wyniósłby 1,57 s.
Podczas ruchu lokomotywy po łuku z przyspieszeniem stycznym do toru
2
o wartości 1m/s wartość wypadkowej siły działającej na wagonik była stała.
3. Na wykresie obok przedstawiono
zależność
wartości
prędkości
poruszającego się po linii prostej
samochodu w funkcji czasu. Zaznacz
poprawne dokończenie zdania.
Na podstawie wykresu można
stwierdzić, że samochód poruszał się
ruchem:
A. jednostajnym.
B. jednostajnie opóźnionym.
C. jednostajnie przyspieszonym.
D. niejednostajnie przyspieszonym.
Na podstawie tego wykresu oszacuj z
nadmiarem wartość drogi pokonanej
przez samochód w czasie drugiej
sekundy jego ruchu.
4. A) Pasażer jadącego pociągu zaobserwował przez okno, że słupki rozmieszczone co 200 m po jednej ze stron linii
kolejowej mija dokładnie co 5 s. Zmierzył także, że jadącemu w przeciwnym kierunku pociągowi o długości 220
m złożonemu z lokomotywy oraz 8 wagonów przejazd obok okna, przez które patrzył, zajęło 4 s. Oblicz wartości
prędkości obu pociągów, zakładając, że poruszały się ruchem jednostajnym. Wyniki wyraź w kilometrach na godzinę.
B) Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę potem w dół. Łączny czas, w
jakim kot ma doniczkę w polu widzenia wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje jest równa 2 m. Jak wysoko
nad górną framugę okna wzniosła się doniczka?
5. A) Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest
maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia? B) Lotkę
rzucono poziomo, z prędkością początkową o wartości 10 m/s w kierunku punktu P na tarczy i po 0,19 s lotu trafia ona w
punkt Q na obrzeżu tarczy, leżący poniżej punktu P. (a) Jaka jest odległość punktów P i Q? (b) Z jakiej odległości od tarczy
została rzucona ta lotka?
1
6. Elektron poruszający się poziomo z prędkością o wartości 1×109 cm/s, wchodzi w obszar między dwiema poziomymi,
naładowanymi elektrycznie płytami metalowymi. Ich obecność powoduje, że elektron doznaje stałego przyspieszenia,
skierowanego w dół, o wartości 1×1017 cm/s2. Wyznacz: (a) czas, potrzebny elektronowi na przebycie w tym obszarze 2 cm
w poziomie, (b) odległość przebytą przez niego w tym czasie w pionie. Oblicz ponadto wartości składowych prędkości
elektronu: (c) poziomej, (d) pionowej, po przebyciu tej drogi.
7. W wysokiej wieży (rys, obok po prawej stronie) zamku księcia
Arnolda zamknięta została księżniczka Eliza. Pewnego dnia udało się jej
zdobyć plany zamku, dzięki którym możliwa była jej ucieczka. Plany
umieściła wewnątrz kapsułki, którą zamierzała rzucić w taki sposób,
aby wylądowała u stóp ukochanego rycerza Rolanda. Roland znajduje
się po drugiej stronie fosy, w odległości 15 m od wieży. W chwili
wyrzutu kapsułka znajduje się na wysokości 20 m (patrz rysunek).
Zakładamy, że podczas lotu na kapsułkę nie działają siły oporu
powietrza, a kierunek początkowy prędkości kapsułki był poziomy. Oblicz
wartość prędkości, z jaką księżniczka Eliza powinna wyrzucić
kapsułkę, aby ta upadła u stóp Rolanda.
8. Do latającego lampionu przymocowano ciężarek o masie 20 g w taki
sposób, że może on być od niego odłączony w każdej chwili podczas lotu
(rys. po lewej stronie). Lampion wraz z ciężarkiem
wznosił się pionowo do góry ze stałą co do wartości
prędkością 2 m/s. Po 4 s lotu lampionu z powierzchni
ziemi wyrzucono pionowo do góry gumową piłeczkę
nadając jej prędkość początkową o wartości v0. Oblicz, z jaką prędkością v0 należy wyrzucić z powierzchni
ziemi piłeczkę, aby spotkała się z lampionem tylko raz. Opory ruchu pomijamy. Oblicz wartość prędkości
ciężarka tuż przed uderzeniem w ziemię.
Grupa 2. Dynamika punktu materialnego
1. Na powierzchni Marsa (ciśnienie na tej planecie wynosi 800 Pa = 0,008 ziemskiego ciśnienia atmosferycznego; planeta
prawie nie ma atmosfery) rzucono pod kątem 30o stopni do poziomu kulę o masie 0,2 kg z prędkością początkową
o wartości 21 m/s. W trakcie ruchu na kulę działa stała siła F = (Fx; Fy; Fz) = (0,0; –0,74; 0,0) [N]. Składowe wektora siły
F podano w prostokątnym układzie współrzędnych, którego osie OX i OZ leżą w płaszczyźnie powierzchni Marsa, a oś
OY jest skierowana do góry. Wyznacz tor ruchu, tj. zależność y(x), gdzie y – wysokość nad powierzchną planety, x –
odległość wyrzuconej kuli mierzona po powierzchni Marsa od punktu wyrzutu będącego początkiem prostokątnego
układu współrzędnych.
