lista zadań 4

Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia.
Grupa 1. Kinematyka
1. Kula pistoletowa wystrzelona poziomo przebiła dwie pionowo ustawione kartki papieru, umieszczone w odległościach
l1 = 20 m i l2 = 30 m od pistoletu. Różnica wysokości na jakich znajdują się otwory w kartkach wynosi h = 5 cm. Oblicz
prędkość początkową kuli. Przyspieszenie ziemskie przyjąć jako 10 m/s2.
2. Układający się do drzemki kot spostrzega doniczkę przelatującą za oknem, najpierw w górę potem w dół. Łączny czas, w
jakim kot ma doniczkę w polu widzenia wynosi 0,5 s, a wysokość okna, przez które ją obserwuje jest równa 2 m. Jak
wysoko nad górną framugę okna wzniosła się doniczka?
3. Kamień rzucono pionowo do góry. Mija on punkt A z prędkością v, a punkt B, leżący 3m wyżej niż punkt A z prędkością
1/2 v. Oblicz: (a) prędkość v; (b) maksymalną wysokość wzniesienia się kamienia ponad punkt B.
4. Kamień rzucono ukośnie z powierzchni ziemi. Na wysokości 9,1 m jego prędkość jest równa v = 7,6i + 6,1j. Jaka jest
maksymalna wysokość i zasięg rzutu? Jaka była prędkość początkowa i końcowa (tuż przed upadkiem) kamienia?
5. W meczu tenisowym Edi Federer serwując nadał piłce znajdującej się na wysokości 2,37m prędkość poziomą 23,6 m/s
stojąc w odległości 12 m od siatki. Czy piłka przejdzie nad siatką?
6. Na mistrzostwach świata w Tokio w 1991 r., Mike Powell skoczył w konkursie skoku w dal 8,95 m. Wyznaczyć jego
prędkość początkową, jeśli kąt wybicia był równy 40°. Przyjąć g = 9,85m/s2.
7. Wartość prędkości początkowej pewnego pocisku wyrzuconego ukośnie jest pięć razy większa od jego prędkości w
punkcie maksymalnego wzniesienia. Pod jakim kątem wystrzelono pocisk?
8. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością v0 = 5 m/s. Prędkość
końcowa ciała (tuż przed upadkiem) wyniosła |vk| = 5v0. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad
powierzchnię ziemi wzniosło się ciało? Ile czasu tc trwał ruch ciała?
Grupa 2. Dynamika punktu materialnego
1. Na powierzchni Marsa (ciśnienie na tej planecie wynosi 800 Pa = 0,008 ziemskiego ciśnienia atmosferycznego; planeta
prawie nie ma atmosfery) rzucono pod kątem 30o stopni do poziomu kulę o masie 0,2 kg z prędkością początkową
o wartości 21 m/s. W trakcie ruchu na kulę działa stała siła F = (Fx; Fy; Fz) = (0,0; –0,74; 0,0) [N]. Składowe wektora siły
F podano w prostokątnym układzie współrzędnych, którego osie OX i OZ leżą w płaszczyźnie powierzchni Marsa, a oś
OY jest skierowana do góry. Wyznacz tor ruchu, tj. zależność y(x), gdzie y – wysokość nad powierzchną planety, x –
odległość wyrzuconej kuli mierzona po powierzchni Marsa od punktu wyrzutu będącego początkiem prostokątnego
układu współrzędnych.
2. Na ciało spadające pionowo w dół działa siła F oporu zależna od prędkości v, a jej wartość wynosi F = Cρv2S/2, gdzie
ρ = 1,3 kg/m2 – gęstość powietrza, S – pole przekroju prostopadłego ciała w stosunku do wektora prędkości, C –
współczynnik zależny od kształtu ciała. Piłeczka pingpongowa ma masę 2,5 g i promień 1,7 cm. Opisz rodzaje ruchu
piłeczki po jej upuszczeniu. Dlaczego prędkość piłeczki nie rośnie w nieskończoność? Przyjmując, że C = 0,5 oblicz
prędkość z jaką upuszczona swobodnie piłeczka będzie spadała ruchem jednostajnym prostoliniowym (przyjmujemy, że
powietrze jest nieruchome).
3. Ciało o masie m rzucono poziomo z wysokości y0 przy powierzchni ziemi nadając mu prędkość początkową v0 = (vx0 ≠ 0,
vy0 = 0) = vx0i. Wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia,tj. ax (t) i ay (t);
Wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz czas ruchu.
4. Ciało o masie m spoczywające (v0 = 0) początkowo na równi o wysokości H zaczyna zsuwać się wzdłuż równi.
Współczynnik tarcia wynosi µ. W prostokątnym układzie współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do
równi, a oś OY jest do niej prostopadła, wyznacz zależności od czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t);
przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t). Znajdź równanie toru oraz wyznacz czas zsuwania
się tego ciała z równi.
5. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie współrzędnych,
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
6. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo u spodu równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę równi
nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie współrzędnych,
którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu należy umieścić
w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od czasu: wektora
prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w trakcie
wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie największą wysokość? Scharakteryzuj, opisz nie
wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu największej wysokości.
1
7. Ciało o masie 0,2 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w dół
równi nadając mu prędkość początkową 3 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,76. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało osiągnie najmniejsza wysokość? Scharakteryzuj, opisz
nie wypisując wzorów, ruch tego ciała po osiągnieciu najmniejszej wysokości.
8. Ciało o masie 0,3 kg spoczywające początkowo na wierzchołku równi o wysokości 1,5 m i długości 3 m pchnięto w górę
równi nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Współczynnik tarcia wynosi 0,1. W prostokątnym układzie
współrzędnych, którego jedna z osi OX, jest równoległa do równi, a oś OY jest do niej prostopadła (początek układu
należy umieścić w położeniu początkowym ciała), wskaż wszystkie siły działające na ciało i wyznacz zależności od
czasu: wektora prędkości ciała, tj. Vx (t) i Vy (t); przyspieszenia, tj. ax (t) i ay (t); wektora wodzącego, tj. X(t) i Y (t) w
trakcie wznoszenia się ciała w górę równi. Po jakim czasie ciało zsunie się z równi?
Grupa 3. Nieinercjalne układy odniesienia
1. Pendolino porusza się w kierunku płn-wsch z prędkością 150 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku północnowschodnim na szerokości geograficznej północnej 52O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny
oddziaływują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
2. Pendolino porusza się z prędkością 120 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południkowym na szerokości
geograficznej 51O . Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny oddziaływują na Pendolino. Proszę
sporządzić odpowiedni rysunek.
3. Wyobraźmy sobie, że człowiek idzie z prędkością v wzdłuż promienia poziomej platformy o promieniu r
obracającej się z prędkością kątową Ω wokół pionowej ustalonej osi obrotu przechodzącej przez środek
platformy. Wyznacz zwrot, kierunek i wartość wypadkowej siły działającej na tego człowieka w układzie
odniesienia związanym z platformą, gdy znajdzie się w odległości r/2 od jej środka. Należy uwzględnić
siłę Coriolisa. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
4. Pendolino porusza się z prędkością 140 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku zachodnim na szerokości
geograficznej 61O . Wyznacz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa działającej na Pendolin. Proszę sporządzić odpowiedni
rysunek.
5. Przy bocznej ścianie pomieszczenia w kształcie cylindra o pionowej osi i promieniu R stoi człowiek. Współczynnik
tarcia między człowiekiem a ścianą wynosi µ. Pokazać, że maksymalna wartość okresu T obrotu pomieszczenia wokół osi,
przy której człowiek nie będzie zsuwał się po ścianie (podłogę zabieramy), wynosi T = [4π2Rµ/g]1/2. Obliczenia
przeprowadzić dla R = 4 m i µ = 0,40. Ile obrotów wykona wtedy pomieszczenie w ciągu jednej minuty? Proszę porządzić
odpowiedni rysunek.
6. Pendolino porusza się w kierunku płd-zach z prędkością 100 km/h po torze kolejowym ułożonym w kierunku południowozachodnim na szerokości geograficznej południowej 52O . Oblicz zwrot, kierunek i wartość siły Coriolisa z jaką szyny
oddziaływują na Pendolino. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
7. Rakieta V-2 o masie m = 120 kg porusza się przy powierzchni Ziemi na stałej wysokości 500 m. Obliczyć wektor
przyspieszenie Coriolisa aC oraz wektor siły Coriolisa FC działającej na rakietę w chwili, gdy: (a) jej prędkość v
jest wektorem leżącym dokładnie w płaszczyźnie południka zerowego, (b) długość wektora prędkości wynosi 250 m/s, (c)
rakieta znajduje się na północnej szerokości geograficznej 45◦. Czy wynik zależy od zwrotu wektora v? Wskazówka:
Wybrać kartezjański nieinercjalny układ odniesienia w ten sposób, aby płaszczyzna OYZ pokrywała się z płaszczyzną
południka, a oś OZ wyznaczała kierunek północ–południe. Proszę sporządzić odpowiedni rysunek.
8. Pionowa rurka o wys. 25 m jest wprawiona w ruch wokół pionowej osi obrotu. Rurka porusza się po okręgu
o promieniu R się ze stałą prędkością kątową ω. W rurce, której ścianki są idealnie gładkie zaczyna spadać kulka o
masie 0,5 kg. Z jaką wypadkową siłą, w układzie związanym z obracającą się rurką, rurka działa na to ciało, gdy
ciało znajdzie się na wysokości 10 m? Ws-ka: Należy uwzględnić siłę Coriolisa. Proszę sporządzić odpowiedni
rysunek.
Wrocław, 21 X 2015
W. Salejda
2