2. Na ciało spadające pionowo w dół działa siła F oporu zależna od prędkości v, a jej wartość wynosi F = Cρv2S/2, gdzie
ρ = 1,3 kg/m2 – gęstość powietrza, S – pole przekroju prostopadłego ciała w stosunku do wektora prędkości, C –
współczynnik zależny od kształtu ciała. Piłeczka pingpongowa ma masę 2,5 g i promień 1,7 cm. Opisz rodzaje ruchu
piłeczki po jej upuszczeniu. Dlaczego prędkość piłeczki nie rośnie w nieskończoność? Przyjmując, że C = 0,5 oblicz
prędkość z jaką upuszczona swobodnie piłeczka będzie spadała ruchem jednostajnym prostoliniowym (przyjmujemy, że
powietrze jest nieruchome).
3. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y0 przy powierzchni ziemi nadając mu prędkość początkową v0 = (vx0 ≠ 0,
vy0 = 0) = vx0i. Wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia,tj. ax (t) i ay (t);
Wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz czas ruchu.
4. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi.
Współczynnik tarcia wynosi µ. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do
równi, a oś OY jest do niej prostopadła, wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t);
przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz wyznacz czas zsuwania
się tego ciała z równi.
5. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie współrzędnych,
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
2
6. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie współrzędnych,
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
7. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w dół
równi nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie zsuwania się ciała po równi. Po jakim czasie ciało osiągnie najmniejszą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu najmniejszej wysokości.
8. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto
wzdłuż równi nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie zsuwania się ciała z równi. Po jakim czasie ciało zsunie się z równi?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Grupa 3. Nieinercjalne układy odniesienia; całkowita masa Pendolino 400 ton
Pendolino porusza się w kierunku północnym z prędkością 150 km/h po torze kolejowym na szerokości geograficznej
północnej 52O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziałują na Pendolino. Proszę sporządzić
odpowiedni rysunek.
Pendolino porusza się w kierunku północnym z prędkością 130 km/h po torze kolejowym na szerokości geograficznej
północnej 42O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką Pendolino oddziałuje na szyny. Proszę sporządzić
odpowiedni rysunek.
Pendolino porusza się z prędkością 120 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południowym na szerokości
geograficznej 63O . Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziałują na Pendolino. Proszę
sporządzić odpowiedni rysunek.
Pendolino porusza się w kierunku południowym z prędkością 120 km/h po torze kolejowym na szerokości
geograficznej północnej 33O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką Pendolino oddziałuje na szyny.
Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
Wyobraź sobie, że idziesz z prędkością v wzdłuż promienia poziomej platformy o promieniu r
obracającej się z prędkością kątową Ω wokół pionowej ustalonej osi obrotu przechodzącej przez
środek platformy. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa działającej na Ciebie o masie m,
gdy znajdziesz się w odległości r/2 od jej środka. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
Przy bocznej ścianie pomieszczenia w kształcie cylindra o pionowej osi i promieniu R stoi człowiek.
Współczynnik tarcia między człowiekiem a ścianą wynosi µ. Pokaż, że maksymalna wartość okresu T obrotu
pomieszczenia wokół osi, przy której człowiek nie będzie zsuwał się po ścianie (podłogę zabieramy), wynosi
T = [4π2Rµ/g]1/2. Obliczenia przeprowadzić dla R = 4 m i µ = 0,40. Ile obrotów wykona wtedy pomieszczenie w
ciągu jednej minuty? Proszę porządzić odpowiedni rysunek.
Meteoryt o masie 10 kg spada pionowo na powierzchnię Ziemi na szerokości geograficznej 450 z II prędkością
kosmiczną 11,2 km/s; rozpoczął spadanie w bardzo dużej odległości od naszej planety. Wyznacz wartości siły
odśrodkowej i siły Coriolisa, które działają na meteoryt tuż przy powierzchni Ziemi.
Przy bocznej ścianie pomieszczenia w kształcie cylindra o pionowej osi i promieniu R stoi człowiek.
Współczynnik tarcia między człowiekiem a ścianą wynosi µ. Pokaż, że maksymalna wartość okresu T obrotu
pomieszczenia wokół osi, przy której człowiek nie będzie zsuwał się po ścianie (podłogę zabieramy), wynosi
T = [4π2Rµ/g]1/2. Obliczenia przeprowadzić dla R = 4 m i µ = 0,40. Ile obrotów wykona wtedy pomieszczenie w
ciągu jednej minuty? Proszę porządzić odpowiedni rysunek.
Rakieta V-2 o masie m = 120 kg porusza się przy powierzchni Ziemi na stałej wysokości 500 m z prędkością
350 m/s. Obliczyć w a r t o ś ć wektora siły Coriolisa FC działającej na rakietę w chwili, gdy jej prędkość jest
wektorem leżącym dokładnie w płaszczyźnie południka zerowego na północnej szerokości geograficznej 45◦. Czy
wynik zależy od zwrotu wektora v? Proszę sporządzić odpowiedni rysunek. Ws-ka: Należy wybrać kartezjański
nieinercjalny układ odniesienia w ten sposób, aby płaszczyzna OYZ pokrywała się z płaszczyzną południka, a oś
OZ wyznaczała kierunek północ–południe.
Wrocław, 1 X 2016
W. Salejda
3